培优14 圆周角（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优14 圆周角 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 二 解题步骤 第一步：找弧，确定题目中角所对的是哪条弧； 第二步：连圆心角，找到同弧所对的圆心角； 第三步：转化，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，在不同位置的圆周角之间进行等量代换； 第四步：直径条件优先，看到直径，立即想到“直径所对的圆周角是直角”，构造直角三角形； 第五步：结合其他定理，根据题目条件，结合勾股定理、等腰三角形性质、圆内接四边形性质等求解。 题型分析 题型1：圆周角定理问题 【例1】 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变式1-1 （26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 变式1-2 （25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 题型2：利用弧、弦、圆心角关系求解问题 【例2】 （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2-1 （2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知正方形中，连接，在上截取，作的外接圆分别交、于点F、G，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 变式2-2 （26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型3：90度的圆周角所对弦是直径问题 【例3】 （2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3-1 （26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． ∴为的直径， 变式3-2 （2026·河南商丘·模拟预测）如图，已知点是上的三点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图，点为下半部分上的一点，且，连接．求证：是的直径． 题型4：半圆（直径）所对圆周角是直角问题 【例4】 （26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式4-1 （24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在菱形中，若，以为直径的交于点，则的长为_____（结果保留）． 变式4-2 （26-27九年级上·江苏常州·期中）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 题型5：圆与四边形问题 【例5】 （26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 变式5-1 （26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 变式5-2 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 解题技巧 1.“弧弦角”转化法：这是本专题最核心的方法。看到圆周角想它所对的弧，看到弧想它所对的圆周角； 2.直径优先法：遇到直径，优先连接圆上一点与直径两端，构造直角三角形，这是最常用的辅助线； 3.同弧等角代换法：同一条弧所对的圆周角有无数个，但都相等，利用这一点可以将分散的角集中到同一个三角形中； 4.圆内接四边形对角互补：四边形四个顶点都在圆上时，对角之和为180°； 5.90°圆周角判定直径：如果一个角是90°且顶点在圆上，那么它所对的弦就是直径，可用于判定四点共圆； 归纳总结 一、重点 1.圆周角定理的内容与应用：圆周角等于同弧所对圆心角的一半； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等：这是圆中角度等量代换最常用的工具； 3.直径所对的圆周角是直角：构造直角三角形是圆中计算边长； 4.90°的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补：圆与四边形综合题的核心性质。 二、难点 1.弧与角的对应关系：在复杂图形中，准确识别哪个圆周角对哪条弧； 2.一条弦对应两类圆周角：同弦同侧的圆周角相等，异侧的圆周角互补； 3.辅助线的添加：连半径、构造直径、作垂线。 三、易错点 1.混淆圆周角和圆心角的倍半关系：求圆周角时忘记除以2，或求圆心角时忘记乘2； 2.同弧所对圆周角相等的前提：不要忽略“同圆或等圆”条件； 3.一条弦所对的圆周角有两个：一条弦对应优弧和劣弧两条弧，所对的圆周角也有两类，同侧相等、异侧互补，容易漏解； 4.圆内接四边形对角互补的前提：必须是四个顶点都在同一个圆上，不是任意四边形都有这个性质； 5.90°圆周角所对弦是直径的应用：必须确认这个90°角是圆周角（顶点在圆上），不能直接说直角所对弦是直径。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将圆周角问题转化为圆心角问题，将圆心角问题转化为弧的问题；将分散的角通过同弧代换集中到同一个三角形中。弧、角、弦三者之间的灵活转化是本专题最核心的数学思想。 2.数形结合思想：通过图形直观识别弧与角的对应关系，再用定量的角度计算解决问题。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.分类讨论思想：一条弦对应优弧和劣弧，所对的圆周角有两类（同侧相等、异侧互补）；动点在优弧还是劣弧上，位置不同结果不同，需要分类讨论。 4.方程思想：求半径、求角度时，常设未知数，利用勾股定理、三角形内角和定理、圆内接四边形对角互补等建立方程求解。 5.对称思想：圆是轴对称图形，也是中心对称图形。同弧所对圆周角相等等性质都源于圆的对称性。6.建模思想：将实际问题（如坐标系中的圆、四边形内接于圆等）抽象为圆的几何模型，用圆周角定理及推论解决问题。定弦定角模型是典型的圆轨迹建模。 同步测评 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，的顶点，，在上，顶点在的直径上，，连接，则的度数为______． 13．（2026·辽宁锦州·一模）如图，，是上的两点，是的直径，且平分．若，则的度数是_______． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 17．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 18．（2025·吉林长春·二模）已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是___________． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 19．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是_______． 20．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 21．（2026·吉林·二模）如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 22．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 23．