专题02二次函数解析式与一元二次方程期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题02二次函数解析式与一元二次方程期中复习讲义 1.掌握二次函数三种解析式形式，能根据条件灵活选用：一般式、顶点式、交点式；清楚每种形式适合的已知条件。 2.会用待定系数法求二次函数表达式：已知三点坐标用一般式；已知顶点（对称轴、最值）用顶点式；已知抛物线与 x 轴两个交点用交点式；会解对应的方程组求出系数。 3.理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的实数根。 4.会利用判别式=b2-4ac判断抛物线和 x 轴交点个数：>0两个交点；=0一个交点（顶点在 x 轴上）；<0无交点。 5.能根据函数图象估算一元二次方程的近似根；能利用二次函数图象解简单的一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0，看懂图象上 x 的取值范围。 6.掌握抛物线与直线的交点问题：联立两个函数解析式得到一元二次方程，通过判别式判断交点个数，求出交点坐标。 7.会结合二次函数图象，解决已知交点、根的情况反求参数取值范围的题型，注意a≠0这个前提条件。 8.辨析易错点：交点式只适用于抛物线和 x 轴有交点的情况；求参数范围时容易漏掉二次项系数不为 0；分不清方程的根、交点横坐标、不等式解集三者之间的区别；联立求交点计算方程组容易出错。 题型 考察方向 难度 题型一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型二 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型三 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型五 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型七 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型九 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★★ 题型十一 根据交点确定不等式的解集 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：二次函数三种解析式对比表 解析式形式 表达式 适用已知条件 可直接读取信息 限制条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 图像上 3 个普通点 c为抛物线与y轴交点纵坐标 无额外限制，所有二次函数通用 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点(h,k)+ 任意一点 对称轴x=h，顶点(h,k)，最值k 无额外限制，所有二次函数通用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 抛物线与x轴两交点(x1,0)(x2,0)+ 任意一点 方程ax2+bx+c=0两根(x1、x2) 仅Δ>0（与x轴有 2 个不同交点）可用 1.待定系数法标准解题四步骤 设：根据条件匹配上表，选择合适解析式； 代：将点坐标代入，得到方程 / 方程组； 解：求出系数a、b、c或a、h、k或a、x1、x2； 写：代回原式，写出完整函数表达式。 2.三种解析式互化方法 知识点02：Δ、方程根、抛物线与x轴交点三者对应关系表 判别Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数 图像特征 Δ>0 两个不相等实数根x1、x2 2 个交点(x1,0)、(x2,0) 穿过x轴两处 Δ=0 两个相等实数根x1=x2 1 个交点（顶点落在x轴上） 抛物线与x轴相切 Δ<0 无实数根 无交点 图像全部在x轴上方(a>0)或下方(a<0) 知识点 03 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点04:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 05 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。 以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误表现 规避方法 解析式选用 已知顶点仍设一般式；无两个 x 轴交点却用交点式 先看条件匹配表格，牢记交点式Δ>0前提 符号计算 配方、代入坐标、韦达定理丢负号 每一步代入后验算符号 区间判断 判断y>0、y<0时自变量区间写反 先看开口方向，结合图像记忆区间 应用题 实际问题不写自变量取值范围 建模完成后结合长度、销量等现实限制标注范围 交点计算 两交点距离去掉绝对值 公式保留绝对值，结果距离恒为正数 题型一、待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 2．二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 【答案】 【分析】已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可利用交点式设解析式，代入第三个点的坐标求出未知系数，整理即可得到解析式． 【详解】解：∵二次函数图象经过和 ∴设二次函数解析式为，其中 把代入解析式得： 解得 ∴二次函数解析式为 展开整理得． 3．已知二次函数的图象过，，，四个点中的三个点，则符合要求的所有函数表达式中的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题中四个点的位置，结合待定系数法进行判断即可． 【详解】解：∵点A，B，D的纵坐标相同， ∴经过A，B，D三点不能画出二次函数的图象， ∴经过A、B、C或A、C、D或B、C、D都可以画出二次函数的图象， 当经过，，时， ，解得：， 此时； 当经过，，时， ，解得：， 此时； 当经过，，时， ，解得：， 此时； ∵， ∴符合要求的所有函数表达式中的最小值是． 题型二、求抛物线与 x 轴的交点坐标 4．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 5．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 6．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 题型三、求抛物线与 y 轴的交点坐标 7．二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点， 求二次函数与y轴的交点，即令，计算y的值． 【详解】解：∵二次函数与y轴的交点的横坐标为0， ∴令，代入函数解析式：， ∴交点坐标为． 故选：D． 8．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 9．如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意得当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，代入求出即可． 【详解】解：∵线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点， ∴当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高， 则， 解得：． 题型四、已知二次函数的函数值求自变量的值 10．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的函数值比大小．正确计算各函数值是解题的关键． 分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：C． 11．如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则________． 【答案】 【分析】法一：特值法：假设的横坐标为，则得出，根据轴，得出点纵坐标为，点纵坐标为，分别代入和中得，，，进而求比值即可求解；法二：设，同法一，得出，进而求比值，即可求解． 【详解】解：（法一特值法）： 假设的横坐标为， 将代入得，； 垂直于轴，所以点横坐标为 将代入得，， 轴， 点纵坐标为，点纵坐标为， 分别代入和中得，，， ． ； 法二：设，同法一，， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于轴的点的纵坐标相同，平行于轴的点的横坐标相同，用点的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 12．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，进而确定t的最小值，然后再求出时t的值，然后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，根据题意确定t的最小值是解答本题的关键． 题型五、抛物线与 x 轴的交点问题 13．二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 14．已知二次函数和（）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（   　 ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求两个二次函数与x轴的交点坐标，根据相邻交点距离相等列方程求m的值，再计算两对称轴的距离． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得或， ∵， ∴当时，， 解得或， ∵， ∴， ∴四个交点在x轴上从左到右依次为，，，． ∵每相邻两点间的距离相等， ∴． 解得（不符合，舍去）． ∵二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴为， ∴两对称轴之间的距离为． 15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 题型六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【分析】求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数和一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，． 17．下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的负实数根介于哪两个相邻的整数：_____和_____． … … … … 【答案】 【分析】一元二次方程的根是二次函数中对应的值，利用二次函数对称性和函数值的符号变化即可判断根的区间． 【详解】解：一元二次方程的根是二次函数中对应的值， 由表格可知，时，时，两者函数值相等， 二次函数的对称轴为直线， 时，关于对称轴的对称点为， 时， 又时，函数值在到之间由负变正， 对应的负根介于和之间． 18．根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个根满足（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，通过观察表格中函数值的变化，当时函数值小于1，当时函数值大于1，根据函数的连续性，方程必有一个根在之间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足． 故选：C． 题型七、求 x 轴与抛物线的截线长 19．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 21．二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵ 两个交点间的距离为， ∴ ， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 22．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 【答案】D 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：由题意可得：当时，，当时，， 当时，， 选项D符合． 23．由下表的对应关系可知一元二次方程 （为常数，）的一个根的十分位上的数字是_______． 【答案】 【分析】观察表格中的数据，当取值不同时，的值也是不同的，可以在正负函数值之间找到范围． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以当时，方程在此区间内有一个根等于的机会， 所以一个根的十分位上的数字是． 24．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 题型九、图象法解一元二次不等式 25．如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 26．如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 27．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 题型十、利用不等式求自变量或函数值的范围 28．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 29．在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 【答案】 【分析】先将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴和最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定的取值范围． 【详解】解：对二次函数配方得， 二次项系数为，函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最小值， 分别计算区间端点的函数值： 当时，； 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 30．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 题型十一、根据交点确定不等式的解集 31．如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．结合图象进行分析可知：当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方，即可求解． 【详解】解：已知两函数图象交于、两点， 由图可知，当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方， ∴当时，或． 故选：C． 32．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 33．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P与点A、B不重合，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为m，则线段的长度随着m的增大而减小时，m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点的方法，以及数形结合的思想． 联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，分类讨论：①当时，点Q在点P的上方， ②当或时，点Q在点P的下方，逐项分析求解即可． 【详解】解：联立，得 ， 即， 解得， 当时，， 当时，， ∴， 当时，，， ①当时，点Q在点P的上方，则 ，有 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随m的增大而减小； ∴， ②当或时，点Q在点P的下方，则 ，有 抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随m的增大而减小； ∴， 综上所述，或． 故选D． 解答题 34．抛物线 如图所示，回答下列问题． (1)关于 的方程 的解是________； (2)关于 的不等式 的解集是________； (3)当 时， 的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据图象求出图中所有点的坐标，再根据图象的对称性得到答案； （2）直接观察图象得到不等式的解集； （3）观察图象，得出在取值范围内的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 由 得，其关于对称轴对称的点的坐标为 ， ， （2）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 观察图象可得：不等式的解集为． （3）解：由图象知顶点 ，且过 、，对称轴为直线， 由对称性得 ， 当 时，观察图象可得最大值为 ，最小值 ， 的取值范围是： ． 35．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于点，，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根______． (2)写出方程的根______． (3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围______． (4)不等式的解集为______． (5)若方程有实数根，写出实数k的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5) 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）根据抛物线的顶点坐标结合图象得结论； （3）根据A、的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论；     （4）观察图象，在轴上方的部分总大于等于0 ； （5）利用待定系数法先确定的值，根据根的判别式得不等式，解不等式得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴的根为：． （2）解：二次函数的图象的顶点C的坐标为， ∴方程的根为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴该图象的对称轴为直线， ∵图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 即随的增大而减小时． （4）解：∵二次函数的图象与轴交于， 观察图象可知：当或时，图象总在轴的上方． ∴不等式的解集为：或． （5）解：抛物线的顶点的坐标为，且过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵方程有实数根， 即有实数根． ， ， 即当时，方程有实数根． 36．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：对于二次函数，令，得一元二次方程， 其判别式， ∵ 无论取何值，， ∴，即， ∴ 无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2) 的值为或 【分析】（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）利用根与系数的关系，结合轴上两点距离为两根差的绝对值列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得或， 此时，符合题意． 37．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由求得，最后代入求得即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点． （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴，即，解得： ， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线得， ，解得：， ∴点的坐标为或． 38．已知抛物线的对称轴是直线，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点始终在直线下方的原抛物线上，得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点，且点恰好为的中点，请写出抛物线到抛物线的平移方式，并说明理由； (3)直线分别与直线和抛物线交于点、，若的长度随的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线平移到抛物线的方式是向右平移个单位，向上平移个单位 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，一元二次方程等知识． （1）根据抛物线的对称轴，列出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，进而求出抛物线的解析式，再化成顶点式，即可作答； （2）联立直线和原抛物线的解析式，求出交点A、B的坐标，设抛物线的顶点横坐标为，则纵坐标为，再联立直线和抛物线的解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，结合点是、的中点，可求出，问题随之得解； （3）先表示出，，表示出，令，求出相应的分段讨论即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）联立直线和抛物线， 整理，得，解得，， ，， 由题意，设抛物线的顶点横坐标为，则纵坐标为， 抛物线的表达式为， 抛物线与直线交于、两点， ， 整理，得， 又点坐标，而点是、的中点， 由根与系数的关系，得，解得， ， 抛物线， 抛物线， 抛物线平移到抛物线的方式是向右平移个单位，向上平移个单位； （3）由题知，，， 则：， 令，解得：，或者， 当时，， 此时，的长度随的增大而减小； 当时，， 当时，的长度随的增大而减小； 当时，， 此时，的长度随的增大而增大； 综上：的长度随的增大而减小时，的取值范围是或． 39．小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)①；② (3)， (4)或 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）利用图象求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 即自变量x的取值范围是； （2）解：①当时，； ②略 （3）解：如图， 由图可知：方程的根为，； （4）解：当时， 联立方程组， 整理得， ∴， 当时，方程存在正实根，不符合题意； 当时，方程无正实根，符合题意 解得， ∴； 当时，如图， 此时一次函数（）的图象与函数的图象无交点，故符合题意， ∴， 综上，或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数解析式与一元二次方程期中复习讲义 1.掌握二次函数三种解析式形式，能根据条件灵活选用：一般式、顶点式、交点式；清楚每种形式适合的已知条件。 2.会用待定系数法求二次函数表达式：已知三点坐标用一般式；已知顶点（对称轴、最值）用顶点式；已知抛物线与 x 轴两个交点用交点式；会解对应的方程组求出系数。 3.理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标，就是方程ax2+bx+c=0的实数根。 4.会利用判别式=b2-4ac判断抛物线和 x 轴交点个数：>0两个交点；=0一个交点（顶点在 x 轴上）；<0无交点。 5.能根据函数图象估算一元二次方程的近似根；能利用二次函数图象解简单的一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0，看懂图象上 x 的取值范围。 6.掌握抛物线与直线的交点问题：联立两个函数解析式得到一元二次方程，通过判别式判断交点个数，求出交点坐标。 7.会结合二次函数图象，解决已知交点、根的情况反求参数取值范围的题型，注意a≠0这个前提条件。 8.辨析易错点：交点式只适用于抛物线和 x 轴有交点的情况；求参数范围时容易漏掉二次项系数不为 0；分不清方程的根、交点横坐标、不等式解集三者之间的区别；联立求交点计算方程组容易出错。 题型 考察方向 难度 题型一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型二 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型三 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型五 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型七 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型九 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★★ 题型十一 根据交点确定不等式的解集 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：二次函数三种解析式对比表 解析式形式 表达式 适用已知条件 可直接读取信息 限制条件 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 图像上 3 个普通点 c为抛物线与y轴交点纵坐标 无额外限制，所有二次函数通用 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点(h,k)+ 任意一点 对称轴x=h，顶点(h,k)，最值k 无额外限制，所有二次函数通用 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 抛物线与x轴两交点(x1,0)(x2,0)+ 任意一点 方程ax2+bx+c=0两根(x1、x2) 仅Δ>0（与x轴有 2 个不同交点）可用 1.待定系数法标准解题四步骤 设：根据条件匹配上表，选择合适解析式； 代：将点坐标代入，得到方程 / 方程组； 解：求出系数a、b、c或a、h、k或a、x1、x2； 写：代回原式，写出完整函数表达式。 2.三种解析式互化方法 知识点02：Δ、方程根、抛物线与x轴交点三者对应关系表 判别Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数 图像特征 Δ>0 两个不相等实数根x1、x2 2 个交点(x1,0)、(x2,0) 穿过x轴两处 Δ=0 两个相等实数根x1=x2 1 个交点（顶点落在x轴上） 抛物线与x轴相切 Δ<0 无实数根 无交点 图像全部在x轴上方(a>0)或下方(a<0) 知识点 03 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点04:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 05 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。 以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误表现 规避方法 解析式选用 已知顶点仍设一般式；无两个 x 轴交点却用交点式 先看条件匹配表格，牢记交点式Δ>0前提 符号计算 配方、代入坐标、韦达定理丢负号 每一步代入后验算符号 区间判断 判断y>0、y<0时自变量区间写反 先看开口方向，结合图像记忆区间 应用题 实际问题不写自变量取值范围 建模完成后结合长度、销量等现实限制标注范围 交点计算 两交点距离去掉绝对值 公式保留绝对值，结果距离恒为正数 题型一、待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．二次函数图象经过，求二次函数解析式．__________________ 3．已知二次函数的图象过，，，四个点中的三个点，则符合要求的所有函数表达式中的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型二、求抛物线与 x 轴的交点坐标 4．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 6．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型三、求抛物线与 y 轴的交点坐标 7．二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则______． 9．如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 题型四、已知二次函数的函数值求自变量的值 10．点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．如图，平行于轴的直线分别交抛物线与交于，两点，过点作轴的平行交于点，直线，交于点，则________． 12．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型五、抛物线与 x 轴的交点问题 13．二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．已知二次函数和（）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（   　 ） A．2 B． C．4 D． 15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 题型六、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 17．下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的负实数根介于哪两个相邻的整数：_____和_____． … … … … 18．根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个根满足（） A． B． C． D． 题型七、求 x 轴与抛物线的截线长 19．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 21．二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 题型八、图象法确定一元二次方程的近似根 22．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 23．由下表的对应关系可知一元二次方程 （为常数，）的一个根的十分位上的数字是_______． 24．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 题型九、图象法解一元二次不等式 25．如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 26．如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 27．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 题型十、利用不等式求自变量或函数值的范围 28．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 29．在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 30．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 题型十一、根据交点确定不等式的解集 31．如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 32．如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 33．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P与点A、B不重合，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为m，则线段的长度随着m的增大而减小时，m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 解答题 34．抛物线 如图所示，回答下列问题． (1)关于 的方程 的解是________； (2)关于 的不等式 的解集是________； (3)当 时， 的取值范围是________． 35．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于点，，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根______． (2)写出方程的根______． (3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围______． (4)不等式的解集为______． (5)若方程有实数根，写出实数k的取值范围______． 36．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 37．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 38．已知抛物线的对称轴是直线，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点始终在直线下方的原抛物线上，得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点，且点恰好为的中点，请写出抛物线到抛物线的平移方式，并说明理由； (3)直线分别与直线和抛物线交于点、，若的长度随的增大而减小，直接写出的取值范围． 39．小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量x的取值范围是__________； (2)小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)直接写出方程的根：__________； (4)当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $