重庆市永川区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2026级2025年秋期期末检测 数 学 试 题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为. 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）. A． B． C． D． 2．下列是一元二次方程的是（　　）. A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x+＝1 D．x2+2x+1＝0 3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）. A． B． C． D． 4．如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（　　）. 第4题图 第6题图 第9题图 A．40° B．140° C．80° D．60° 5．抛物线过三点，则大小关系是（     ）. A． B． C． D． 6．如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（    ）   A． B． C． D． 7．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）. A．心想事成，万事如意 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．水能载舟，亦能覆舟 8．2026年第四届贵州村超赛于2026年1月2日至7月底在榕江举行，在此期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（　　）. A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66 C．＝66 D．＝6 9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，则下列选项中正确的是（　　）. A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．a﹣b+c＜0 10．一列自然数0，1，2，3，…，400．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）. A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于75时，原数等于100 D．当原数取200时，原数与对应新数的差最大 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上。 11．一元二次方程的两根之积是 ． 12．有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液，小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是_________. 13．将抛物线 向左平移 2个单位,再向下移动 2 个单位,得到的新抛物线的解析式为 .(化成一般式) 14．若平面直角坐标系中的点A(2,2),B(-1,-1),C（m,3）不能确定一个圆，则m的值是 ________. 15． 如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 第15题图 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“至善数”．例如：四位数，，是“至善数”；又如：四位数，∵，不是“至善数”．若一个“至善数”为，则这个数为 ；如果一个“至善数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 3、 解答题（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出△ABC关于原点对称的； (2)若将△ABC绕点逆时针旋转得到△A2B2C2，求点到所经过的路径长（结果不取近似值）．第18题图 19．在“十·一”国庆假期，某学校组织退休教职工到A、B、C三地旅游，学校购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图所示．根据统计图回答下列问题： （1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%； （2）若学校决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名教职工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么教职工小王抽到去 B 地车票的概率为______； （3）若最后剩下一张车票时，教职工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ A B C 地点 车票(张) 50 40 30 20 10 0 第19题图 20已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P从点A出发，沿着折线A→B→O运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为y． （1）直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； （3）若一次函数y1＝﹣t+b的图象与y的函数图象有两个交点，直接写出b的取值范围． 第21题图 22．永川新世纪商场1月份A款电器销售64台，每台A款电器的利润为100元．2月份和3月份这种A款电器销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到100台，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场为了尽快减少库存，决定降价促销．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．在进价不变的情况下，该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 23．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． 证明：是的切线； 若，，求的面积． 24．如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点．第23题图 (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在对称轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把边CB绕点C旋转到CF． （1）如图1，连接AF，使FA＝FC，BC＝2AB＝4，求F到AC的距离； （2）如图2，连接FB交AC于点D，当BD⊥AC时，在BC边取一个点E，使BE＝BA，过点E作BC的垂线交AC于点H，交CF于点M，交BF延长线于点G，求证：BE+GM＝MC； （3）如图3，若∠BCF＝90°，连接AF，点N是Rt△ACB内部一个动点，连接AN、BN使∠NAB＝∠CBN，连接CN、NF，若，当CN取最小时，请直接写出△CNF的面积． 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川区2025—2026学年上期期末教学质量监测 九年级数学参考答案及评分意见 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B B A D C D 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．-2； 12．； 13．； 14．3； 15．； 16．1538；6923 三、解答题（本大题9个小题，共86分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。) 17．解：（1） …………4分 18．（1）如图所示： …………3分 （2）　 参考如图所示： …………8分 19. 解：（1）30，20； …………2分 （2）. …………4分 （3）不公平，理由如下： …………5分 可能出现的所有结果列表如下： 小李抛到的数字 小张抛到的数字 1 2 3 4 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） 或画树状图如下： …………8分 ∴共有16种等可能得结果，其中小张获得车票的结果有6种：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3）； …………9分 ∴则 ∴这个游戏不公平. …………10分 20. 解：（1） …………2分 ∵有两个不相等的实数根 …………4分 （2）∵p是方程的根， …………5分 又∵ …………7分 解得：m=±3 …………8分 …………9分 ∴m=﹣3 …………10分 21. 解：（1） ； …………4分 （2）如图所示： …………6分 当时，y随着x的增大而增大 当时，y随着x的增大而减小(答案不唯一） …………8分 （3）14≤b＜17 …………10分 22. 解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x. …………1分 根据题意得：64(1+x)2=100, …………3分 解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25(不符合题意舍去). …………4分 答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为25%. …………5分 （3）　 设每台A款电器降价y元，则每台的销售利润为(100一y)元， 月销售量为100+20×=(100+2y)台， …………6分 根据题意得：(100-y)(100+2y)=10800, …………7分 整理得：y2-50y+400=0, 解得：y1=10，y2=40， …………8分 又∵要尽快减少库存，∴y=40. …………9分 答：每台A款电器应降价40元. …………10分 23. 解：（1）连接OE （2）设⊙O的半径为r，则OE=OA=r， 24.（1）解:)把点A(-1,0)和点C(0,-3)，点B(3,0),代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，得： 解得： 抛物线的解析式为:y=x2-2x-3; …………2分 故M(1,-4); …………3分 （2） 由(1)知抛物线的顶点为M(1,-4), 设直线BC的解析式为y=kx+b'，将B(3,0)，C(0,-3)代入，得: 解得： ∴直线BC的解析式为：y=x-3, …………4分 设点N(m,m2-2m-3)，则Q(m,m-3), ∴NQ=m-3-m2+2m+3=-m2+3m, :当m=时，△CBN面积的最大值为； …………5分 此时N(,) …………6分 （3）解： .…………10分 25.（1）如图所示，过F点作FD⊥AC. …………1分 在Rt△ABC中，∠ABC=90° ∵ AB=1，BC=4∴ . …………2分 ∵ FA=FC=4，FD⊥AC∴ . …………3分 ∴ . …………4分 （2）如图所示，过A点作AN∥GB交EG的延长线于点N，连接CN. …5分 ∵ ∠ABC=90°，BD⊥AC，GE⊥BC∴ NE∥AB ∴ 在△ABC与△BEG中 .…………6分 ∴ △ABC≌△BEG（ASA）∴ AC=BG ∵ AN∥GB， NG∥AB∴ 四边形ABGN为平行四边形 ∴ AN=BG∴ AN=AC∴ ∠ANG=∠BGE=∠ACB， 又∵ CF=CB，CD⊥BF∴ FD=BD ∴ △CFD≌△CBD（SSS）∴ ∠FCD=∠BCD=∠ANG .…………7分 又∵ ∠NAC=∠GDC=90°∴ ∠CNA=∠NCA=45° ∴ ∠CNM=∠NCN∴ NM=CM∴ NG+GM=MC∴ BE+GM=MC. …………8分 （3）△CNF的面积为..…………10分 八年级数学答案 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $