第2章 有理数 单元自测· 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第2章 有理数·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（选自2024·苏州春申中学10月月考公开重排版第3题）下列说法正确的是（　　） A．最小的整数是 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等 C．有理数分为正数和负数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 2．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第4题）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（选自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第2题）下列各对数中，互为倒数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第2题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第3题）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第6题）四件同型号零件的长度偏差依次为、、、毫米。规定超过标准为正，不足标准为负。偏离标准长度最多的是（　　） A．第一件 B．第二件 C．第三件 D．第四件 7．（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第8题）若两个有理数的和为负数，则下列哪一项完整列出了可能情况（　　） A．两个加数均为负数 B．一个加数为负数，另一个为 C．两个加数异号，且负数的绝对值较大 D．必属于前三项所列的三种情况之一 8．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第4题）已知有理数满足，且，，则一定是（　　） A．正数 B． C．负数 D．非负数 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第2题）在数轴上，与表示数的点的距离为的点表示的数为________。 10．（改编自2025·连云港赣榆期中公开重排版第8题）蜗牛从数轴上表示的点出发，依次向右移动个单位长度、向左移动个单位长度、向右移动个单位长度、向左移动个单位长度，依此规律。第次移动后，所在点表示的数为________。 11．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第7题）将用科学记数法表示为________。 12．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第11题）绝对值不大于的所有负整数的和为________。 13．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第9题）数轴上点分别表示，点是线段的中点，点是线段的中点，则点表示的数为________。 14．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第12题）若，则________。 15．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第18题）五个有理数的积为负数，其中负因数的个数可能为________。 16．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第6题）下列说法中正确的有________个。 ①两数的和为，则它们互为倒数；②绝对值等于本身的有理数是正数；③几个有理数的积为负数时，负因数的个数为奇数；④若，则；⑤若，则。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第20题）有理数可以表示具有相反意义的量。 （1）螺丝帽的内径比规定尺寸大毫米，记作毫米，则毫米表示什么意义？ （2）产量增加记作，那么产量减少应怎样记录？ （3）一名同学说：“，所以偏差为毫米的零件偏离规定尺寸更多。”这一判断对吗？说明理由。 18．（5分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第23题）计算，能简算的尽量简算： （1）； （2）。 19．（6分）（选自2024·南京联合体10月月考公开重排版第22题）计算： （1）； （2）。 20．（6分）（节选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第25题）计算： （1）； （2）。 21．（6分）（选自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第21题）画出数轴，在数轴上表示，并用“”把这些数连接起来。 22．（8分）（改编自2024·苏州春申中学10月月考公开重排版第22题）以分为标准，小明将六次数学测验超过标准的分数记为正，不足的分数记为负，记录依次为（单位：分）。 （1）最高分比最低分高多少分？ （2）求六次测验的平均成绩。 23．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第20题）若，且，求的值，并说明是否需要分情况计算。 24．（8分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第19题）某运送队沿一条直路从地出发，规定向前为正，向后为负。六段行程记录为（单位：千米）。 （1）收工时在地的哪个方向？距地多远？ （2）若汽车每千米耗油升，共耗油多少升？ （3）在第几段行程结束时距地最远？有多远？ 25．（10分）（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第24题）观察按如下规律构造的一列数： 第个数为；第个数为；第个数为。之后分母依次增加，括号中的加、减号交替出现。 （1）求第个数和第个数； （2）写出第个数的构造算式并计算； （3）用“”连接第（2）问的三个结果。 26．（10分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第19题）观察： ； ； 。 （1）按规律写出的两个相等表达式； （2）写出的两个相等表达式（为正整数）； （3）利用上述等式求。 27．（10分）（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第20题）已知是最大的负整数，是的相反数，，点在数轴上分别表示。 （1）求并在数轴上标出三点； （2）点从出发、点从同时出发，都向右运动，速度分别为每秒个、每秒个单位长度。几秒后追上？ （3）数轴上是否存在点，使它到三点的距离之和为？若存在，求点表示的所有数；若不存在，说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（选自2024·苏州春申中学10月月考公开重排版第3题）下列说法正确的是（　　） A．最小的整数是 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等 C．有理数分为正数和负数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等。既不是正数，也不是负数；整数没有最小值。 【详解】互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等。既不是正数，也不是负数；整数没有最小值。 【易错提醒】不要遗漏数。 2．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第4题）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】，，二者之和为。其余三组选项中的两个数分别相等。 【详解】，，二者之和为。其余三组选项中的两个数分别相等。 【易错提醒】先化简每个数，再判断是否和为。 3．（选自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第2题）下列各对数中，互为倒数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】，故二者互为倒数。其余三组的积都不等于。 【详解】，故二者互为倒数。其余三组的积都不等于。 【易错提醒】互为倒数看乘积，不看数值的绝对值。 4．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第2题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】。中异号相加应作差；应先乘；中同级乘除应从左到右。 【详解】。中异号相加应作差；应先乘；中同级乘除应从左到右。 【易错提醒】不能把连续乘除中的后两个因数先相乘。 5．（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第3题）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】；，。 【详解】；，。 【易错提醒】无括号时先乘方，再处理幂前的负号。 6．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第6题）四件同型号零件的长度偏差依次为、、、毫米。规定超过标准为正，不足标准为负。偏离标准长度最多的是（　　） A．第一件 B．第二件 C．第三件 D．第四件 【答案】C 【分析】四个偏差的绝对值依次为、、、，其中最大。 【详解】四个偏差的绝对值依次为、、、，其中最大。 【易错提醒】偏差为负不代表偏离程度更小。 7．（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第8题）若两个有理数的和为负数，则下列哪一项完整列出了可能情况（　　） A．两个加数均为负数 B．一个加数为负数，另一个为 C．两个加数异号，且负数的绝对值较大 D．必属于前三项所列的三种情况之一 【答案】D 【分析】两数同为负数时和为负；一负一零时和为负；一正一负时，只有负数绝对值较大，和才为负。这三种情况覆盖全部可能。 【详解】两数同为负数时和为负；一负一零时和为负；一正一负时，只有负数绝对值较大，和才为负。这三种情况覆盖全部可能。 【易错提醒】和为负不等于两个加数都为负。 8．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第4题）已知有理数满足，且，，则一定是（　　） A．正数 B． C．负数 D．非负数 【答案】C 【分析】若，则，不可能大于正数。因此。 【详解】若，则，不可能大于正数。因此。 【易错提醒】判断“一定”应排除所有其他符号情况。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第2题）在数轴上，与表示数的点的距离为的点表示的数为________。 【答案】或。 【分析】分别向左、向右移动个单位长度，得到与。 【详解】分别向左、向右移动个单位长度，得到与。 【易错提醒】指定距离通常对应左右两个位置。 10．（改编自2025·连云港赣榆期中公开重排版第8题）蜗牛从数轴上表示的点出发，依次向右移动个单位长度、向左移动个单位长度、向右移动个单位长度、向左移动个单位长度，依此规律。第次移动后，所在点表示的数为________。 【答案】。 【分析】，故位置为。 【详解】，故位置为。 【易错提醒】别把累计位移当成最终坐标。 11．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第7题）将用科学记数法表示为________。 【答案】 【分析】，其中。 【详解】，其中。 【易错提醒】首因数必须不小于且小于。 12．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第11题）绝对值不大于的所有负整数的和为________。 【答案】 【分析】符合条件的负整数为，其和为。 【详解】符合条件的负整数为，其和为。 【易错提醒】“不大于”包含端点，且本题只取负整数。 13．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第9题）数轴上点分别表示，点是线段的中点，点是线段的中点，则点表示的数为________。 【答案】 【分析】，，，所以点表示。 【详解】，，，所以点表示。 【易错提醒】第二次取中点的是，不是。 14．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第12题）若，则________。 【答案】 【分析】两个非负数之和为，所以，；因此。 【详解】两个非负数之和为，所以，；因此。 【易错提醒】先由两个非负项分别为确定底数与指数。 15．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第18题）五个有理数的积为负数，其中负因数的个数可能为________。 【答案】 【分析】积为负说明没有零因数，且负因数个数为奇数；在五个因数中只能为个。 【详解】积为负说明没有零因数，且负因数个数为奇数；在五个因数中只能为个。 【易错提醒】不能遗漏积不为零这一隐含条件。 16．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第6题）下列说法中正确的有________个。 ①两数的和为，则它们互为倒数；②绝对值等于本身的有理数是正数；③几个有理数的积为负数时，负因数的个数为奇数；④若，则；⑤若，则。 【答案】 【分析】③⑤正确。①应为互为相反数；②还包括；④如，但为正数。 【详解】③⑤正确。①应为互为相反数；②还包括；④如，但为正数。 【易错提醒】判断全称命题时，检查和一正一负的反例。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第20题）有理数可以表示具有相反意义的量。 （1）螺丝帽的内径比规定尺寸大毫米，记作毫米，则毫米表示什么意义？ （2）产量增加记作，那么产量减少应怎样记录？ （3）一名同学说：“，所以偏差为毫米的零件偏离规定尺寸更多。”这一判断对吗？说明理由。 【答案】（1）比规定内径小毫米；（2）；（3）不对，偏差为毫米的零件更接近规定尺寸。 【分析】（1）毫米表示螺丝帽的内径比规定尺寸小毫米。 【详解】（1）毫米表示螺丝帽的内径比规定尺寸小毫米。 （2）产量减少应记作。 （3）不对。偏离程度应看偏差的绝对值；，所以偏差为毫米的零件偏离规定尺寸更少。 【易错提醒】数值的大小和偏离标准的程度是两个不同问题。 【评分标准】（1分）正确解释负偏差。 （1分）正确记录产量减少。 （3分）否定错误判断，并用两个绝对值准确说明理由。 18．（5分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第23题）计算，能简算的尽量简算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】减去负数应转为加正数；调换次序时每一项须连同符号一起移动。 【评分标准】（2分）第（1）问正确化减为加并计算。 （3分）第（2）问正确分组并得到结果。 19．（6分）（选自2024·南京联合体10月月考公开重排版第22题）计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】第（2）题的等于。 【评分标准】（3分）第（1）题先乘方、乘除，再相减，结果正确。 （3分）第（2）题负号、绝对值及运算结果正确。 20．（6分）（节选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第25题）计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】带分数先化假分数；除以分数等于乘其倒数。 【评分标准】（3分）第（1）题正确化带分数、取倒数并算得结果。 （3分）第（2）题正确运用分配律并算得结果。 21．（6分）（选自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第21题）画出数轴，在数轴上表示，并用“”把这些数连接起来。 【答案】 【分析】先化简得。在数轴上由左到右标出，原点、正方向和单位长度应齐全。 【详解】先化简得。在数轴上由左到右标出，原点、正方向和单位长度应齐全。 所以。 【易错提醒】最后连接时应保留各数原来的书写形式。 【评分标准】（2分）正确化简各数。 （2分）数轴三要素齐全且标点正确。 （2分）不等式连接正确。 22．（8分）（改编自2024·苏州春申中学10月月考公开重排版第22题）以分为标准，小明将六次数学测验超过标准的分数记为正，不足的分数记为负，记录依次为（单位：分）。 （1）最高分比最低分高多少分？ （2）求六次测验的平均成绩。 【答案】（1）分；（2）分。 【分析】（1）最高分为分，最低分为分，相差分。 【详解】（1）最高分为分，最低分为分，相差分。 （2）六次记录之和为，平均成绩为分。 【易错提醒】记录为表示达到标准分，不是考试得分。 【评分标准】（4分）最高分、最低分及差各计算正确。 （4分）偏差和、平均偏差及平均成绩正确。 23．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第20题）若，且，求的值，并说明是否需要分情况计算。 【答案】 【分析】由，知或，或。若，则不成立，故。此时的两个值都满足条件。 【详解】由，知或，或。若，则不成立，故。此时的两个值都满足条件。 在两种情况下都为，所以。需要辨别的可能值，但最终算式无需重复计算。 【易错提醒】不能擅自只取；要解释两种给出同一结果。 【评分标准】（2分）列出的可能值。 （2分）由排除。 （2分）正确求值。 （2分）说明有两种取值但平方相同。 24．（8分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第19题）某运送队沿一条直路从地出发，规定向前为正，向后为负。六段行程记录为（单位：千米）。 （1）收工时在地的哪个方向？距地多远？ （2）若汽车每千米耗油升，共耗油多少升？ （3）在第几段行程结束时距地最远？有多远？ 【答案】（1）向前千米；（2）升；（3）第三段后，千米。 【分析】（1），所以收工时在地向前方向，距离为千米。 【详解】（1），所以收工时在地向前方向，距离为千米。 （2）总路程为千米，耗油升。 （3）六段行程结束时对应的位置分别为，到地的距离分别为千米，故第三段结束时最远，为千米。 【易错提醒】求耗油量用各段路程绝对值之和；最远点要比较累计位置。 【评分标准】（3分）净位移和方向正确。 （3分）路程和耗油量正确。 （2分）累计位置及最远时刻正确。 25．（10分）（改编自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第24题）观察按如下规律构造的一列数： 第个数为；第个数为；第个数为。之后分母依次增加，括号中的加、减号交替出现。 （1）求第个数和第个数； （2）写出第个数的构造算式并计算； （3）用“”连接第（2）问的三个结果。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）第个数为；第个数为。 【详解】（1）第个数为；第个数为。 （2）第个数为；第个数为；第个数为。 （3），所以。 【易错提醒】第个数的分母是；负数大小与绝对值相反。 【评分标准】（3分）第（1）问两个结果及过程正确。 （4分）第（2）问算式与三个结果正确。 （3分）第（3）问比较与次序正确。 26．（10分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第19题）观察： ； ； 。 （1）按规律写出的两个相等表达式； （2）写出的两个相等表达式（为正整数）； （3）利用上述等式求。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）。 【详解】（1）。 （2）。右式通分后分子为，再乘即得左式。 （3）原式。 【易错提醒】最后一项的后一个分母是，不是或。 【评分标准】（2分）写出两个形式。 （3分）通项两种形式正确。 （5分）相消过程、端点与总和正确。 27．（10分）（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第20题）已知是最大的负整数，是的相反数，，点在数轴上分别表示。 （1）求并在数轴上标出三点； （2）点从出发、点从同时出发，都向右运动，速度分别为每秒个、每秒个单位长度。几秒后追上？ （3）数轴上是否存在点，使它到三点的距离之和为？若存在，求点表示的所有数；若不存在，说明理由。 【答案】（1）；（2）秒；（3）或。 【分析】（1）。数轴上由左到右为。 【详解】（1）。数轴上由左到右为。 （2），每秒缩短个单位长度，故追及时间为秒。 （3）设点表示。当时，距离和为；等于时，符合范围。 当时，距离和为，其值在与之间，不可能为。 当时，距离和为；等于时，符合范围。 当时，距离和为，不可能为。因此所有答案为与。 【易错提醒】分类点为，求出的数还必须落在所用区间内。 【评分标准】（2分）三个数及数轴位置正确。 （2分）追及时间正确。 （6分）分类覆盖全数轴，求出两解且排除其他区间。 1 学科网（北京）股份有限公司 $