第2章 有理数 单元自测 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第2章 有理数·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第2题）下列说法正确的是（　　） A．正整数、负整数统称为整数 B．一定比小 C．除以任何一个数都为 D．互为相反数的两个数之和为 2．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第3题）下列各组数中，相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第6题）若，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D． 4．（改编自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第6题）若互为相反数， 则下列关系中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第5题）若，则的所有可能值是（　　） A． B． C．或 D．或 6．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第5题）若，，，则正确的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第4题）三根音管从左到右分别发出“”“”“”。两锤均在第拍敲左管；甲此后按“左、中、右、中”循环，每拍一次；乙按“左、中、右、右、中、左”循环，每拍一次。第拍听到的是（　　） A．同样的音“” B．同样的音“” C．同样的音“” D．不同的两个音 8．（改编自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第1题）军训时名学生开始全部站立。每轮任意选名不同学生，使被选者站、蹲状态互换。同一学生可以参加多轮；，为正整数。进行了轮后，下列结论正确的是（　　） A．为偶数时，蹲下人数不可能为奇数 B．为偶数时，蹲下人数不可能为偶数 C．为奇数时，蹲下人数不可能为偶数 D．为奇数时，蹲下人数不可能为奇数 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第4题）若，，，则________。 10．（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第6题）一列数中，任意相邻个数的和都等于。已知，则________。 11．（选自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第13题）比较大小：________（填“”“”或“”）。 12．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第16题）若，且，则的值为________。 13．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第12题）一列数为，每个数都是前一个数的倍。若三个相邻数的和为，则其中最小的数为________。 14．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第13题）若，是最大的负整数，则的值为________。 15．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第15题）记为严格大于的最小整数，例如，。下列结论中正确的序号为________。 ①；②的最小值为；③的最大值为；④存在使。 16．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第16题）当取有理数时，的最小值为________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第17题）计算时，一名同学写出下列过程： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：。 指出最早从哪一步开始出现错误，说明理由，并写出正确计算过程。 18．（5分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第22题）已知，且，求的所有可能值。 19．（6分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第23题）把在数轴上表示出来，并把这些数按从小到大的顺序用“”连接。 20．（6分）（改编自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第25题）对六件同型号圆形机器零件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数。第至第件的偏差依次为（单位：毫米）。 （1）哪件零件的直径最接近标准？说明理由； （2）规定与标准直径的差的绝对值不大于毫米为合格，写出所有合格零件的序号； （3）这六件零件中，最大直径与最小直径相差多少毫米？ 21．（6分）（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第21题）计算： （1）； （2）。 22．（8分）（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第24题）计算： （1）； （2）。 23．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第19题）检修小组沿一条东西方向直路从地出发，向东记正，向西记负，八段行程依次为（单位：千米）。 （1）收工时在地的哪个方向？距地多远？ （2）第几段行程结束时距地最远？说明判断依据； （3）每千米耗油升，共耗油多少升？ （4）小组长说：“来回抵消后只走了千米。”这一说法为什么不正确？ 24．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第22题）对有理数定义新运算“”：两数都非零且同号时，结果是两数平方和的相反数；两数异号时，结果是两数的平方和；至少有一个数为时，结果也是两数的平方和。 （1）求和； （2）求； （3）若，求； （4）比较与，能否据此断言运算括号可以随意改变？ 25．（10分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第25题）对非零有理数及整数，把个从左到右连续相除记作，即。 （1）计算和； （2）把和写成幂的形式； （3）推导把写成幂的形式的一般规律，并单独说明时的值； （4）计算。 26．（10分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第24题）研究与的大小关系。 （1）在；；这三种情况下，分别计算两式并比较； （2）某同学说：“若，就一定有。”你同意吗？用反例或理由说明； （3）在的前提下，分别讨论同号、异号以及的情况，归纳两式的大小关系； （4）综合以上研究，判断任意有理数是否总有，并说明理由。 27．（10分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第24题）数轴上表示的两点间的距离为。利用这一事实解决下列问题，并说明最小值能够取得的理由： （1）求的最小值及此时的值； （2）求的最小值及此时的值； （3）求的最小值及此时的取值范围； （4）求的最小值及此时的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第2题）下列说法正确的是（　　） A．正整数、负整数统称为整数 B．一定比小 C．除以任何一个数都为 D．互为相反数的两个数之和为 【答案】D 【分析】互为相反数的两个数之和为。整数还包括；与的大小取决于的符号；除数不能为。 【详解】互为相反数的两个数之和为。整数还包括；与的大小取决于的符号；除数不能为。 【易错提醒】“任何一个数”包括，需检查除数是否允许为。 2．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第3题）下列各组数中，相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】，，二者相等。其余三组均是一正一负。 【详解】，，二者相等。其余三组均是一正一负。 【易错提醒】相同的运算结果不代表底数与运算含义相同。 3．（选自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第6题）若，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】若，则原式；若，则原式。 【详解】若，则原式；若，则原式。 【易错提醒】分母非零时仍需按正负分情况。 4．（改编自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第6题）若互为相反数， 则下列关系中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，且相反数的平方、绝对值均相等；但如，则，。 【详解】，且相反数的平方、绝对值均相等；但如，则，。 【易错提醒】“不一定成立”允许个别特殊值成立，如。 5．（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第5题）若，则的所有可能值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】，四种和为，即或。 【详解】，四种和为，即或。 【易错提醒】两数各有正负两种取值，应列出全部四种组合。 6．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第5题）若，，，则正确的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，故。 【详解】，故。 【易错提醒】的两个负号都在幂外；负数绝对值越大反而越小。 7．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第4题）三根音管从左到右分别发出“”“”“”。两锤均在第拍敲左管；甲此后按“左、中、右、中”循环，每拍一次；乙按“左、中、右、右、中、左”循环，每拍一次。第拍听到的是（　　） A．同样的音“” B．同样的音“” C．同样的音“” D．不同的两个音 【答案】D 【分析】甲的周期为，，敲中管，发出“”；乙的周期为，，敲右管，发出“”。 【详解】甲的周期为，，敲中管，发出“”；乙的周期为，，敲右管，发出“”。 【易错提醒】用包含第拍的完整周期求余数，余数对应周期最后一项。 8．（改编自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第1题）军训时名学生开始全部站立。每轮任意选名不同学生，使被选者站、蹲状态互换。同一学生可以参加多轮；，为正整数。进行了轮后，下列结论正确的是（　　） A．为偶数时，蹲下人数不可能为奇数 B．为偶数时，蹲下人数不可能为偶数 C．为奇数时，蹲下人数不可能为偶数 D．为奇数时，蹲下人数不可能为奇数 【答案】A 【分析】设一轮中选到名原先蹲下的学生，则蹲下人数的变化为。当为偶数时，每轮变化都是偶数；从人开始，蹲下人数始终为偶数。 【详解】设一轮中选到名原先蹲下的学生，则蹲下人数的变化为。当为偶数时，每轮变化都是偶数；从人开始，蹲下人数始终为偶数。 当为奇数时，一轮后蹲下人数为奇数；把同一批人再选一轮，又回到人，故不能断言始终只为奇数或只为偶数。 【易错提醒】讨论多轮操作时，必须关注状态变化量而非某一轮选人。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第4题）若，，，则________。 【答案】。 【分析】，换算后为。可把它理解为共个连乘。 【详解】，换算后为。可把它理解为共个连乘。 【易错提醒】每跨一级要乘，共跨三级。 10．（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第6题）一列数中，任意相邻个数的和都等于。已知，则________。 【答案】。 【分析】比较前后相邻的两个四数和可知，去掉的数等于新添的数，所以每隔位重复。故，，。 【详解】比较前后相邻的两个四数和可知，去掉的数等于新添的数，所以每隔位重复。故，，。 ，所以。 【易错提醒】先证明周期，再按序号余数定位。 11．（选自2024·扬州梅岭集团期中公开重排版第13题）比较大小：________（填“”“”或“”）。 【答案】 【分析】，所以。 【详解】，所以。 【易错提醒】带分数的负号属于整个带分数。 12．（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第16题）若，且，则的值为________。 【答案】或 【分析】。由排除，故，从而或。 【详解】。由排除，故，从而或。 【易错提醒】条件并未唯一确定。 13．（改编自2024·南京联合体10月月考公开重排版第12题）一列数为，每个数都是前一个数的倍。若三个相邻数的和为，则其中最小的数为________。 【答案】 【分析】以这三个数中第一项为一份，第二项为份，第三项为份，和为份。因此第一项为，三项为，最小为。 【详解】以这三个数中第一项为一份，第二项为份，第三项为份，和为份。因此第一项为，三项为，最小为。 【易错提醒】“最小”不是绝对值最小；先识别三项比例。 14．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第13题）若，是最大的负整数，则的值为________。 【答案】或 【分析】。当时，原式；当时，原式。 【详解】。当时，原式；当时，原式。 【易错提醒】有正负两种可能，最大的负整数为。 15．（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第15题）记为严格大于的最小整数，例如，。下列结论中正确的序号为________。 ①；②的最小值为；③的最大值为；④存在使。 【答案】①④ 【分析】由定义，对任意有理数都有，其中在为整数时取得，但不能取得。故①对、②③错；取，则，差为，所以④对。 【详解】由定义，对任意有理数都有，其中在为整数时取得，但不能取得。故①对、②③错；取，则，差为，所以④对。 【易错提醒】严格大于与大于等于不同；趋近不代表最小值为。 16．（选自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第16题）当取有理数时，的最小值为________。 【答案】 【分析】将式子拆成。前三部分分别不小于，最后一项不小于，故总和不小于。当时等号同时成立，最小值为。 【详解】将式子拆成。前三部分分别不小于，最后一项不小于，故总和不小于。当时等号同时成立，最小值为。 【易错提醒】每一份绝对值都要配对准确，再检查各处等号能否同时成立。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第17题）计算时，一名同学写出下列过程： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：。 指出最早从哪一步开始出现错误，说明理由，并写出正确计算过程。 【答案】最早第三步出错，正确结果为。 【分析】最早第三步出错，因为，不是。 【详解】最早第三步出错，因为，不是。 正确计算：原式。 【易错提醒】括号前的减号与除法结果的符号要分层处理，不能混在一起判断。 【评分标准】（2分）指出第三步最早错误并解释负数除负数为正。 （3分）写出正确过程且结果为−。 18．（5分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第22题）已知，且，求的所有可能值。 【答案】或。 【分析】由，得。由知两数异号，只有两种组合。 【详解】由，得。由知两数异号，只有两种组合。 当时，；当时，。所以所有可能值为或。 【易错提醒】平方值虽已确定，但仍有正负两种可能，不能只算一种。 【评分标准】（2分）列出符合异号条件的两组、。 （3分）两种情况计算正确并给出全部结果。 19．（6分）（改编自2024·苏州盛泽集团9月月考公开重排版第23题）把在数轴上表示出来，并把这些数按从小到大的顺序用“”连接。 【答案】。 【分析】化简得，在数轴上由左到右的位置依次为。 【详解】化简得，在数轴上由左到右的位置依次为。 故。 【易错提醒】在连接各数时保留原题写法，并注意负带分数的位置。 【评分标准】（2分）各数正确化简。 （2分）数轴三要素齐全、六个点标注正确。 （2分）原题形式的不等式次序正确。 20．（6分）（改编自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第25题）对六件同型号圆形机器零件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数。第至第件的偏差依次为（单位：毫米）。 （1）哪件零件的直径最接近标准？说明理由； （2）规定与标准直径的差的绝对值不大于毫米为合格，写出所有合格零件的序号； （3）这六件零件中，最大直径与最小直径相差多少毫米？ 【答案】（1）第件；（2）第件；（3）毫米。 【分析】（1）六个偏差的绝对值依次为，其中第件的偏差为，直径恰好等于标准，所以最接近标准。 【详解】（1）六个偏差的绝对值依次为，其中第件的偏差为，直径恰好等于标准，所以最接近标准。 （2）偏差绝对值不大于的为第件，其中第件的偏差恰好在允许的边界上，仍合格。 （3）最大直径对应偏差，最小直径对应偏差，二者差为毫米。 【易错提醒】不大于包含等于；最大与最小实际直径之差不能只比较偏差绝对值。 【评分标准】（2分）第（1）问选第件并说明绝对值最小。 （2分）第（2）问四个合格序号正确且包含边界。 （2分）第（3）问列出两偏差之差，结果正确。 21．（6分）（选自2024·无锡东林中学10月月考公开重排版第21题）计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】同级乘除从左到右；不能把先合并成除数。 【评分标准】（3分）第（1）题化分数、符号和结果正确。 （3分）第（2）题乘方、绝对值和次序正确。 22．（8分）（选自2024·南京鼓楼实验中学首次月考公开重排版第24题）计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】第（2）题中，而。 【评分标准】（4分）第（1）题分配及计算正确。 （4分）第（2）题层次、符号、结果正确。 23．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第19题）检修小组沿一条东西方向直路从地出发，向东记正，向西记负，八段行程依次为（单位：千米）。 （1）收工时在地的哪个方向？距地多远？ （2）第几段行程结束时距地最远？说明判断依据； （3）每千米耗油升，共耗油多少升？ （4）小组长说：“来回抵消后只走了千米。”这一说法为什么不正确？ 【答案】（1）西边千米；（2）第段，距地千米；（3）升；（4）混淆位移与路程。 【分析】（1）八段有向行程之和为，故在西边千米处。 【详解】（1）八段有向行程之和为，故在西边千米处。 （2）累计位置依次为，其绝对值最大为，出现在第段结束时。 （3）总路程为千米，耗油量为升。 （4）千米是终点相对起点的有向位移；行驶中的来回路程已经实际发生，不能抵消。实际总路程为千米。 【易错提醒】最远距离比较累计位置的绝对值，耗油量比较各段路程的和。 【评分标准】（2分）净位移与方位正确。 （2分）列出或解释累计位置并确定最远。 （2分）路程与油耗正确。 （2分）解释位移与路程不同，能对应本题数值。 24．（8分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第22题）对有理数定义新运算“”：两数都非零且同号时，结果是两数平方和的相反数；两数异号时，结果是两数的平方和；至少有一个数为时，结果也是两数的平方和。 （1）求和； （2）求； （3）若，求； （4）比较与，能否据此断言运算括号可以随意改变？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），不能随意改变括号。 【分析】（1）；。 【详解】（1）；。 （2）先算，再算。 （3）新运算的结果是平方和或平方和的相反数；结果为，必有两个输入均为。故，即。 （4），所以；，所以。两结果不同，括号不能随意改变。 【易错提醒】新运算不自动具有普通加法、乘法的运算律。 【评分标准】（2分）第（1）问两值正确。 （2分）第（2）问嵌套次序和结果正确。 （2分）第（3）问由非负性说明唯一取值。 （2分）第（4）问两式计算及否定结论正确。 25．（10分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第25题）对非零有理数及整数，把个从左到右连续相除记作，即。 （1）计算和； （2）把和写成幂的形式； （3）推导把写成幂的形式的一般规律，并单独说明时的值； （4）计算。 【答案】（1）；（2）；（3）时，；（4）。 【分析】（1）；。 【详解】（1）；。 （2）；。 （3）最先的两个相除得，还余个除数。当时，原式等于个相乘，即。当时，直接有，不需使用未学的零次幂。 （4），所以。 【易错提醒】连续除法从左往右，不能把后面的两个除数先相除；除数必须非零。 【评分标准】（2分）第（1）问两值正确。 （2分）第（2）问幂的形式正确。 （4分）一般规律、除数个数说明和处理完整。 （2分）第（4）问计算正确。 26．（10分）（改编自2025·南京金陵汇文10月月考公开重排版第24题）研究与的大小关系。 （1）在；；这三种情况下，分别计算两式并比较； （2）某同学说：“若，就一定有。”你同意吗？用反例或理由说明； （3）在的前提下，分别讨论同号、异号以及的情况，归纳两式的大小关系； （4）综合以上研究，判断任意有理数是否总有，并说明理由。 【答案】（1）；（2）不同意，如；（3）同号或时相等，异号时左式小；（4）总成立。 【分析】（1）依次为；；。 【详解】（1）依次为；；。 （2）不同意。取，虽，但左式为，右式为。 （3）当且两数同号时：若均正，，两式均为；若均负，则，两式均为。若，两式均为。若两数异号，。 （4）总成立。当时，左式为负而右式非负；当时，左式为而右式非负；当时，由第（3）问所有情况可知左式不大于右式。三种情况穷尽全部可能。 【易错提醒】绝对值相等不代表两数相等；同为负数和含零情形不能漏掉。 【评分标准】（2分）第（1）问三种比较正确。 （2分）第（2）问有效反例与结论。 （4分）第（3）问同正、同负、异号、均覆盖。 （2分）第（4）问按绝对值关系完整归纳。 27．（10分）（改编自2024·泰州姜堰第一教研站10月月考公开重排版第24题）数轴上表示的两点间的距离为。利用这一事实解决下列问题，并说明最小值能够取得的理由： （1）求的最小值及此时的值； （2）求的最小值及此时的值； （3）求的最小值及此时的取值范围； （4）求的最小值及此时的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。 【分析】（1），当时等号成立。再加，总和至少为，在时同时取等号，故最小值为。 【详解】（1），当时等号成立。再加，总和至少为，在时同时取等号，故最小值为。 （2）原式。第一部分取等号需，第二部分取需，所以只有时取得最小值。 （3）首尾两两配对：，，依此类推，。 共对，所有配对同时取等号的公共范围为。下界之和为，即为最小值。 （4）原式。 因此原式。两组等号分别要求与，共同范围为。故最小值为，在该闭区间内全部取得。 【易错提醒】各部分的最小值相加之前，必须检查取等条件的公共范围。 【评分标准】（2分）第（1）问下界、等号条件和答案完整。 （2分）第（2）问加权拆分及唯一取值正确。 （3分）第（3）问对、总和和共同区间正确。 （3分）第（4）问系数转化、配对下界、共同区间正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $