专题10 圆心角与圆周角（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆心角与圆周角核心性质，以题型分类构建从基础到综合的训练体系，覆盖弧弦角关系及直径直角转化等高频考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆心角|8题（含4解4证）|弧、弦、圆心角关系的计算与证明|从概念生成到性质应用，构建“角-弧-弦”转化逻辑链| |圆周角|16题（含选择、填空、解答）|圆周角定理及推论的直接应用与综合迁移|以定理为核心，递进考查基本计算、等角转换、直径直角关系，强化空间观念|

专题10 圆心角与圆周角 常考题型·精准突破 考点一 圆心角 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 考点二 圆周角 题型1 圆周角定理（重） 题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等（高频） 题型3 半圆(直径)所对的圆周角是直角（高频） 题型4 90度的圆周角所对的弦是直径 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆心角 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，，则______． 3．如图，是直径，，．求的大小． 4．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 5．如图，在中，，．求证：． 6．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 7．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 8．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 考点二 圆周角 ◆题型1 圆周角定理 9．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 11．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． ◆题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等 13．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 15．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 16．如图，以为直径作半圆，点是半圆的中点，连接，已知，点为上任意一点，连接，，并延长交的延长线于点，求的值． ◆题型3 半圆(直径)所对的圆周角是直角 17．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 18．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． ◆题型4 90度的圆周角所对的弦是直径 21．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的经过原点，且与x轴、y轴交于A、B两点，点C为弧AB上的一点（不与B、A两点重合），若点A的坐标为，则的值是（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，点P为内部一动点（不在边上），且．延长交直线于点D．当是等腰三角形时，线段的长为___________． 24．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 6．如图，是的直径，弦，若，则__________． 7．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 三、解答题 8．如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． (1)求的半径； (2)计算的长． 9．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点，连接，点在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10圆心角与圆周角 内容概览 目常考题型精准突破 考点一圆心角 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 考点二圆周角 题型1圆周角定理（重） 题型2同弧或等弧所对的圆周角相等（高频） 题型3半圆直径)所对的圆周角是直角（高频） 题型490度的圆周角所对的弦是直径 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一圆心角。 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1,在O0中，圆心角∠A0B=2LCOD,则弦AB与弦CD的关系是() A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 【答案】C 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OE,交OO于点E,连接AB、CD、AE、BE, D 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE, ,∠AOB=2∠COD 1/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOE=∠BOE=∠COD ,在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴AE=BE=CD 在△ABE中，AE+BE>AB, .CD+CD>AB,即AB<2CD 2.如图，在⊙0中，AB=CD,∠1=30°，则∠2= 的 【答案】机网30° 【详解】解：在⊙O中，AB=CD :BD=AC, ∠1=∠2， ∠1=30°， 即∠2=30° 3.如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠BOC=40°.求∠AOE的大小. D E B 【答案】60° 【详解】解：~BC=CD=DE,∠BOC=40°， .∠DOE=∠DOC=∠BOC=40°， AB是直径， ∴.∠AOE=180°-（∠DOE+∠D0C+∠BOC)=180°-(40°+40°+40）=60° 4.如图，在O0中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点，连接BD,AD,OC, ∠AOC=58° 2/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠ADB的度数. (2)若0E=3,OA=5,求BC的长. 【答案】(1)29° (2)8 【详解】(1)解：连接OB, D A ,OA⊥BC,且OA为⊙0的半径， 、BE=EC,AB=AC. ,∠AOC=58°， ∴.∠B0A=∠AOC=58°， :∠48-B04=2y. (2)解：：0B=OA=5,OE=3, ∴BE=VOB2-0E2=V52-32=4, .'BC=2BE=8 ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 5.如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. B 3/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明：：AB=AC, .AB=AC, :∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形， .'AB=BC=CA, ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC 6.如图，OO的弦AB与半径OE,OF相交于点C,D,AC=BD,求证：AE=BF, E 【答案】证明：过点O作OM⊥AB,交AB于点M,交⊙O于点N,如图， .AM BM,AN=BN AC=BD .CM=DM 又：OM⊥CD, ∴.OC=OD」 .∠EON=∠FON .EN FN :AN-EN BN-FN, :AE=BF. 【详解】略 7.如图所示，⊙O的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, AC=BD.求证：四边形OEPF是正方形. 4124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明：连接OA、OD,如图 AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD, ∴.四边形OEPF是矩形， AC=BD .AC+BC=BD+BC,E AB=CD, .AB=CD OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, .AE=1AB,DF=CD. 2 .AE=DF, :OA=OD,OE2=OA2-AE2,OF2=OD2-DF2. ..OE=OF ∴.四边形OEPF是正方形. 8.如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E,且AB=CD.求证：EB=EC, A E 【答案】证明：，AB=CD .AB=CD .AB-AD=CD-AD, 5/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AC=BD .'AC=BD :∠ABD=∠ACD,∠AEC=∠BED ∴.△ACE≌△DBE(AAS), ·.EB=EC ●考点二圆周角●一 ◆题型1圆周角定理 9.如图，点A,B,C在O0上，∠ACB=54°，则∠AB0的度数是() A.54° B.27° C.36° D.108° 【答案】C 【详解】解：：∠ACB=54°， .∠AOB=2∠ACB=108°， .OA=OB. ∠AB0-180°-，∠40B-36e 10.如图，己知⊙O的直径为10，锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D,AB=8,则tan∠CBD的值 等于() D B 1 4 A.5 B.5 c.3 【答案】D 【详解】解：过B作OO的直径BM,连接AM, 6124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E B 又BD⊥AC, 则有∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C, ∴.∠M+∠MBA=90°，∠C+∠CBD=90°， .∠MBA=∠CBD 过O作OE⊥AB于点E, 在ROER中，BE=AB=4,OB=S 由勾股定理得OE=√OB2-BE2=3, .tan∠MBA= OE 3 BE 4 tan∠CBD=tan∠MBA=3 11.如图，点A,B,C,D顺次分布在半径为2的⊙0上，其中AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点， 顺次连接AB,BC,CD,若∠BCD=1O0°，则弧CD的长为() A 10」 A. 3π B gπ D. 【答案】B 【详解】解：连接BD,OC. D 点C是弧 的中点， BD .BC=CD 7124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=CD .∠BCD=100°， B∠CBD=∠CDBX080°-100)=40 .∠COD=2∠CBD=80°， 80π×2_8」 ∴弧cD的长=180=g 一元 12.如图，点A,B,C,D,E是⊙0上逆时针顺次排列的五个点，且∠ABE=2∠DCE<180°，若DE的长度 为2π，则AE的长度是 B 【答案】4π 【详解】解：如图所示，连接OA,OD,OE,设∠DOE=n°，⊙0的半径为r, B C DE的长度为2π， nπr :.180 =2兀， .r=360: ,∠ABE=2∠DCE<180°，∠DOE=2∠DCE, ∠ABE=∠DOE=n, .∠AOE=2∠ABE=2n. 2nr=4 ·AE的长度是180 ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点 E,连接AC.,若∠ABC=105,∠BAC=30°，则∠E的度数为() 8124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 E C A.450 B.50° C.55 D.60° 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°， :.∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75° :DF=BC,∠BAC=30°， :.∠DCE=∠BAC=30° ∠E=∠ADC-∠DCE=75°-30°=45° 14.如图，⊙0的直径CD⊥弦EF,垂足为点G,∠EOD=58°，则∠DCF= C D 【答案】29 【详解】解：，⊙0的直径CD⊥弦EF,∠EOD=58, .DE DF, 1 ·∠DCF=2∠B0D=×58°=29 15.如图所示， BC为⊙0的直径，弦AD⊥BC于B,∠C=60°.求证：△ABD为等边三角形. D 【答案】证明：：BC为OO的直径，AD⊥BC, ∴.AE=DE, ∴.BD=BA. 9124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AB, .∠D=∠C=60°， .△ABD为等边三角形 【详解】略 16.如图，以BC为直径作半圆，点A是半圆BAC的中点，连接AB,己知AB=2W2,点D为AC上任意 一点，连接BD,AD,并延长AD交BC的延长线于点E,求AD,AE的值. A 0 【答案】8 【详解】解：~点A是半圆BAC的中点， :AB=AC, ∠ADB=∠ABC, 又：∠DAB=∠BAE, ∴.△ABDP△AEB, .AD AB AB AE' ADAE=AB2=(22=8, ◆题型3半圆（直径）所对的圆周角是直角 17.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，若∠BAC=30°，BC=2,则AC的长为() 0 A.2 B.4 c.25 D.45 【答案】C 【详解】解：：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， :.∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形. 在RIAABC中，∠BAC=30°， 10/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=2BC=2×2=4, .AC=VAB2-BC2=V42-22=V2=25 18.如图，AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°，则∠E的度数为() D B A.20° B.22° C.30° D.32° 【答案】B 【详解】解：连接BD, E ,AD是⊙O的直径， ∠ABD=90°， ∠ABC=112°， ∴.∠CBD=112°-90°=22°， ,∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠E=∠CBD=22° 19.如图，AB是⊙0的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数是() C O A.20° B.40° C.60° D.80° 【答案】B 【详解】解：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ,∠BAC=50°，AC=AC, 11/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠D=∠ABC=90°-∠BAC=40° 20.如图，BC是⊙0的直径，A,D是⊙0上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC 的度数是() D A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【详解】解：如图，连接AC, :∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， ·.∠ACB=∠ADB=70°， ,BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， ∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° ◆题型490度的圆周角所对的弦是直径 21.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BAC=40°，则∠CBD的度数为() B D C A.40° B.45° C.50° D.55° 【答案】C 【详解】解：如图所示， 12/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LBAD=∠BCD=90°， ∴四点A、B、C、D共圆， .∠BAC=40° .∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°， ,∠CBD与∠CAD所对的弧为CD, ·.∠CBD=∠CAD=50° 22.如图，在平面直角坐标系Oy中，半径为5的⊙D经过原点，且与x轴、y轴交于A、B两点，点C为 弧AB上的一点（不与B、A两点重合），若点A的坐标为(6,0)，则c0sC的值是() B D A A. 3 B.5 c D.4 【答案】B 【详解】解：：半径为5的OD经过原点，且与x轴、y轴交于A、B两点， .∠AOB=90° ·AB是⊙D直径， AB=10, 点A的坐标为(6,0)， 0A=6 .OB=√AB2-OA=V102-62=8, 13/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,COS∠ABO= OB 84 AB105, :∠C=∠ABO 4 .cosC= 23.如图，在△ABC中，AB=2,BC=AC=3,点P为△ABC内部一动点（不在边上），且AP⊥BP 延长AP交直线BC于点D.当△ABD是等腰三角形时，线段CD的长为 B 【答案】1或3 【详解】由题意，可知∠APB=90°，AB=2, ∴点P在以AB为直径的圆弧上.分两种情况讨论： ①如图1，当AB=BD=2时，此时CD=1。 ②如图2，当AB=AD=2时，则∠ABD=∠ADB, .BC=AC=3, .∠ABC=∠BAC, .∠ADB=∠BAC, 又∠ABD=∠ABC, .△ABD∽△CBA, AB BD 2BD ÷CB8A,即32 解翔0：子 .'CD=BC-BD 3 综上所述，CD的长为1或3： 14124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 24.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，E是边AD上的动点，连接BE,过点C作CF⊥BE 于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 E A 【答案】1 【详解】解：如图，设BC的中点为O, CF⊥BE ∴.∠BFC=90 ∴.F在以BC为直径的⊙O上运动 .当OF⊥BC时，F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大， .BF=FC :.∠FBC=45° ,四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC=4 .∠ABE=90°-∠FBC=90°-45°=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， .AE=AB=3 .DE=AD-AE=4-3=1 综合攻坚知能拔高 15/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1,如图，⊙0中，若∠A0C=150°，那么∠ABC=() A.150° B.125 C.105° D.100° 【答案】C 【详解】解：如图，在优弧AC上取点D,连接AD、CD, D .·∠AOC=150° 1 ∴.∠D= ∠AOC=75° ∴.∠ABC=180°-75°=105° 2.如图，AB为⊙0的直径，C、D是O0上两点，若∠ABC=50°，则LD的度数为() B D A.30 B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【详解】解：AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠ABC=50°， ∴.∠A=90°-∠ABC=40°， BC=BC, ∴.∠D=∠A=40° 16/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠0BD的值是() C 4 A.5 B.5 0. 【答案】A 【详解】解：连接CD, .∠D0C=90° ∴CD是⊙A的直径， 点D(0,3),C(4,0)在⊙A上， ∴.0C=4,0D=3, .CD=V0C2+0D2=5, cos∠OBD=cos∠OCD=OC=4 CD5· 4.如图，AD是半圆O的直径，点B,C在半圆上，且弦AB=BC=CD,点P在CD上.若∠PCB=128°， 则∠PBA=() B D A.98o B.100° C.96° D.102 【答案】A 【详解】解：如图，连接OB、OC, 17/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A D ,弦AB=BC=CD, .AB=BC=CD 又，AD是半圆O的直径， .∠AOB=∠BOC=∠COD=60°， &∠BPC=;∠B0C=30, ,∠PCB=128° ∴.∠PBC=180°-∠PCB-∠BPC=22°， :OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=60°， ∴.△OAB和△OBC是等边三角形， .∠OBA=∠OBC=60° .∠ABC=∠OBA+∠OBC=120°， ∴.∠PB4=∠ABC-∠PBC=98 二、填空题 5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,如果∠BOC=68°，那么∠BAD= B 【答案】34° 【详解】解：AB是OO的直径，弦CD⊥AB, .BC=BD, ∠BD=B0C 2×68°=340 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= 18/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】25 【详解】解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠CAB=65°， ·∠ABC=90°-65°=25°， .CDIl AB ∴.∠BCD=∠ABC=25°. 7.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分LBPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则：①AB=CD;② 弧AB等于弧CD;③PO=PE；④弧BG等于弧DG;⑤PB=PD;其中结论正确的是（填序号） B A G 【答案】①②④⑤ 【详解】解：PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则OE=OF, 即弦AB,CD的弦心距相等，因而AB=CD,弧AB等于弧CD,故O、②正确； 在直角三角形中，PO>PE,故③错误： 如图，连接OB,OD ·.OE=OF,P0=PO .RtAPEORtAPFO(HL). .PE PF, AB=CD,OE垂直AB,OF垂直CD, BE= -2CD-DF 19/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PB=PD,故⑤正确： .PO=PO,BO=DO .APOB≌aPOD(SSS). .∠POB=∠POD, ∴.∠BOG=∠DOG, ∴.弧BG等于弧DG,故④正确： 其中结论正确的是①②④⑤： 三、解答题 8.如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC,垂足为点E,且AB与AC的长度为方程x2-9x+18=0 的两个根(AB>AC),⊙0是△ABC的外接圆. (1)求⊙0的半径： (2)计算BE的长. 【答案】(1)3√2 a2网 【详解】(1)解：连接OB, A B E 解方程x2-9x+18=0,得x=3,=6, AC=3,AB=6, :∠AOB=2∠C=90°， △AOB为等腰直角三角形， ∴.OB2+OA=AB2,即20B2=62, 20/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0B=3V2.即⊙0的半径为3V2. (2)解：∠C=45°，AE⊥BC, ∴△AEC为等腰直角三角形， “由勾股定理得AE=32 ·BE=VAB2-AE2=3V4 9.如图，△ABC是OO的内接三角形，AB为OO的直径，CD平分∠ACB,交OO于点D,连接AD,点 E在弦CD上，且ED=AD,连接AE. D (1)求证：∠BAE=∠CAE: (2)若∠B=60°，AB=8,求AE的长. 【答案】(1) 证明：，ED=AD, ∴.∠DEA=∠DAE, ∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE, :CD平分∠ACB, .∠DCA=∠DCB. DB=DB. .∠DAB=∠DCB. ∴∠DAB=∠DCA, .∠BAE=∠CAE: (2)4V2 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BD, 21/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 :AB为⊙0的直径， .∠ACB=∠ADB=90° CD平分∠ACB,AB=8, .∠DCA=∠DCB, .'AD=BD, ∴AD=BD, 在Rt△ABD中，可有AB2=AD2+BD2=2AD2, 即82=2AD2,解得AD=4V2, :AC=AC,∠ABC=60 .∠ADC=∠ABC=60°， ED=AD, :.△EAD为等边三角形， ·AE=AD=4V2. 10.如图，AB,CD,EF均为OO的直径，点C是弧AF的中点，点N在OD上，且四边形ONBF是平 行四边形，OM=ON=AM=2, D (1)求证：△BOW≌△DOM, (2)若点G在EF的延长线上，且∠BOF=2LG,证明：CG是O0的切线； (3)求⊙0的半径. 【答案】(1) 证明：点C是弧AF的中点， .AC=CF, 22/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOC=∠COF :∠AOC=∠BON,∠COF=∠DOM, ∴.∠BON=∠DOM ..OB=OD.OM=ON, ·.△BON≌aDOM(SAS) (2) 证明：连接AF交OC于点H,如图， D .OA=OF ∴.∠OAF=∠AFO ∴.∠BOF=2LOAF=2∠AFO, ,∠BOF=2∠G, ∴∠G=∠AFO, AF∥CG ,点C是弧AF的中点， ∴OC⊥AF, ..OC LCG. :CG是⊙O的切线： 31+5】 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：设⊙0的半径为r. ,四边形ONBF是平行四边形， .BF =ON=2,BN=OF=r. :△BON≌△DOM, .DM=BN=r. ,点C是AF的中点， 23/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点H是AF的中点 ,点O是AB的中点， 0H=号8F=l, .DH=r+1. AM=2, ∴.AD=r+2 ..AH2=AD2-DH2=OA2-OH2, (+2)2-(+12=r2-1, 整理得r2-2r-4=0, 解得r=1+V5或r=1-5(舍去). ⊙0的半径为1+V5. 24124的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10圆心角与圆周角 常考题型精准突破 ●考点一圆心角●一 ◆题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.C 【详解】解：如图，作∠AOB的平分线OE,交⊙O于点E,连接AB、CD、AE、BE, D 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE, .∠AOB=2∠COD .∠AOE=LBOE=∠COD ,在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， .'AE=BE=CD 在△ABE中，AE+BE>AB, .CD+CD>AB,即AB<2CD 2.机网30° 【详解】解：在⊙O中，AB=CD, .BD=AC, .∠1=∠2， :∠1=30°， 即∠2=30°】 3.60 【详解】解：BC=CD=DE,∠BOC=40°， :.∠DOE=∠DOC=∠BOC=40°， AB是直径， 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOE=180°-（∠DOE+∠D0C+∠BOC)=180°-(40°+40°+40）=60° 4.(1)29° (2)8 【详解】(1)解：连接OB。 D .OA⊥BC,且OA为⊙O的半径， .BE=EC,AB=AC」 .∠AOC=58°， .∠B0A=∠AOC=58°， ∠ADB=号∠B0A=290 2 (2)解：OB=OA=5,OE=3, .BE=VOB2-0E2=V52-32=4, .'BC=2BE =8 ◆题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 5.证明：AB=AC, .AB=AC .∠ACB=60° ∴.△ABC是等边三角形 .'AB=BC=CA, ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC. 6,证明：过点O作OM⊥AB,交AB于点M,交OO于点N,如图， 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM BM,AN BN. .AC=BD, ∴.CM=DM. 又：OM⊥CD. .OC=OD」 .∠EON=∠FON. ..EN FN .AN-EN BN-FN, :AE=BF. 【详解】略 7.证明：连接OAOD,如图 :AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD, ∴.四边形OEPF是矩形， AC=BD .AC+BC=BD+BC,B AB=CD, .AB=CD OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, :.AE=AB,DF=ICD. 2 .AE=DF, .OA=OD,OE2=0A2-AE2,OF2=OD2-DF2. ..OE =OF, ∴.四边形OEPF是正方形. 【详解】略 8.证明：，AB=CD, .AB=CD, 3/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB-AD=CD-AD. 即AC=BD .AC=BD :∠ABD=∠ACD,∠AEC=∠BED, ∴.△ACE≌△DBE(AAS, ∴.EB=EC. ●考点二圆周角● ◆题型1圆周角定理 9.C 【详解】解：，∠ACB=54°， ∴.∠AOB=2∠ACB=108°， .OA=OB :∠AB0=180-∠40B-368 10.D 【详解】解：过B作⊙O的直径BM,连接AM, M D 又BD⊥AC, 则有∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C, .∠M+∠MBA=90°，∠C+∠CBD=90°， ∴.∠MBA=∠CBD 过O作OE⊥AB于点E, 在RAOER中，BE=)AB=4,OB=3 2 由勾股定理得OE=√OB-BE2=3, tan∠MBA=OE_3 BE 4 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠CBD=tan∠MBA= 4 11.B 【详解】解：连接BD,OC. B 点C是弧 的中点， BD .BC=CD, ∴.BC=CD :∠BCD=100°， .∠CBD=∠CDB=二×(180°-100)=40°」 2 ∴∠COD=2∠CBD=80°」 80π×28」 弧CD的长=180=g 12.4π 【详解】解：如图所示，连接OA,OD,OE,设LDOE=n°，⊙O的半径为r, B C DE的长度为2π， ngr =2n, .180 ∴.r=360: .∠ABE=2∠DCE<180°，∠DOE=2∠DCE, .∠ABE=∠DOE=n, .∠AOE=2∠ABE=2n. 2nπr=4r “AE的长度是180 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2同弧或等弧所对的圆周角相等 13.A 【详解】解：，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°， .∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75° .DF=BC,∠BAC=30°， .∠DCE=∠BAC=30° ∴.∠E=∠ADC-∠DCE=75°-30°=45° 14.29° 【详解】解：：⊙O的直径CD⊥弦EF,∠EOD=58°， .DE =DF. ∠DCF=}∠E0D=x580=29. 2 2 15.证明：：BC为⊙O的直径，AD⊥BC, .AE =DE, ∴BD=BA AB=AB. .∠D=∠C=60° ,△ABD为等边三角形. 【详解】略 16.8 【详解】解：点A是半圆BAC的中点， :AB=AC, ∠ADB=∠ABC, 又'∠DAB=∠BAE, AABD△AEB, .ADAB ”ABAE, AD.AE=AB2=(22=8. ◆题型3半圆直径)所对的圆周角是直角 17.C 6113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴.∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， .AB=2BC=2×2=4 .AC=VAB2-BC2=V42-22=V12=2V5. 18.B 【详解】解：连接BD, E B :AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， .∠ABC=112°， .∠CBD=112°-90°=22°， .∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴.∠E=∠CBD=22° 19.B 【详解】解：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° :∠BAC=50°，AC=AC, .∠D=∠ABC=90°-∠BAC=40° 20.A 【详解】解：如图，连接AC, ,∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=∠ADB=70°， :BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90° ∴.∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° ◆题型490度的圆周角所对的弦是直径 21.C 【详解】解：如图所示， A D .∠BAD=∠BCD=90° 四点AB、C、D共圆， .∠BAC=40°， ∴.∠CAD=∠BAD-∠BAC=50° ,∠CBD与∠CAD所对的弧为CD, .∠CBD=∠CAD=50°」 22.B 【详解】解：，半径为5的OD经过原点，且与x轴、y轴交于A、B两点， .∠AOB=90° .AB是OD直径， ∴.AB=10 :点A的坐标为(6,0)， .0A=6, ∴.0B=VAB2-OA=V102-62=8, cos∠AB0=OB、84 AB105, .∠C=∠ABO. :cosC-5 4 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 23.1或3 【详解】由题意，可知∠APB=90°，AB=2, ∴点P在以AB为直径的圆弧上.分两种情况讨论： ①如图1，当AB=BD=2时，此时CD=1 ②如图2，当AB=AD=2时，则∠ABD=∠ADB, .BC=AC=3, .∠ABC=∠BAC .∠ADB=∠BAC, 又∠ABD=∠ABC, .△ABD∽△CBA, AB BD 2 BD ·CB=BA即3=2， 解海0- .CD=BC-BD=5 · 综上所述，CD的长为1或3 图1 图2 24.1 【详解】解：如图，设BC的中点为O, E A D F B CF⊥BE 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFC=90° F在以BC为直径的⊙O上运动 ∴，当OF⊥BC时，F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大， ∴.BF=FC ∴.∠FBC=45° ,四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=90°，AD=BC=4 .∠ABE=90°-∠FBC=90°-45°=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， .'AE=AB=3 .DE=AD-AE=4-3=1 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.c 2.B 3.A 4.A 二、填空题 5.34° 6.25 7.①②④⑤ 三、解答题 8. 【详解】(1)解：连接OB, A 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解方程x2-9x+18=0,得X=3,:2=6, .AC=3,AB=6 ∠AOB=2∠C=90°. :∴△AOB为等腰直角三角形， OB2+OA=AB2,即20B2=62, :.0B=32.即⊙0的半径为3V2 (2)解：∠C=45°，AE⊥BC. ∴△AEC为等腰直角三角形， “由勾股定理得4B=32 BE=√AB2-AE2= 9. 【答案】(1) 证明：ED=AD, ∴，∠DEA=∠DAE, ∴.∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE, ,CD平分∠ACB, ∴∠DCA=∠DCB, DB=DB .∠DAB=∠DCB ∠DAB=∠DCA, LBAE=∠CAE: (2)4V2 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BD, D 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， :CD平分∠ACB,AB=8, ∴.∠DCA=∠DCB .AD=BD, .AD=BD, 在RtAABD中，可有AB2=AD+BD2=2AD, 即82=2AD2,解得AD=4√2， .AC=AC,∠ABC=60° .∠ADC=∠ABC=60°， ED=AD. ∴.△EAD为等边三角形， .AE=AD=42. 10. 【答案】(1) 证明：，点C是弧AF的中点， ∴.AC=CF, ∴.∠AOC=∠COF .'∠AOC=∠BON,∠COF=∠DOM, ∴.∠BON=∠DOM ..OB=OD,OM=ON, .△BON≌aDOM(SAS). (2) 证明：连接AF交OC于点H.如图， D ..OA=OF, ∴∠OAF=∠AFO 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BOF=2LOAF=2∠AFO, ∠BOF=2∠G, .∠G=∠AF0, .AF∥CG :点C是弧AF的中点， :.OC L AF, .OC⊥CG .CG是⊙O的切线： (3)1+5 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：设⊙0的半径为r. ,四边形ONBF是平行四边形， :.BF=ON=2,BN=OF=r. .△BON≌△DOM, .'DM BN=r. 点C是AF的中点， 点H是AF的中点， ,点O是AB的中点， .OH -8F-1, ∴.DH=r+1. .AM=2, ..AD=r+2 AH2=AD2-DH2=OA2-OH2, :.(r+2)2-（r+1)}=r2-12 整理得r2-2r-4=0, 解得r=1+V5或r=1-5(舍去). .⊙0的半径为1+5 13/13