29.2.3圆周角 同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上学期

第2课时　圆内接四边形的性质 课后·知能演练 基础巩固 1.在☉O的内接四边形ABCD中,∠B与∠D的角度关系为(　　). A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180° C.∠B>∠D D.∠B<∠D 2.如图,若四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶6,则∠D的度数是(　　). A.100° B.80° C.60° D.90° 3.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=158°,则∠ABC的度数为 (　　). A.74° B.79° C.101° D.106° 4.如图,A,B,C,D四个点均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的度数为 (　　). A.55° B.60° C.65° D.70° 5.如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC对称的点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为____________.  6.如图,四边形ABCD内接于☉O,,连接AC,若∠BAC=50°,求∠ADC的度数. 7.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠BAD=90°,BC=CD,以点C为圆心,CD为半径作圆弧,交AD的延长线于点E.求证:AB=AE. 能力提升 8.如图,五边形ABCDE的顶点B,C,D,E在☉O上,顶点A在☉O外,且AB=AE.若∠A=100°,则∠CBA+∠CDE=　　　°.  9.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且∠ABD+∠AEC=155°,则所对的圆心角度数为____________.  10.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,∠BAC=∠ADB. (1)求证:DB平分∠ADC; (2)过点C作AD的平行线,交AB的延长线于点F,若BD平分∠ABC,AC=AD,BF=3,求AB的长. 思维拓展 11.定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“遥望角”.如图1,∠E是△ABC中∠A的“遥望角”.如图2,四边形ABCD内接于☉O,,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的“遥望角”. 图1 图2 参考答案 1.B　2.A　3.C　4.C　5.52° 6.解:由条件知,∠ACB=∠ABC. 在△ABC中,∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=50°, ∴∠ABC=∠ACB=65°. ∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. 7.证明:如图,连接AC.∵BC=CD, ∴∠BAC=∠EAC. 由已知可知CE=CD, ∴CB=CE,∠E=∠CDE. ∵∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°, ∴∠ABC=∠CDE=∠E. 在△ABC和△AEC中, ∴△ABC≌△AEC(AAS),∴AB=AE. 8.220　解析:如图,连接BE. ∵AB=AE,∠A=100°, ∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠A)=40°. ∵点B,C,D,E在☉O上, ∴∠CDE+∠CBE=180°, ∴∠CBA+∠CDE=∠CDE+∠CBE+∠ABE=180°+40°=220°. 9.50°　解析:如图,连接BC,OC,OD. ∵点A,B,C,D,E在☉O上, ∴∠ABC+∠AEC=180°.∵∠ABD+∠AEC=155°, ∴∠ABC-∠ABD=25°,即∠DBC=25°. ∵∠COD=2∠DBC,∴∠COD=50°, 即所对的圆心角为50°. 10.(1)证明:∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠BDC, ∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC. (2)解:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD. 由(1)知∠ADB=∠BDC, ∴∠ABD+∠ADB=∠CBD+∠BDC. ∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠BDC=180°, ∴∠ABD+∠ADB=×180°=90°, ∴∠BAD=90°,∴BD是圆的直径. ∵∠ABD=∠CBD, ∴,∴AD=CD. ∵AC=AD,∴△ACD是等边三角形, ∴∠ADC=60°, ∴∠BDC=∠ADC=30°. ∵BD是圆的直径, ∴∠BCD=90°,∴BC=BD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=120°, ∴∠CBF=180°-120°=60°. ∵CF∥AD, ∴∠F+∠BAD=180°,∴∠F=90°, ∴∠BCF=90°-60°=30°, ∴BC=2BF=2×3=6,∴AB=BC=6. 11.证明:如图,延长BC到点T. ∵四边形FBCD内接于☉O, ∴∠FDC+∠FBC=180°. ∵∠FDE+∠FDC=180°, ∴∠FDE=∠FBC. ∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE. ∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC, ∴BE是∠ABC的平分线. ∵,∴∠ACD=∠BFD. ∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°, ∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT, ∴CE是△ABC的外角平分线, ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的“遥望角”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　圆周角定理及其推论 课后·知能演练 基础巩固 1.下列图形中,∠BAC为圆周角的是(　　). 2.如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为(　　). A.95° B.100° C.105° D.110° 3.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为(　　). A.25° B.35° C.45° D.65° 4.如图,在☉O中,,∠BDC=20°,则∠AOB的度数是　　　.  5.如图,AB为☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,则∠ACD=____________.  6.如图,一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量,测得AB=8 cm,BC=6 cm,则圆形镜面的半径为　　　cm.  7.如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OB,OC,若OB=BC,C是的中点,求∠ABC的度数. 能力提升 8.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD的度数为(　　). A.70° B.65° C.50° D.45° 9.如图,A是☉O上一点,BC是☉O的直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上,且平分,则DC的长为(　　). A.2 B. C.2 D. 10.如图,BC是☉O的直径,且AC=AB,,则∠CBD的度数为　　　.  11.如图,已知AB为☉O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E.连接AC,OC,BC. (1)若∠ACO=25°,求∠BCD的度数; (2)若EB=4,AB=20,求CD的长. 思维拓展 12.如图,C为☉O上一动点,☉O的直径AB为10 cm,∠ACB的平分线CD交☉O于点D. (1)若弦AC为6 cm,求BC,AD的长. (2)当点C在☉O上半部分运动时,试判断点D是否随着点C的变化而变化?请说明理由. 参考答案 1.A　2.D　3.A　4.40°　5.45°　6.5 7.解:如图,连接OA. ∵OB=BC=OC, ∴△OBC是等边三角形, ∴∠BOC=60°. 又C是的中点, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∴∠ABC=∠AOC=30°. 8.C　解析:∵OF⊥BC,∴∠BFO=90°. ∵∠BOF=65°,∴∠B=90°-65°=25°. ∵弦CD⊥AB,AB为☉O的直径, ∴,∴∠AOD=2∠B=50°.故选C. 9.D　解析:∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=∠BDC=90°. ∵AC=2,AB=4, ∴BC2=AB2+AC2=42+22=20. ∵点D在☉O上,且平分, ∴,∴CD=BD. 在Rt△BDC中,DC2+BD2=BC2, ∴2DC2=20,∴DC=.故选D. 10.22.5°　解析:∵, ∴AD=BD,∴∠DAB=∠DBA. ∵BC是☉O的直径,∴∠CAB=90°. ∵AC=AB,∴∠ACB=∠ABC=45°, ∴∠ADB=∠ACB=45°, ∴∠DAB=∠DBA=67.5°, ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=67.5°-45°=22.5°. 11.解:(1)∵OA,OC均为☉O的半径, ∴OA=OC. ∵∠ACO=25°, ∴∠OAC=∠ACO=25°. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°,即∠OAC+∠ABC=90°. 又AB⊥CD于点E, ∴∠BEC=90°,即∠BCD+∠ABC=90°, ∴∠BCD=∠OAC=25°. (2)∵AB=20,AB为☉O的直径, ∴OC=OB=10. ∵EB=4,∴OE=OB-EB=10-4=6. ∵AB⊥CD于点E, ∴CE=DE,且△OEC为直角三角形. 在Rt△OEC中,根据勾股定理,得EC2+OE2=OC2,即EC2+62=102,EC2=100-36=64,解得EC=8,∴CD=2EC=2×8=16. 12.解:(1)连接OD,如图所示. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵AB=10 cm,AC=6 cm,∴BC=8 cm. ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°, ∴∠AOD=2∠ACD=90°,∠BOD=2∠BCD=90°. 在Rt△AOD中,AD==5(cm). ∴BC的长为8 cm,AD的长为5 cm. (2)点D不随着点C的变化而变化.理由如下: ∵AB是☉O的直径, ∴在点C的运动过程中,∠ACB=90°保持不变, ∴∠ACD=∠BCD=45°,∴, ∴当点C在☉O的上半部分运动时,点D不随着点C的变化而变化. 1 学科网（北京）股份有限公司 $