精品解析：福建上杭县第四中学2026-2027学年第一学期九年级10月学科能力测试数学试题

上杭四中2026-2027学年第一学期九年级数学能力监测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一﹑选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程的两根是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 或， 解得 或． 2. 下列抛物线中，对称轴是直线的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是直线判断A、B选项；根据抛物线的对称轴为判断C、D选项． 【详解】解：A、B选项的抛物线一次项系数为0，对称轴为直线，不符合题意； C选项抛物线为，对称轴为直线，符合题意； D选项抛物线为，对称轴为直线，不符合题意． 3. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 已知方程的两个实数根分别为，，则（ ） A. B. 8 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 5. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 6. 如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 抛物线与轴另一个交点是 D. 当时，有最大值3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 7. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 8. 定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 10. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 二﹑填空题（共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 方程的解是______________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 12. 已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】点在二次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在二次函数的图象上， ∴ 将，代入解析式，得， 计算得， 解得． 13. 若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】因为求原函数图象关于x轴对称的图象解析式，所以需要明确关于x轴对称的点的坐标变换规律：若原图象上一点，则其对称点为．因为已知原二次函数解析式为，所以将对称点坐标代入原解析式，把原解析式中的替换为，再整理得到新的函数解析式． 【详解】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上； 将代入原解析式，得 ， 整理后得到对称后的解析式：． 14. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小． 【详解】解：，， 函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 15. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 , ∵一元二次方程的两根分别为，, ∴可得或, 解得，, ∴一元二次方程的两根分别为，． 16. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（填序号）______． ①；②；③；④当时，；⑤． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴得出，即可判断；③根据时函数有最大值即可判断；⑤根据抛物线经过点，且对称轴为直线，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断；④根据抛物线与轴的交点，结合图象即可得出判断． 【详解】解：①观察图象可知：，由图象可知抛物线对称轴为直线，即，得，由图象与轴的交点可得， ，故①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线，即，解得，即，故②正确； ③由图象可知时函数有最大值，因为时，时，所以，故③正确； ⑤由图象可知抛物线经过点，且对称轴为直线， 设抛物线与轴的另一个交点为，则，解得， 抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，，即，故⑤正确； ④由⑤知抛物线与轴的两个交点为、， 所以当时，；当或时，，故④错误； 综上，①②③⑤正确． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围； （3）根据函数图象和性质得出函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：已知， 列表如下： 描点、连线见答案； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：据图可知，函数图象的顶点坐标为，则y的最小值为， ∵，，， ∴当时，为最大值， 故当时，函数值的取值范围为． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）．判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由． 【答案】该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】略． 20. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． （3）动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能． 理由：将代入平移后的解析式，得， 整理得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴动点不在平移后的函数图象上． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的顶点式，即可求解； （2）按照“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解； （3）把代入平移后的解析式，即可判断． 【小问1详解】 解：∵当时，函数取得最小值， ∴设， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为，即． 【小问3详解】 略 21. 额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】（1）1452 （2）25名 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【小问1详解】 解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； 【小问2详解】 解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 22. 综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． （1）方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． （2）方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1），； （2），当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【小问1详解】 解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：∵，实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵、， ∴将看作是方程得两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为2． 24. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】（1）直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； 【小问3详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭四中2026-2027学年第一学期九年级数学能力监测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一﹑选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程的两根是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列抛物线中，对称轴是直线的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 已知方程的两个实数根分别为，，则（ ） A. B. 8 C. D. 3 5. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 抛物线与轴另一个交点是 D. 当时，有最大值3 7. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 图象与轴的交点坐标为 10. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 13 B. 7 C. 5 D. 8 二﹑填空题（共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 方程的解是______________． 12. 已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 13. 若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 14. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 15. 已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（填序号）______． ①；②；③；④当时，；⑤． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，的取值范围是 ； （3）当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）．判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由． 20. 已知二次函数，当时，函数取得最小值，它的图象经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）将该函数图象先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到新的函数图象，直接写出平移后的二次函数解析式． （3）动点能否在平移后的函数图象上？请说明理由． 21. 额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． （1）若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 22. 综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． （1）方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． （2）方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 24. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $