精品解析：陕西咸阳市实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

第一学期九年级数学 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 3. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 6 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 7. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程2（x﹣2）2=x（x﹣1）化为一元二次方程的一般形式为_____． 10. 已知对角线长为2的正方形的面积为______． 11. 若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 12. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题：本大题共9小题，共78分． 15. 解方程（每小题5分，共10分） （1）（配方法）； （2）（公式法）． 16. 如图，在中，，请用尺规作图，在边上求作一点D，连接，使得将分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 18. 已知：如图，在中，，点，分别是和的中点．求证：四边形是矩形． 19. 知关于x的一元二次方程（a-2）x2-2（a-1）x+a+1=0有两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若a为最大的正整数，求此时方程的根． 20. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 22. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 23. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 24. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动）． （1）如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的面积的三分之一？ （2）如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟后，，两点相距6厘米？ 25. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期九年级数学 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：A、将方程右边展开得，移项合并同类项得，是一元一次方程，不符合； B、方程移项整理为，满足一元二次方程的定义，符合； C、方程的分母含未知数，不是整式方程，不符合； D、方程未限定，当时不是二次方程，不符合． 2. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可． 【详解】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确； 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确； 对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确； 对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确； 故选D． 【点睛】考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键． 3. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识．先求出方程的解，再分当时，当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：解方程得：， 当时，三边长度分别为：，， ∴不能构成三角形， 当时，三边长度分别为：，，， ∴能构成以3和4为直角边长的直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故选：D． 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 7. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 8. 如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程2（x﹣2）2=x（x﹣1）化为一元二次方程的一般形式为_____． 【答案】x2﹣7x+8=0 【解析】 【详解】试题解析： 整理得： 移项合并得： 则方程化为一般形式为 故答案为 点睛：一元二次方程的一般形式： 10. 已知对角线长为2的正方形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】因为正方形是特殊的菱形，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴两条对角线都是2， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查正方形的面积，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 11. 若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 其中，，，， ，， ， ． 12. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题：本大题共9小题，共78分． 15. 解方程（每小题5分，共10分） （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 解得：，． 16. 如图，在中，，请用尺规作图，在边上求作一点D，连接，使得将分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、直角三角形的性质、尺规作图-作线段垂直平分线，解题关键是正确作图． 根据线段垂直平分线的作图方法，作的垂直平分线，垂足为点，此时点D是中点，则，则是等腰三角形． 【详解】略 17. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 【答案】河宽为17米． 【解析】 【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴， ∴AB＝17， 即河宽为17m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18. 已知：如图，在中，，点，分别是和的中点．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可证四边形是平行四边形，再根据三线合一可得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 19. 知关于x的一元二次方程（a-2）x2-2（a-1）x+a+1=0有两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若a为最大的正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）a≤3且a≠2；（2）x1=x2=2． 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义求出a的取值范围，再利用一元二次方程的根的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）先求出a的值，再代入一元二次方程解方程即可． 【详解】（1）由一元二次方程的定义得，解得 由题意知，此方程的根的判别式，即 整理得 解得 故a的取值范围是且； （2）由（1）可知， 则一元二次方程为 配方得 解得 故此时方程的根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、以及解法，掌握理解根的判别式是解题关键． 20. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 【答案】1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设道路宽应为米，根据六块试验田可拼成长为，宽为的矩形，列方程求解即可． 【详解】解：设道路宽应为米， 则， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：道路宽应为米． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，点为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，且， 又∵点为的中点， 为的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 22. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 【答案】（1）当时，是菱形；边长是 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． 【小问2详解】 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 23. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 【答案】 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形． 【详解】略 24. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动（到达点即停止运动）． （1）如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的面积的三分之一？ （2）如果，两点分别从，两点同时出发，经过几秒钟后，，两点相距6厘米？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）秒 【解析】 【分析】（1）根据的面积等于的面积的三分之一列方程求解即可； （2）根据，两点相距6厘米结合勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，的面积等于的面积的三分之一， 根据题意得：， 解得：或， 答：经过2秒或4秒后，的面积等于的面积的三分之一； 【小问2详解】 设经过秒时，，两点相距， 根据题意得：， 解得：（含去）或， 答：经过秒后，两点相距6厘米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找出合适的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $