精品解析：福建上杭县紫金中学2026-2027学年上学期八年级10月学科能力测试数学试题

2026-2027学年（上）八年级第一次月考数学试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的概念逐一判断可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、是轴对称图形，故此选项符合题意． C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 3. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不能够重合，不是全等图形； B、两个图形大小不相同，不能够重合，不是全等图形； C、两个图形形状、大小均相同，能够完全重合，是全等图形； D、两个图形大小不相同，不能够重合，不是全等图形． 4. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 5. 如图，是的中线，，，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的周长计算，中线的定义，熟练掌握中线的定义是解题的关键．根据中线的定义可得，再根据三角形的周长计算方法列式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为，的周长为，，， 与的周长之差为：． 故选：C． 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 8. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A. ，，，为 ，不能判定 ，故本选项符合题意 ； B. ，，，符合，能判定 ，故本选项不符合题意； C. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意； D. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意 ． 9. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 10. 数学课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，若把小敏、小颖画的三角形面积分别记作和，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算，作于点，作交的延长线于点，证明，进而得到，根据等底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点， 则：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即：； 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 12. 如图，，边和在同一条直线上．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为___________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为． 14. 如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，某帐篷撑起后，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看，测得，，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由邻补角和三角形内角和定理，得出，再由等边对等角，得出，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的外角， ． 16. 如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为________________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 连接，，过点E作，交的延长线于点G，证明，，，即可． 【详解】解：连接，， ∵D是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：21． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【详解】略． 18. 已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由，则，即，然后通过“”即可求证． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）直接写出点A关于y轴对称点的坐标（ ， ），并画出关于y轴的对称图形； （2）求的面积． 【答案】（1）4，4， 如图，即为所求， （2）4 【解析】 【小问1详解】 点A关于y轴的对称点的坐标， 故答案为：4，4 【小问2详解】 ； 【点睛】此题主要考查了坐标系中轴对称作图，熟练掌握关于坐标轴对称的点的特点是解题的关键． 20. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21. 如图所示，平分，P为上一点，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】 证明：和中， ， ， ， 则为的角平分线， ， ． 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理证明，得到，根据角平分线的性质证明结论． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】略 22. 如图①，平分 ． （1）求 的度数； （2）如图②，若把“”变成“点 在的延长线上，”，，，请用 的代数式直接表示 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ． 23. 如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查作垂线、三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作出即可；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结即可． （2）结合题意可得，根据，可得．再根据，可得，即，则，进而可得． 【小问1详解】 解：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结； 【小问2详解】 点与点关于直线对称， 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 24. 已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． （1）如图1．若，则___________； （2）如图1．求证：； （3）如图2，连接，求证：平分． 【答案】（1） （2）证明：平分，平分， 设，， ，， ； （3）证明：如图，过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，计算即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （3）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：平分，平分， ，， ∴ ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 25. 平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，是等腰直角三角形，，，交y轴负半轴于点D． （1）如图1，点C的坐标是，点B的坐标是，直接写出点A的坐标； （2）如图2，交x轴的负半轴于点E，连接，交于F． ①求证：； ②求证：点D是的中点； ③求证：． 【答案】（1） （2） ①证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②证明：如图2中，过点F作于点N，过点A作于点M． ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同法可证，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； ③证明：设，，， ，， ，，， ， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点A作轴于点H．证明，可得，，可得结论； （2）①证明，可得结论； ②如图2中，过点F作于点N，过点A作于点M．利用三次全等解决问题即可； ③设，，，用a，b，c表示出两个三角形的面积，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中，过点A作轴于点H． ∵点C的坐标是，点B的坐标是， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②略 ③略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）八年级第一次月考数学试卷 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 3. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 如图，是的中线，，，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 10. 数学课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，若把小敏、小颖画的三角形面积分别记作和，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 12. 如图，，边和在同一条直线上．若，，则___________． 13. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为___________． 14. 如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是______（写出一个即可） 15. 如图，某帐篷撑起后，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看，测得，，则的度数是___________． 16. 如图，中，D是的中点，，交于F，，则的值为________________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，求证：． 18. 已知：如图，，，，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）直接写出点A关于y轴对称点的坐标（ ， ），并画出关于y轴的对称图形； （2）求的面积． 20. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 21. 如图所示，平分，P为上一点，，垂足分别为E，F．求证：． 22. 如图①，平分 ． （1）求 的度数； （2）如图②，若把“”变成“点 在的延长线上，”，，，请用 的代数式直接表示 ． 23. 如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 24. 已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． （1）如图1．若，则___________； （2）如图1．求证：； （3）如图2，连接，求证：平分． 25. 平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，是等腰直角三角形，，，交y轴负半轴于点D． （1）如图1，点C的坐标是，点B的坐标是，直接写出点A的坐标； （2）如图2，交x轴的负半轴于点E，连接，交于F． ①求证：； ②求证：点D是的中点； ③求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $