专题二·期中综合复习·培优提高讲义（二次函数相似三角形）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提高讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数图象性质与方程交点解决较复杂的图象问题 · 掌握二次函数与相似三角形的综合问题，能建立函数与几何的联系 · 熟练运用相似三角形的判定与性质，结合四边形背景解决问题 · 掌握新定义、规律探究类题目的解题策略 · 提升综合解答题的规范书写与推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数图象与性质 图象结论判断结合对称轴、顶点、特殊点代入验证 与 x 轴交点由 Δ=b2-4ac 决定，交点横坐标即方程根 平移、旋转抓住顶点变化，用顶点式写新解析式 比较函数值大小利用对称轴与开口方向 概念辨析例题：抛物线 y=-x2+4x-3 与 x 轴的交点坐标为（　　） 答案：(1,0)、(3,0) 解析：令 y=0 得 x2-4x+3=0，(x-1)(x-3)=0，x=1 或 3。交点 (1,0)、(3,0)。 ☆ 2.相似三角形判定与性质 判定优先找等角：公共角、对顶角、平行线产生的角 两边成比例且夹角相等时注意是夹角 面积比 = k2，周长比 = k，对应高比 = k 平行四边形、梯形中平行线构造相似三角形 概念辨析例题：如图，DE∥BC，AD:AB=2:5，S△ADE=4，则 S△ABC 等于（　　） 答案：25 解析：△ADE∽△ABC，相似比 ，面积比 。=，S=25。 ☆ 3.二次函数与相似综合 抛物线上的点用坐标表示，相似条件转化为比例方程 动点在抛物线上运动时设横坐标为参数表示纵坐标 面积问题把底和高用坐标差表示，转化为二次函数求最值 存在性问题先假设存在，列方程求解后检验 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 D，则 △ABD 的面积为（　　） 答案：8 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4；D(1,-4)，高为4。S=×4×4=8。 ☆ 4.新定义与规律探究 新定义先逐字理解，把定义翻译为数学关系式 规律探究从特殊到一般：先求前几个值再归纳通项 新定义问题注意参数取值范围，防止增解 探究题按问题串推进，充分利用前问结论 概念辨析例题：定义：若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 (1,0)，则称其为“零点函数”。下列是“零点函数”的是（　　） 答案：y=x2-2x+1 解析：检验 x=1 时 y=0：y=x2-2x+1 在 x=1 时 y=0，符合定义。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图象与方程 Δ 定交点个数 根即交点横坐标 面积问题 底高用坐标差表示 注意绝对值 相似综合 比例方程转化 对应关系要准 存在性 假设→列式→检验 防止增解 新定义 翻译为数学关系 注意参数范围 规律探究 特殊到一般归纳 验证通项 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式 1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 2．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形性质理解、相似图形、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 4．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 5．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 6．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又 ， 四边形四边形． 故选：D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 8．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、公式法解一元二次方程 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 9．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 11．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 12．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 13．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质求面积、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性及全等三角形的性质和判定可判断A，根据三角函数的定义及线段垂直平分线的性质，结合图形可判断B，根据三角函数的定义及勾股定理，面积可判断C，根据正方形的性质及平行线分线段成比例定理可判断D，从而可得答案． 【详解】解：作于， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，即， ， ， ， ， ， 故A正确； ， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段的垂直平分线上，即点在经过、中点的直线上， 如图所示， ，当时，是等边三角形，此时，那么，B 选项不正确； 连接，作于， ，，正方形中，，， ，， ，， 设， 则，， ，， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， ， ， 那么．C选项正确； ， ， ， ， ，D选项正确， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了与正方形有关的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质及判定、勾股定理、解直角三角形、线段垂直平分线的性质及平行线分线段成比例定理，综合性强，正确添加辅助线是解题的关键． 14．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 15．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】抛物线平移后与轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在轴上，或者对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：原抛物线解析式为 配方得 即 原抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴向下平移个单位 平移后的抛物线解析式为 平移后的抛物线与轴有且只有一个交点 平移后的抛物线顶点在轴上 解得． 17．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 19．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 20．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】如图：设交于点M．由矩形的性质可证明，即，设，则有，，再代入得到比例式求解即可． 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， ∴． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定 · 与 x 轴交点横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c) · 图象解不等式转化为看抛物线在 x 轴上方或下方的部分 21．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 22．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 24．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 25．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量） · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中 h、k 决定平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号 · 平移、旋转后先确定新顶点坐标，再用顶点式写新解析式 26．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 27．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 28．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，得出，掌握相似三角形高的比等于相似比，以及矩形对边平行且相等，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是内接矩形，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， 即． 29．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 30．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2) · 选择解析式形式以条件信息最直接的形式入手 31．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 32．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．连接，在格点上取、、、，使得，，得到，，推出，证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，在格点取、、、，使得，， 由图可知，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 33．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：． 34．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示_____． 【答案】(1)证明：∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）略 （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 35．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 36．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 37．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 38．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动 ，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标 · 已知函数值求自变量，解方程后按实际意义取舍 · 综合与实践题按问题串逐步推进，每问结果用于后问 39．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据正方形的性质求线段长、点坐标规律探索 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 43．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． (1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． (2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； (3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 【答案】(1)①；②2， (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合、坐标与图形综合 【分析】本题在新定义的基础上考查了勾股定理，反比例函数的定义等知识，解决问题的关键是紧扣定义． （1）①根据定义得出点到的距离等于点到点距离，进而得出结果； ②可得出，，根据勾股定理求得的值． （2）作于，交轴于，连接，作于，设，可得出，，，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果． （3）作，交轴于，作轴于，根据得出，，，在中根据勾股定理得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①点到的距离等于点到点距离， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 轴， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 作于，交轴于，连接，作于， 设， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图2， 作，交轴于，作轴于， ， ， ，， ， 在中，， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 这个反比例函数的解析式为：． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义，转化为熟悉的二次函数模型 · 规律探究题先求前几个值，归纳通项再推广 · 按定义列方程时注意讨论参数取值范围 · 探究题用特殊到一般的方法找递推关系 44．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 45．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 46．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键． 连接，利用正方形的性质得出与互相垂直平分，，设，即可得出，代入得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 与互相垂直平分，， 轴， 设， 点， ， ∴， 点、在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点8】二次函数综合解答 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进 · 特殊三角形存在性、面积最值问题转化为二次函数或方程求解 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论不重不漏 47．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（2022·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2)证明：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后利用即可证明； （2）证明，再等量代换求证即可． 【详解】（1）略 （2）略 49．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， (2) 证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 50．（23-24九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值，结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：二次项系数， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：，， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值是， ∴． 51．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)26 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 52．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； (2) 证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）可得，，则，，即可证明； （2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 53．（23-24九年级上·上海普陀·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过和，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移（）个单位后得到的新抛物线与轴交于点，新抛物线的顶点为； ①求新抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①， ；②或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，相似三角形的性质． （1）把点和代入函数中，即可求出a、c的值，从而得到该抛物线的表达式，根据二次函数的性质即可得到抛物线顶点M的坐标． （2）①根据平移可得新抛物线的表达式为，把点代入即可求出m的值，进而得到顶点坐标． ②把代入函数，可求得抛物线与轴的另一个交点C的坐标，根据点A，B，C的坐标可求出的三边，，的长．根据新抛物线的表达式可得对称轴为，从而设点N的坐标为，根据点，，，可得到三边，，的长．若与相似，根据相似三角形的对应边成比例，分情况讨论，构造方程即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点M坐标为． （2）①∵将抛物线右平移2个单位，再向下平移（）个单位，得到新的抛物线， ∴新抛物线的表达式为， ∵新抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴ ∴新抛物线的表达式为，顶点坐标为． ②    把代入函数，得， 解得，， ∴抛物线与轴的另一个交点C的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∵新抛物线的对称轴为，点N是该对称轴上的一点， ∴设点N的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， 若与相似，则有以下情况： ①，即， 解得：， ∴点N的坐标为； ②，即， 该方程组无解； ③，即， 该方程组无解； ④，即， 该方程组无解； ⑤，即， 解得：， ∴点N的坐标为； ⑥，即， 该方程组无解． 综上所述，点N的坐标为或． 【考点9】相似三角形的判定与综合解答 · 判定相似：两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 · 结合平行四边形、梯形、菱形性质找相等角与成比例线段 · 求线段长设未知数，列比例方程求解并检验 · 多图形综合题注意结论传递，分类讨论不重不漏 54．（2024·甘肃天水·三模）如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． (2) 证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到，即可证明； （2）先证明得到，再根据证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 55．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ，， 又， ， ， (2) ，，， ， ， ， ． 在等腰梯形中，，， 又， ， ， ， ， ， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到；由相似三角形性质可得，进而得出结论． （2）先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）略 （2）略 56．（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． (2) 证明：设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 57．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 58．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，，，、交于点，求的度数． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】由勾股定理得，，，由，，可证，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 59．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 60．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数综合题先求解析式，把几何条件转化为坐标关系 · 相似条件列比例式时注意对应顶点，写错对应关系全盘皆错 · 存在性问题求解后必须检验，动点位置可能有两解 · 新定义题先翻译定义再解题，不被陌生名词吓住 · 综合题分问作答，前问结论为后问服务，书写规范 【作业1】．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【作业2】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：如图， 假设， ∴，，，选项C缺少角的条件 故选项C错误， 故选：C． 【作业3】．（22-23九年级上·上海·开学考试）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．根据对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，判定解答即可． 【详解】解：A．两个菱形，满足对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合题意； B．两个矩形，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，不符合题意； C．两个等腰梯形，对应角不应定相等，对应边不一定成比例，不符合题意；     D．两个等腰直角三角形，满足对应角相等，对应边成比例，符合题意； 故选：D． 【作业4】．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 【作业5】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、成比例线段、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例判定即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，故①正确； 如图：    直线截的延长线于D、E， 由题意得：，即， 但与不平行，故②错误； 若是直角三角形，有一边及这边上的高对应成比例，则两个三角形相似；一般的三角形不一定，故③错误； 两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行，故④正确； 邻边相等的矩形是正方形，一定相似，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似图形的判定和性质． 【作业6】．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 【作业7】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【作业8】．（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理，平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵交于M、N，H为的中点， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 无法得到； 故只有选项D错误． 【作业9】．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 【答案】或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 【作业10】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 【作业11】．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 【作业12】．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【详解】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业14】．（24-25九年级上·上海·期中）当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数图象经过一、二、三象限，得到图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，， ∴当抛物线（m是常数）经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数， ∴，解得：， ∴当时，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 【作业15】．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为____________（不考虑x的取值范围）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质及矩形的性质，函数关系式，依次表示出的长，再利用矩形与矩形相似，即可得到，从而得出结果． 【详解】解：，， ，， 矩形与矩形相似， ， ， ， 故答案为：． 【作业16】．（2026·上海崇明·二模）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形的内角问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长 、交于点 ，在正六边形 中，，证明是等边三角形，得出，根据点是 中点，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长 、交于点 ， 在正六边形 中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是 中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业17】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【作业18】．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 【作业19】．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【答案】(1)假，真 (2) 证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似多边形 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）略 【作业20】．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】 （1）证明：∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2），是型三角形； （3）或 【知识点】矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提高讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数图象性质与方程交点解决较复杂的图象问题 · 掌握二次函数与相似三角形的综合问题，能建立函数与几何的联系 · 熟练运用相似三角形的判定与性质，结合四边形背景解决问题 · 掌握新定义、规律探究类题目的解题策略 · 提升综合解答题的规范书写与推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数图象与性质 图象结论判断结合对称轴、顶点、特殊点代入验证 与 x 轴交点由 Δ=b2-4ac 决定，交点横坐标即方程根 平移、旋转抓住顶点变化，用顶点式写新解析式 比较函数值大小利用对称轴与开口方向 概念辨析例题：抛物线 y=-x2+4x-3 与 x 轴的交点坐标为（　　） 答案：(1,0)、(3,0) 解析：令 y=0 得 x2-4x+3=0，(x-1)(x-3)=0，x=1 或 3。交点 (1,0)、(3,0)。 ☆ 2.相似三角形判定与性质 判定优先找等角：公共角、对顶角、平行线产生的角 两边成比例且夹角相等时注意是夹角 面积比 = k2，周长比 = k，对应高比 = k 平行四边形、梯形中平行线构造相似三角形 概念辨析例题：如图，DE∥BC，AD:AB=2:5，S△ADE=4，则 S△ABC 等于（　　） 答案：25 解析：△ADE∽△ABC，相似比 ，面积比 。=，S=25。 ☆ 3.二次函数与相似综合 抛物线上的点用坐标表示，相似条件转化为比例方程 动点在抛物线上运动时设横坐标为参数表示纵坐标 面积问题把底和高用坐标差表示，转化为二次函数求最值 存在性问题先假设存在，列方程求解后检验 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 D，则 △ABD 的面积为（　　） 答案：8 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4；D(1,-4)，高为4。S=×4×4=8。 ☆ 4.新定义与规律探究 新定义先逐字理解，把定义翻译为数学关系式 规律探究从特殊到一般：先求前几个值再归纳通项 新定义问题注意参数取值范围，防止增解 探究题按问题串推进，充分利用前问结论 概念辨析例题：定义：若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 (1,0)，则称其为“零点函数”。下列是“零点函数”的是（　　） 答案：y=x2-2x+1 解析：检验 x=1 时 y=0：y=x2-2x+1 在 x=1 时 y=0，符合定义。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 图象与方程 Δ 定交点个数 根即交点横坐标 面积问题 底高用坐标差表示 注意绝对值 相似综合 比例方程转化 对应关系要准 存在性 假设→列式→检验 防止增解 新定义 翻译为数学关系 注意参数范围 规律探究 特殊到一般归纳 验证通项 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式 1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 4．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 9．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 12．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 13．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 15．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 17．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 19．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 20．（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定 · 与 x 轴交点横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c) · 图象解不等式转化为看抛物线在 x 轴上方或下方的部分 21．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 22．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 24．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 25．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量） · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中 h、k 决定平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号 · 平移、旋转后先确定新顶点坐标，再用顶点式写新解析式 26．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 27．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 28．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式______． 29．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 30．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2) · 选择解析式形式以条件信息最直接的形式入手 31．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 32．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 33．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 34．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示_____． 35．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 36．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 37．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 38．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标 · 已知函数值求自变量，解方程后按实际意义取舍 · 综合与实践题按问题串逐步推进，每问结果用于后问 39．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 40．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 41．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 42．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 43．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． (1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． (2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； (3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义，转化为熟悉的二次函数模型 · 规律探究题先求前几个值，归纳通项再推广 · 按定义列方程时注意讨论参数取值范围 · 探究题用特殊到一般的方法找递推关系 44．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 45．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 46．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 【考点8】二次函数综合解答 · 综合题先求解析式，再结合对称轴、顶点、交点逐问推进 · 特殊三角形存在性、面积最值问题转化为二次函数或方程求解 · 多问综合题注意每问结果可为后续服务，分类讨论不重不漏 47．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 48．（2022·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 49．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 50．（23-24九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 51．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 52．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 53．（23-24九年级上·上海普陀·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过和，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移（）个单位后得到的新抛物线与轴交于点，新抛物线的顶点为； ①求新抛物线的表达式及顶点的坐标； ②点是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点的坐标． 【考点9】相似三角形的判定与综合解答 · 判定相似：两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 · 结合平行四边形、梯形、菱形性质找相等角与成比例线段 · 求线段长设未知数，列比例方程求解并检验 · 多图形综合题注意结论传递，分类讨论不重不漏 54．（2024·甘肃天水·三模）如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 55．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 56．（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 57．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 58．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，，，、交于点，求的度数． 59．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 60．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：在与中，，．求证：． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数综合题先求解析式，把几何条件转化为坐标关系 · 相似条件列比例式时注意对应顶点，写错对应关系全盘皆错 · 存在性问题求解后必须检验，动点位置可能有两解 · 新定义题先翻译定义再解题，不被陌生名词吓住 · 综合题分问作答，前问结论为后问服务，书写规范 【作业1】．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（22-23九年级上·上海·开学考试）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【作业4】．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【作业5】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业6】．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业7】．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【作业8】．（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【作业9】．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 【作业10】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【作业11】．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【作业12】．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【作业13】．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 【作业14】．（24-25九年级上·上海·期中）当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【作业15】．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为____________（不考虑x的取值范围）． 【作业16】．（2026·上海崇明·二模）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________． 【作业17】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【作业18】．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【作业19】．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【作业20】．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $