精品解析：福建省龙岩市上杭县第三中学2025-2026学年八年级上学期第二次综合训练数学试题

上杭三中2025-2026学年第一学期第二次综合训练 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合． 【详解】A、该图形能找到一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，正确， D. ，故错误； 故选C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 即， 故选：C． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝4，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】∵AD是∠CAB的平分线,∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=4. 故选C. 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质. 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是关键．因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、，右边是整式的积，符合题意； B、，右边不是积的形式，不符合题意； C、，是整式乘法，不符合题意； D：，但计算得，等式不成立，不符合题意． 故选：A． 6. 小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2dm，则AD的长为(　　) A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度是4cm，即可得到结论． 详解：∵AD=AB，∴∠D=∠ABD． ∵∠D=15°，∴∠ABD=∠D=15°，∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°． ∵∠ACB=90°，BC=2dm，∴AB=4dm，∴AD=4dm． 故选B． 点睛：本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等． 【详解】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 8. 运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对后两项添括号时，变为． 【详解】解：运用平方差公式计算，应变形为． 故选：B． 【点睛】此题考查平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确． 9. 如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A. 40 B. 20 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，，由，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设，， ，， ， ； 故选：A． 10. 与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分，根据给定的递推公式 和初始值 ，逐步计算、和，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂等于1解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：1． 12. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 【答案】（2，－3）． 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）． 考点：关于x轴对称的点的坐标特征． 13. 如图，已知，，，则_________． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出答案，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴， 故答案为：40． 14. 若，，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：12． 15. 已知多项式是完全平方式，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵多项式完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式乘法与除法的运算法则和乘法公式． （1）先算积的乘方，再依次计算乘除即可求解； （2）先计算多项式乘以多项式和乘方，再计算加法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20. 某市体育中心以“千帆竞渡”为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长的正方形中，室外活动场所建在边长的正方形中，阴影部分建室内配套场所． （1）求室内配套场所（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 【答案】（1）平方米 （2）44000平方米 【解析】 【分析】本题考查了代数式的表示，以及代数式的计算，解决本题的关键是掌握阴影面积的表示． （1）根据大的正方形的面积减去田径体育场的面积与室外活动场所的面积，即可求解； （2）将，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， 答：阴影部分面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， 平方米， 答：阴影部分面积为44000平方米． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° （1）用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB一半长为半径画弧，两弧在AB两侧分别有一个交点，过这两个交点作直线即可得； （2）由线段垂直平分线的性质可得PA=PB，从而得∠B=∠PAB，再根据AP平分∠CAB，可得∠PAB=∠CAB，继而根据直角三角形两锐角互余即可得解. 【详解】（1）如图，点P为所作； （2）∵点P在AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB， ∴∠B=∠PAB， ∵AP平分∠CAB， ∴∠PAB=∠CAB， ∴∠CAB=2∠B， ∵∠CAB+∠B=90°， 即2∠B+∠B=90°， ∴∠B=30°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键. 22. 已知为正整数，求证：能被24整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】证明： ． ∵为正整数， ∴和是连续的正整数， ∴和中一定有一个是偶数， ∴一定是24的倍数， ∴能被24整除． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论． 【答案】CD=2BE，证明见解析 【解析】 【分析】CD=2BE，理由为：延长BE交CA延长线于F，由CD为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE为公共边，利用ASA得到三角形CEF与三角形CEB全等，利用全等三角形对应边相等得到FE=BE，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用ASA得到三角形ABF与三角形ACD全等，利用全等三角形的性质得到CD=BF，等量代换即可得证． 【详解】解：CD=2BE，理由为： 延长BE交CA延长线于F， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE=∠BCE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（ASA）， ∴FE=BE， ∵∠DAC=∠CEF=90°， ∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°， ∴∠ACD=∠ABF， 在△ACD和△ABF中， ， ∴△ACD≌△ABF（ASA）， ∴CD=BF， ∴CD=2BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 24. 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． 探究主题：月历中的数学 操作发现 （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，尝试计算： ； ； ． 推理论证 （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 深度探究 （3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A、E上的数各自相乘，两积之差为360，求a、b的值． 【答案】（1），，；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，有理数的四则混合计算，熟知平方差公式是解题的关键. （1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案； （2）根据题意可得B 上的数为，D 上的数为，A 上的数为，E 上的数为，再根据平方差公式计算出的结果即可； （3）根据题意可得，则可推出，再由日历的特点得到， 则，据此求解即可. 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，． （2）∵C 上的数为x， ∴B 上的数为，D 上的数为，A 上的数为，E 上的数为， ∴ ； （3）∵两框A，E 上的数各自相乘，其差为360， ∴， 又∵， ∴， ∴. 25. 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． （1） 情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； （2）情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； （3）情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 【答案】（1）①，②图见详解 （2）能拼成，大正方形的边长是或或或 （3）赞同丁同学的说法，所拼长方形的两边长为，，图见详解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）①作出梯形木片的高，根据上底和下底的长度即可求解；②先结合①中计算的高将图1中平行四边形的面积表示出来，再根据要验证的推断出所作图形是边长为a的正方形减去一个边长为b的正方形，结合梯形木片上底和下底长度即可求解． （2）先设大正方形的边长为，算出面积，再分析构成图形的个纸片数量，再结合用了12张纸片C，即可求解． （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【小问1详解】 解：①如图，设等腰梯形的高为h， 由图形可知，， ②如图 图1中平行四边形由四块梯形木片拼接而成，底边长度为，由①可知高为，故面积为， 所做图形由四块梯形木片和一个边长为b的正方形构成一个边长为a的大正方形，故四块梯形木片的面积为， 综上所述，可得． 【小问2详解】 设构成的大正方形边长为，则面积为， 由图2可知纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为，故大正方形是由块纸片A、块纸片B、块纸片C构成， 根据题意可得，解得或或或， 综上可知，能拼成大正方形，大正方形的边长为或或或． 【小问3详解】 赞同丁同学的说法，增加3块C之后， 该情况下所拼长方形的两边长为和，长方形如下图所示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2025-2026学年第一学期第二次综合训练 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝4，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2dm，则AD的长为(　　) A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 7. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A. 40 B. 20 C. 60 D. 30 10. 与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 12. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 13. 如图，已知，，，则_________． 14. 若，，则的值为______． 15. 已知多项式是完全平方式，则m的值为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 计算： （1）； （2） ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 20. 某市体育中心以“千帆竞渡”为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长的正方形中，室外活动场所建在边长的正方形中，阴影部分建室内配套场所． （1）求室内配套场所（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° （1）用尺规作AB垂直平分线MN交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数． 22. 已知为正整数，求证：能被24整除． 23. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论． 24. 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究． 探究主题：月历中的数学 操作发现 （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，尝试计算： ； ； ． 推理论证 （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值．设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明． 深度探究 （3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A、E上的数各自相乘，两积之差为360，求a、b的值． 25. 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． （1） 情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； （2）情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； （3）情境三：丙同学声称自己用图2三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $