专题28.2 (1) 相似三角形的判定1（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定，从定义（对应角相等、对应边成比例）、表示方法（相似符号与对应顶点）、相似比（注意顺序）及传递性入手，逐步过渡到预备定理（平行线截三角形得相似，A/X型模型）和判定定理1（两角对应相等），构建连贯的学习支架。 资料以模型化教学为亮点，提炼A/X型、子母型等基本图形，结合即学即练与题型变式，通过几何直观（数学眼光）帮助学生理解图形结构，借助证明题培养逻辑推理能力（数学思维），规范符号语言表达（数学语言）。课中辅助教师清晰授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题28.2 相似三角形的判定(1) 教学目标 1. 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 2. 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 3. 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 4. 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似三角形预备定理、判定定理1； 难点： 分清“A 型”“X 型”“子母型”，找准对应顶点、对应边。 知识点01 相似三角形的基本概念 1. 定义 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 2. 表示方法 两个三角形中，∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁，∠C=∠C₁， 且 ，这时△ABC 与△相似，记作△ABC∽△，读作“△ABC 相似于△”。 ( 如图所示） 提醒对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3. 相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用k 表示。如图，如果DE 是△ABC的中位线， 那么①△ADE与△ABC的相似比是； ②△ABC与△ADE 的相似比是2. 【易错提醒】 1. 即如果△ADE与△ABC 相似，△ADE 与△ABC的相似比是，那么△ABC与△ADE的相似比是k. 当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形。反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1，因此，全等三角形是相似三角形的特例。 4. 相似三角形的传递性 性质：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC,△∽△ABC, ∴△∽△ 【即学即练】 1. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AC=6，BC=8，AD⊥BC, 垂足为点D。 写出图中的相似三角形，以及相应的相似比。 知识点02 相似三角形的预备定理 1. 预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 2. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 【易错点睛】 “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： ，，，或 【即学即练】 1. 求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 已知，如图点D、E，分别在边AB、AC上，且DE//BC，求证：∆ABC∽∆ADE. 2. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，求的长。 知识点03 相似三角形的判定定理1 1. 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。 2. 基本模型 内容 两角对应相等的两个三角形相似（A.A） 基本图形 符号语言： 如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 正A、正X （平行模型） 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 反A、反X 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 字母型 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 【即学即练】 1. 如图，，，求证：． 2. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 题型01 相似三角形基本概念 【典例1】下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【变式1】如图，在中，如果，，则图中的相似三角形有___________________ 【变式2】 如图，在△ABC 中，点D是边AB上一点，若∠B=∠DCA, ∆ADC和∆ABC相似，则记作∆ADC∽_________（请注意对应顶点写在对应位置上），两个三角形对应边成比例可用符号表示为_______________________________. 【变式3】如图，与交于点且互相平分，过点作，交线段于点，写出图中所有的相似三角形，并说出相应的相似比。 【变式4】如图，在正方形ABCD中，AD=4cm，P为AB中点，Q为BC上一点，且,求PQ长度。 题型02 相似三角形判定的预备定理 【典例1】如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则BC=___________。 【变式1】如图，中，点D在边上，，．求证：． 【变式2】如图，，，，，，则线段的长是___________。 【变式3】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式4】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型03 利用两角相等判定三角形相似 【典例1】如图，相交于的点，且．求证： ． 【典例2】如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【变式1】如图，分别是边上的高．求证． 【变式2】如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【变式3】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】如图，正方形中，是的中点，AE⏊EF．与是否相似？求证：CF= 题型04 “A”字模型相似 【典例1】如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式1】如图，在中，是上一点，是上一点，且若，，． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【变式2】如图，点、分别在的边、上，若，， 思考：时，？ 【变式3】平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4】如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，CE⊥AB． 求证：； 题型05 “X”型图相似 【典例1】如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． 求证：； 【典例2】 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【变式1】受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【变式2】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点， 求证： 【变式4】如图，的高相交于点O，请写出与相似的三角形__________． 题型06 子母型相似 【典例1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可），求证：AC2=ADAB 【变式1】如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段BC的长． 【变式2】如图，在中，是斜边上的高， （1）除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ （2）求证：AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=ABBD 【变式3】如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：BC2=CDCA． 【变式4】如图，将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 1．下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 2．如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． 3.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 6. 如图，在中，，是边上的高． 已知，求的长． 7. 已知，如图，四边形 中，，，．求证： (1)∽． (2)． 8. 如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，且与分别交于点． (1)求证：； (2)求的值． 9. 如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作几条？ 10. 如图，在中，BE平分∠ABC，ED垂直平分BC，垂足为D． （1）求证：∆ABE∽∆ACB （2）已知AE=4，EC=5，求AB长 1.下列图形中，一定相似的是( )。 A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 已知，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂∽△A₃B₃C₃, 如果△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 的相似比为2, △A₂B₂C₂ 与△A₃B₃C₃ 的相似比为4,那么△A₁B₁C₁ 与△A₃B₃C₃ 的相似比为( ) 。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上一点，若∠B=∠DCA, 则下列各式中正确的是( )。 A. B. C. D. 4. 如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．AE 5. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°,那么另一个三角形中最小内角的度数为_______︒. 6. 如图，AE 、BD 交于点C,∠A=∠D=90°, 若 AC=2,AB=1.5,CD=1, 则 CE=_____. 7. 已知，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AED 与∆ABC相似，AD=1,BD=2,AC=2, 求AE 的长。 8. 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点， 求证： 9. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10. 如图，在等腰梯形ABCD 中 ，AD//BC，AB=CD，点E在边CD上，AE与BD 相交于点F，且∠EAD=∠ABD。 (1)求证：△ADE ∽△BAD。 (2)如果AB=8,AD=6,BD=x,AE=y,求y和x之间的函数关系。 11. 如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：∆BAP∽∆CPD (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 相似三角形的判定(1) 教学目标 1. 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 2. 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 3. 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 4. 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似三角形预备定理、判定定理1； 难点： 分清“A 型”“X 型”“子母型”，找准对应顶点、对应边。 知识点01 相似三角形的基本概念 1. 定义 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 2. 表示方法 两个三角形中，∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁，∠C=∠C₁， 且 ，这时△ABC 与△相似，记作△ABC∽△，读作“△ABC 相似于△”。 ( 如图所示） 提醒对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3. 相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用k 表示。如图，如果DE 是△ABC的中位线， 那么①△ADE与△ABC的相似比是； ②△ABC与△ADE 的相似比是2. 【易错提醒】 1. 即如果△ADE与△ABC 相似，△ADE 与△ABC的相似比是，那么△ABC与△ADE的相似比是k. 当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形。反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1，因此，全等三角形是相似三角形的特例。 4. 相似三角形的传递性 性质：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC,△∽△ABC, ∴△∽△ 【即学即练】 1. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AC=6，BC=8，AD⊥BC, 垂足为点D。 写出图中的相似三角形，以及相应的相似比。 【答案】∆ADC∽∆ACB，相似比为； ∆CDB∽∆ACB，相似比为； ∆ADC∽∆CDB，相似比为； 【分析】本题主要考查了相似三角形的有关概念，两个图形相似则对应角相等，对应边成比例。 【略解】解：∵∠ACB=90︒，CD⊥AB ∴∠ACD=∠B,∠DCB=∠A ∵AC=6,BC=8 ∴AB=10 ∵CD⊥AB ∴CD=4.8 ∴ ∴∆ADC∽∆ACB，相似比为； ∴∆CDB∽∆ACB，相似比为； ∴∆ADC∽∆CDB，（相似三角形的传递性） 相似比； 知识点02 相似三角形的预备定理 1. 预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 2. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 【易错点睛】 “对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： ，，，或 【即学即练】 1. 求证：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 已知，如图点D、E，分别在边AB、AC上，且DE//BC，求证：∆ABC∽∆ADE. 【分析】本题主要考查了相似三角形判定预备定理的证明，可用相似三角形的概念证明，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例。 【详解】解：过点D作DF//AC交BC于点E ∵，， ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C 若DFCE为平行四边形，DE=CF ∴， 在∆ADE和∆ABC中 ∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=A ， ∴∆ADE∽∆ABC 2. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，求的长。 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形判定预备定理的证明。 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 知识点03 相似三角形的判定定理1 1. 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。 2. 基本模型 内容 两角对应相等的两个三角形相似（A.A） 基本图形 符号语言： 如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 正A、正X （平行模型） 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 反A、反X 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 字母型 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 【即学即练】 1. 如图，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：， ． ， ． 【点睛】本题也可以用预备定理证明。 2. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型01 相似三角形基本概念 【典例1】下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例。 圆等边三角形和正方形都一定满足，而菱形角不一定相等，故不一定相似。 【详解】解：A、两个圆形状相同，一定相似，故选项不符合题意； B.两个等边三角形，角均为60︒，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； C.两个正方形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； D.两个菱形对应角不一定相等（如一个为正方形，一个为一般菱形），不一定相似，故选项符合题意。 故选：D． 【变式1】如图，在中，如果，，则图中的相似三角形有___________________ 【答案】∆ADE∽∆ABC，∆ADE∽∆DBF，∆ABC∽∆DBF 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例。 【详解】解：∵，， ∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠BDF=∠BAC,∠DFB=∠ACB , ∴∆ADE∽∆ABC,∆DBF∽∆ABC ∴∆ADE∽∆DBF（相似的传递性） 【变式2】 如图，在△ABC 中，点D是边AB上一点，若∠B=∠DCA, ∆ADC和∆ABC相似，则记作∆ADC∽_________（请注意对应顶点写在对应位置上），两个三角形对应边成比例可用符号表示为_______________________________. 【答案】∆ADC∽∆ACB， 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似则对应角相等，对应边成比例。 【详解】解：在∆ADC和∆ACB中， ∵∠DCA=B,∠A=∠A ∴∠ADC=∠ACB ∴∆ADC∽ACB ∴ 【变式3】如图，与交于点且互相平分，过点作，交线段于点，写出图中所有的相似三角形，并说出相应的相似比。 【答案】∆AEF∽∆ADB，相似比为； ∆BEF∽∆BCA，相似比为； ∆AEC∽∆DEB，相似比为； 【分析】本题主要考查了相似三角形的有关概念，两个图形相似则对应角相等，对应边成比例，。 【略解】解：∵与互相平分 ∴易证∆AEC≌∆DEB ∴∆AEC∽∆DEB且相似比为1； ∵EF//AC ∴易证EF为∆ABC的中位线，也为∆ABD的中位线 ∴∆ADC∽ACB ∴∆AEF∽∆ADB，相似比为； ∆BEF∽∆BCA，相似比为； 【变式4】如图，在正方形ABCD中，AD=4cm，P为AB中点，Q为BC上一点，且,求PQ长度。 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义，正方形的性质，由正方形的性质得出，由得出，进而求出CQ,PQ的长度。 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，PD=CP=2, ∵ ∴=, ∴CQ= ∴PQ= 题型02 相似三角形判定的预备定理 【典例1】如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则BC=___________。 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形判定的预备定理，根据得到∆ADE∽∆ABC，再代入对应边成比例计算即可。 【详解】解：∵， ∴∆ADE∽∆ABC ∴， ∵，，DE=2.4 ∴， ∴， 解得BC=6， 故答案为：6． 【变式1】如图，中，点D在边上，，．求证：． 【分析】本题考查相似三角形判定的预备定理，根据平行可证三角形相似， 【详解】解：∵， ∴∆EDC∽∆ABC ∵ ∴∆FBDC∽∆ABC ∴∆FBD∽∆EDC ∴ 【变式2】如图，，，，，，则线段的长是___________。 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定的预备定理，根据平行可证三角形相似，根据相似三角形对应边成比例即可求得BF长。 【详解】解：∵，， ∴∆ADE∽∆ABC,∆DBF∽∆ABC ∴∆ADE∽∆DBF ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键。 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和△BAE 构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形。 故选：C． 【变式4】如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似三角形， ∴相似的两个三角形共有6对。 题型03 利用两角相等判定三角形相似 【典例1】如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 【典例2】如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 【变式1】如图，分别是边上的高．求证． 【分析】先利用平行四边形的性质可得，再根据分别是边上的高，可得，即可证明． 【详解】证明：∵中，， ， ． ∵分别是边上的高， ， ． 【变式2】如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． 【变式3】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 【变式4】如图，正方形中，是的中点，AE⏊EF．与是否相似？求证：CF= 【详解】(1)解：与相似．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠B=∠C=90° ∴∠AEB+∠BAE=90° ∵AE⏊EF ∴∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF ． (2) ∴ ∵E是BC中点 ∴CF=. 题型04 “A”字模型相似 【典例1】如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 【变式1】如图，在中，是上一点，是上一点，且若，，． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】如图，点、分别在的边、上，若，， 思考：时，？ 【答案】55︒ 【分析】利用三角形相似的判断推导即可； 【详解】（1）解：∵∠A=40︒,c=85︒ ∴∠B=55︒ 当AED=55︒时， ∵∠A=∠A ∴∆ADE∽∆ACB ， 【变式3】平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 【变式4】如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，CE⊥AB． 求证：； 【详解】证明：，， ， ， ， ∵CE⊥AB ∴∠AED=90︒ ∴∠AED=∠AFB ， ； 题型05 “X”型图相似 【典例1】如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． 求证：； 【详解】证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， =90︒， ∴∠AED=∠CFD=90︒ ∵∠CDF=ADE ∴ 【典例2】 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴∠DMN=∠BCN ， ， ， ∵DM==BC ∴ 设，则， ， ，， ，解得， ． 【变式1】受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 【变式2】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式3】如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点， 求证： 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定证明相似三角形即可． 【详解】证明：∵BE、CD分别是∆ABC两边上的高 ∴， ∴， 又， ∴； ∴； ∴ 【变式4】如图，的高相交于点O，请写出与相似的三角形__________． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有三个，可以是(反X字型)、（反A字型）、∆BCE． 题型06 子母型相似 【典例1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可），求证：AC2=ADAB 【详解】（1）解：∵∠A=∠A， ∴添加或（答案不唯一）时，△ADC△ACB. （2）∵△ADC△ACB ∴ ∴AC2=ADAB 【变式1】如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵∠B=∠B ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，是斜边上的高， （1）除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ （2）求证：AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=ABBD 【详解】（1）解：∵是斜边上的高， ∴， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∴图中与相似的三角形有2个． （2）①∵； ∴ ∴AC2=ADAB ②∵ ∴ ∴BC2=ABBD ③∵， ∴ ∴ ∴CD2=ADBD 【变式3】如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：BC2=CDCA． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的中垂线交于点即可； （2）根据等边对等角，得到，进而求出，得到，再根据，证即可证得结论。 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴ ∴BC2=CDCA 【变式4】将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 1．下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形由于角固定，故总是相似．根据相似三角形的判定定理，两个三角形相似需对应角相等或对应边成比例．等边三角形的所有角均为，故一定相似． 【详解】解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个直角三角形的锐角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． C．∵等边三角形的每个内角均为60°，∴任何两个等边三角形的对应角都相等，∴它们一定相似． D．两个钝角三角形的钝角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． 因此，正确的是C． 故选：C． 2．如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 可得 ，但需注意相似比是 ，而题目给的是 ，需要先求出 ． 【详解】解：∵， ，， ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ． 3.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 5. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 当时，；或当时，；故答案为：（或）（答案不唯一）． 6. 如图，在中，，是边上的高． 已知，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∵∠A=∠A， ∴； ∴，即， 解得：． 7. 已知，如图，四边形 中，，，．求证： (1)∽． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据推出 ，进而证明； （2）根据∽的对应边比例相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， 又 ∵， ∴∽； （2）证明：∵∽， ， ． 8. 如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，且与分别交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ； (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过四边形是平行四边形，推出，得到，，从而得证； （2）由（1）可知，，推出，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作几条？ 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， ∵ ∴∆ ∵ ∴∆ ∵ ∴∠ ∵∠C=∠C ∴∆ 即这样的直线可以作3条． 10. 如图，在中，BE平分∠ABC，ED垂直平分BC，垂足为D． （1）求证：∆ABE∽∆ACB （2）已知AE=4，EC=5，求AB长 【答案】(1)证明：垂直平分， ， ， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABF， ∴∠ABE=∠C ∵∠A=∠A ∴∆ABE∽∆ACB； (2)∵∆ABE∽∆ACB ， ∴ ∵AE=4，EC=5 ∴ ∵AB>0 ∴AB=4 1.下列图形中，一定相似的是( )。 (A) 两个等腰三角形 (B) 两个菱形 (C) 两个正方形 (D) 两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题考查相似形的概念． 【详解】解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个菱形的对应角不一定相等，故不一定相似． C．两个正方形的对应角相等，对应边的比都是1，它们一定相似． D．两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似． 故选：C． 2. 已知，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂∽△A₃B₃C₃, 如果△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 的相似比为2, △A₂B₂C₂ 与△A₃B₃C₃ 的相似比为4,那么△A₁B₁C₁ 与△A₃B₃C₃ 的相似比为( ) 。 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】D 【分析】本题考查相似比的概念． 【详解】解：∵△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 的相似比为2 ∴ ∵ △A₂B₂C₂ 与△的相似比为4 ∴ ∴ 故选：D． 3. 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上一点，若∠B=∠DCA, 则下列各式中正确的是( )。 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定． 【详解】解：∵∠B=∠DCA、∠A=∠A ∴∆ABC∽∆ACD ∴ ∴，故A错误； ∴，故B正确； ∴，故C错误； ∴，故D错误； 故选：B． 4. 如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．AE 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∵ ∴， ∴AE，故D错误． 5. 如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为65°和80°,那么另一个三角形中最小内角的度数为_______︒. 【答案】35 【分析】本题考查相似三角形的概念． 【详解】解：∵两个三角形相似，所以对应角相等， ∵三角形两个内角为65°和80°,所以最小角为35︒. 6. 如图，AE 、BD 交于点C,∠A=∠D=90°, 若 AC=2,AB=1.5,CD=1, 则 CE=_____. 【答案】1.25 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定证明相似三角形，再由相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】证明：∵∠A=∠D=90° 又∠ACD=∠DCE， ∴； ∴； ∴ ∵AC=2,AB=1.5,∠A=90︒ ∴BC= ∴2 ∴CE=1.25 7. 已知，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AED 与∆ABC相似，AD=1,BD=2,AC=2, 求AE 的长。 答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的概念和判定，由相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】证明：如图，若AD//BC 则∆ADE∽∆ABC ∴ ∴ ∴AE=; 若∠A 则∆AD∽∆ACB ∴ ∴ ∴A= 故答案为或. 8. 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点， 求证： 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定证明相似三角形即可． 【详解】证明：∵BE、CD分别是∆ABC两边上的高 ∴， 又∠A=∠A， ∴； ∴； ∴ 9. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及等角的补角相等，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意得和，进一步可得即可； （2）由得，结合平行四边形的性质可得即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 10. 如图，在等腰梯形ABCD 中 ，AD//BC，AB=CD，点E在边CD上，AE与BD 相交于点F，且∠EAD=∠ABD。 (1)求证：△ADE ∽△BAD。 (2)如果AB=8,AD=6,BD=x,AE=y,求y和x之间的函数关系。 【分析】本题主要考查相似三角形的概念和判定． 【详解】(1)证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD//BC，AB=CD ∴， 又∠EAD=∠ABD， ∴△ADE ∽△BAD； (2)∵△ADE ∽△BAD ∴； ∴； ∴y= 11. 如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：∆BAP∽∆CPD (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1、2）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （3）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】(1)证明：，， ， (2)， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (3)解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 学科网（北京）股份有限公司 $