（25-26九年级上·吉林·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的圆上找一点D，使得． (2)在图②中的圆上找一点E，使得平分． 24．（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求的半径． 25．（2025·江苏镇江·二模）如图，为的一条直径，以为边在其右侧作正方形，点为边上的一个动点（不与、重合），连接，将正方形沿折叠，点的对应点恰好落在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 26．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 27．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 28．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 29．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 30．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 31．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优14 圆周角 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 二 解题步骤 第一步：找弧，确定题目中角所对的是哪条弧； 第二步：连圆心角，找到同弧所对的圆心角； 第三步：转化，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，在不同位置的圆周角之间进行等量代换； 第四步：直径条件优先，看到直径，立即想到“直径所对的圆周角是直角”，构造直角三角形； 第五步：结合其他定理，根据题目条件，结合勾股定理、等腰三角形性质、圆内接四边形性质等求解。 题型分析 题型1：圆周角定理问题 【例1】 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 变式1-1 （26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【详解】解：①， ，故①正确； ②如图，连接， 点是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， ， 在中，， ， ，即的半径为，故③正确； ④的半径为，， ， ， 则，故④不正确； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 变式1-2 （25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型2：利用弧、弦、圆心角关系求解问题 【例2】 （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式2-1 （2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知正方形中，连接，在上截取，作的外接圆分别交、于点F、G，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵作的外接圆分别交、于点F、G， ∴，故①正确； ∵ 为外接圆的直径， ， ∴ ∴，故②正确； ∵， ∴ ，， ， ∵， ， 又∵， ， ， ，故③错误， ∵， ∴ ∴ ，故④正确； 综上，结论正确的是①②④． 变式2-2 （26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 题型3：90度的圆周角所对弦是直径问题 【例3】 （2026·四川绵阳·一模）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式3-1 （26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 变式3-2 （2026·河南商丘·模拟预测）如图，已知点是上的三点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图，点为下半部分上的一点，且，连接．求证：是的直径． 【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）证明：如图，连接，， ， ， ， ∵， ， 又∵， ∴， 即， 是的直径． 题型4：半圆（直径）所对圆周角是直角问题 【例4】 （26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 变式4-1 （24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在菱形中，若，以为直径的交于点，则的长为_____（结果保留）． 【答案】 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵为直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 故答案为：． 变式4-2 （26-27九年级上·江苏常州·期中）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，，．    ∵的中点为 ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 题型5：圆与四边形问题 【例5】 （26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 变式5-1 （26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 【答案】或 【详解】解：如图，设这条弦为， 根据题意得：， 是等边三角形， ， ， ， 即这条弦所对的圆周角的度数为：或． 变式5-2 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 解题技巧 1.“弧弦角”转化法：这是本专题最核心的方法。看到圆周角想它所对的弧，看到弧想它所对的圆周角； 2.直径优先法：遇到直径，优先连接圆上一点与直径两端，构造直角三角形，这是最常用的辅助线； 3.同弧等角代换法：同一条弧所对的圆周角有无数个，但都相等，利用这一点可以将分散的角集中到同一个三角形中； 4.圆内接四边形对角互补：四边形四个顶点都在圆上时，对角之和为180°； 5.90°圆周角判定直径：如果一个角是90°且顶点在圆上，那么它所对的弦就是直径，可用于判定四点共圆； 归纳总结 一、重点 1.圆周角定理的内容与应用：圆周角等于同弧所对圆心角的一半； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等：这是圆中角度等量代换最常用的工具； 3.直径所对的圆周角是直角：构造直角三角形是圆中计算边长； 4.90°的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补：圆与四边形综合题的核心性质。 二、难点 1.弧与角的对应关系：在复杂图形中，准确识别哪个圆周角对哪条弧； 2.一条弦对应两类圆周角：同弦同侧的圆周角相等，异侧的圆周角互补； 3.辅助线的添加：连半径、构造直径、作垂线。 三、易错点 1.混淆圆周角和圆心角的倍半关系：求圆周角时忘记除以2，或求圆心角时忘记乘2； 2.同弧所对圆周角相等的前提：不要忽略“同圆或等圆”条件； 3.一条弦所对的圆周角有两个：一条弦对应优弧和劣弧两条弧，所对的圆周角也有两类，同侧相等、异侧互补，容易漏解； 4.圆内接四边形对角互补的前提：必须是四个顶点都在同一个圆上，不是任意四边形都有这个性质； 5.90°圆周角所对弦是直径的应用：必须确认这个90°角是圆周角（顶点在圆上），不能直接说直角所对弦是直径。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将圆周角问题转化为圆心角问题，将圆心角问题转化为弧的问题；将分散的角通过同弧代换集中到同一个三角形中。弧、角、弦三者之间的灵活转化是本专题最核心的数学思想。 2.数形结合思想：通过图形直观识别弧与角的对应关系，再用定量的角度计算解决问题。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.分类讨论思想：一条弦对应优弧和劣弧，所对的圆周角有两类（同侧相等、异侧互补）；动点在优弧还是劣弧上，位置不同结果不同，需要分类讨论。 4.方程思想：求半径、求角度时，常设未知数，利用勾股定理、三角形内角和定理、圆内接四边形对角互补等建立方程求解。 5.对称思想：圆是轴对称图形，也是中心对称图形。同弧所对圆周角相等等性质都源于圆的对称性。6.建模思想：将实际问题（如坐标系中的圆、四边形内接于圆等）抽象为圆的几何模型，用圆周角定理及推论解决问题。定弦定角模型是典型的圆轨迹建模。 同步测评 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 2．（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， ∵是半径为的的直径， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，四边形是的内接四边形， ∴， 连接，如图所示： 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：B． 12．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，的顶点，，在上，顶点在的直径上，，连接，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2026·辽宁锦州·一模）如图，，是上的两点，是的直径，且平分．若，则的度数是_______． 【答案】 【详解】解：是的直径， ， ， ， 平分， ， 与所对的是同一条弧， ． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 【答案】18 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【答案】4 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 18．（2025·吉林长春·二模）已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是___________． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 【答案】②③④ 【详解】解：根据题意，无法证明，结论①不正确； 若为直径，如下图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为直径，且的半径为2， ∴，， ∴，即，解得（负值舍去），故结论②正确； 如下图，设交于点， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴为直径， ∵， ∴， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴四边形是轴对称图形，故结论③正确； 若，如下图，连接，设交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有②③④． 故答案为：②③④． 19．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是_______． 【答案】 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 20．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 21．（2026·吉林·二模）如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 【答案】50 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 23．（25-26九年级上·吉林·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的圆上找一点D，使得． (2)在图②中的圆上找一点E，使得平分． 【答案】见详解 【详解】（1）解：如图①，点D即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图②，，即为所求． 24．（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图1，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：是的切线， ． ． ， 是的直径， ． ， ． ， ． ， ， ． （2）解：如图，连接、，延长交于点， ， ． ， 垂直平分， ，． 四边形为矩形， ． ． ， 在中，， ． ． 25．（2025·江苏镇江·二模）如图，为的一条直径，以为边在其右侧作正方形，点为边上的一个动点（不与、重合），连接，将正方形沿折叠，点的对应点恰好落在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见详解；(2)8 【详解】（1）证明：连接， ， 四边形ABCD是正方形， ， 由折叠得： ， （SSS） ， 是半径， 与相切 （2）解：， 共线， 设，Rt中，，解得：， ． 26．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ，∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 27．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形；(2)见详解 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； （2）解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ，∴， ∴， ∴． 28．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径， ∴的半径为． 29．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵交于点， ∴， ∴ （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ，即． 30．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 以对角线为直径作， ， ， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形 31．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 【答案】见详解 【详解】(1)解：①存在． 理由：∵， ， ， ∴平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图， ∵四边形内接于 ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使得，连接． ， ， ∵圆中存在“爪形”，且， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $