期中真题重组卷（扬州专用，新教材苏科版九上第1～5章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B B A B D A 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9． 10． 11． 4 12． 13．甲 14． 100 15． 方差 16． 20 17． 18． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． （1）解：， ， 或， ．（方法不限）······（4分） （2）解：， ， ， ， ， ．（方法不限）······（8分） 20． （1）；······（2分） （2）解：设用、、、分别表示“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个景点，列表如下： 由表格得，一共种可能的情况，其中，小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的情况有种， 所以小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 答：小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为．······（8分） 21． (1) 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根；······（4分） (2) ······（4分） 22． (1) ······（2分） (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是······（5分） (3)气体体积压缩了······（8分） 23． (1) ······（2分） (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元······（6分） (3) 不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元．······（10分） 24． 【答案】(1) 证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；······（6分） (2)5······（10分） 25． （1）9；；；；······（4分） （2）；9；10；；······（8分） （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．······（10分） 26． （1）解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③．······（2分） （2）解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或．······（5分） （3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ．······（10分） 27． （1）；4．······（2分） （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为．······（6分） （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于．······（6分） 28． （1）；······（2分） （2）25；······（4分） （3）作图如下： ······（8分） （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：；······（10分） ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ．······（12分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~5章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查三角形三边关系和点与圆的位置关系．通过三角形三边关系确定的最小值，与半径比较即可判断位置关系． 【详解】解：∵点P在上， ∴． 又∵， 在中，根据三角形三边关系：， ∴（半径）， ∴ 点A在外． 故选：C 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 4．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，可得2024年销量为万辆，2025年销量为万辆，根据2025年销量为万辆，列出方程，即可求解． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2023年销量为10万辆， 经过一年，2024年销量为万辆， 再经过一年，2025年销量为万辆， 又∵ 2025年销量为万辆， ∴． 故选：B 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题关键是时需注意二次项系数不为零的条件． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：方程化为标准形式， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，且， 解得：且． 故选：A． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的成绩数据正确的是（   ） A．众数是8 B．众数是9 C．平均数是9.7 D．平均数是9.2 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算和众数，利用众数的定义以及平均数的计算公式即可求得． 【详解】解：（环）， 其中出现次数最多的是，故众数是， 故选：B． 7．（ 25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．（25-26九年级上·广东江门·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，把等号右边的项移到左边即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）m，n是方程的两个根，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴． 故答案为：4． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中象限的坐标特征，找出第一象限的点的个数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：从五个点中任选一个点，共有5种等可能的结果， 五个点中恰好在第一象限的点为和，共2个， 根据概率公式可得，选到的点恰好在第一象限的概率是． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”）__________． 【答案】甲 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性；方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，稳定性越好，长势越整齐． 【详解】解：∵，，且， ∴甲种小麦的方差较小，长势更整齐． 故答案为：甲． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 【答案】 方差 【分析】设原数据各统计量，每个数据加后，根据各统计量的定义和方差公式，计算新数据的对应统计量，比较后即可得到结果. 【详解】解：设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上， ∴新数据的众数为，发生改变； 新数据的中位数为，发生改变； 新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变； 新数据的方差为， ∴值保持不变的统计量是方差. 16．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）“圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是___________寸．(1尺10寸) 【答案】20 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径，弦寸， ∴（寸）， 设的半径为x，则， ∵寸 ∴， 在中，根据勾股定理得： 即， 解得， ∴寸， 故答案为：20． 17．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于，则，即可求得，得出的面积的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，全等三角形的判定和性质，关键是求得的面积． 【详解】解：过点作轴于， ， ∵点B是的中点， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 根据反比例函数的几何意义得， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，六边形是正六边形，曲线叫作“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，，，，，，…．当时，_______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式及找规律，先根据题意可知正六边形的内角和为，每个内角为，在此题中曲线是“正六边形的渐开线”， ，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，所以每条弧所对的圆心角均为，则；根据已知的并通过弧长公式，分别计算，，，，，，…的值，最后通过观察上述计算结果，可发现弧长与n的关系为，将代入的公式即可求得． 【详解】解：根据题意可知，，，，，… ，，，… 依此规律可知，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（25-26九年级上·湖南张家界·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接用十字相乘法解方程即可； （2）先移项，再用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ．（方法不限） （2）解：， ， ， ， ， ．（方法不限） 20．（本题8分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）元旦小惠一家打算从“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点， (1)景点“五台山”被第一次抽中的概率是________； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的基础计算（古典概型），掌握概率的定义及列举法求概率的方法是解答本题的关键． （1）利用古典概型的概率公式，结合总样本数与“五台山”对应的样本数，计算其被抽中的概率； （2）通过列表的方法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，确定符合“平遥古城”和“乔家大院”的结果数，再结合概率公式计算概率． 【详解】（1）解：一共有个景点，每个景点被第一次抽到的概率相同， 所以“五台山”被第一次抽中的概率是； 故答案为：； （2）解：设用、、、分别表示“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个景点，列表如下： 由表格得，一共种可能的情况，其中，小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的情况有种， 所以小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 答：小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率为． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】(1) 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 22．（本题8分）（25-26九年级上·山西晋中·期中）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是 (3)气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据实际问题解释点坐标的意义即可； （3）根据函数解析式求出函数值，然后求解即可． 【详解】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 23．（本题10分）（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3) 不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程是解题的关键， （1）根据题意利用待定系数法即可求函数解析式； （2）根据每天的销售利润为元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每天获得的利润需要达到元，列出方程，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）略 24．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·期中测）如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 25．（本题10分）（25-26九年级上·山东济南·期中）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【答案】（1）9；；；； （2）；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）略 26．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 27．（本题12分）（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在， (3)存在， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． （1）根据题意可得：，，再根据题意分别列出方程求解即可； （2）根据，列出方程求解即可； （3）根据当时，，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 28．（本题12分）（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）； （2）25； （3）作图如下： （4）①；② 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册第1~5章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）反比例函数的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的成绩数据正确的是（   ） A．众数是8 B．众数是9 C．平均数是9.7 D．平均数是9.2 7．（ 25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．（25-26九年级上·广东江门·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 11．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）m，n是方程的两个根，则________． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”）__________． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）“圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是___________寸．(1尺10寸) 17．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为__________． 18．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，六边形是正六边形，曲线叫作“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，，，，，，…．当时，_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（25-26九年级上·湖南张家界·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（本题8分）（25-26九年级上·陕西渭南·期中）元旦小惠一家打算从“五台山”“平遥古城”“乔家大院”“雁门关”这四个著名景点中选择两处游玩，于是她在四张材质外观一样的卡片上分别写上这四个景点，决定用抽签的方式来选择游玩的地点， (1)景点“五台山”被第一次抽中的概率是________； (2)小惠从四张卡片中先后抽取两张，请用列表或画树状图的方法求小惠恰好抽到“平遥古城”和“乔家大院”两个景点的概率． 21．（本题8分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 22．（本题8分）（25-26九年级上·山西晋中·期中）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 23．（本题10分）（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 24．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·期中测）如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 25．（本题10分）（25-26九年级上·山东济南·期中）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 26．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 27．（本题12分）（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 28．（本题12分）（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $