综合培优 期中压轴题汇总（实数+二次根式：110题29个常考题+9大压轴题型）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型20 求二次根式中的参数 题型1 求一个数的平方根 题型21 二次根式有意义的条件 题型2 利用算术平方根的非负性解题 题型22 利用二次根式的性质化简 题型3 求算术平方根的整式部分小数部分 题型23 化为最简二次根式 题型4 与算术平方根的有关规律探索 题型24 已知最简二次根式求参数 题型5 算术平方根的实际应用 题型25 同类二次根式 题型6 求代数式的平方根 题型26 二次根式的乘除混合运算 题型7 已知一个数的平方根,求这个数 题型27 二次根式的加减运算 题型8 立方根概念理解 题型28 二次根式的混合运算计算题 题型9 已知一个数的立方根,求这个数 题型29 二次根式的化简求值计算题 题型10 立方根有关的规律探索 解答压轴题 题型11 立方根的实际应用 题型30 实数新定义问题 题型12 无理数的定义 题型31 实数规律问题 题型13 无理数整数部分的有关计算 题型32 实数与数轴综合问题 题型14 实数概念理解 题型33 实数运算的实际应用综合 题型15 实数的大小比较 题型34二次根式的规律问题 题型16科学记数法表示绝对值大于1的数 题型35 二次根式的新定义问题 题型17科学记数法表示绝对值小于1的数 题型36 复合二次根式的化简 题型18 二次根式的识别 题型37 分母有理化 题型19 求二次根式的值 题型38 二次根式的最值问题 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求一个数的平方根 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．9是的算术平方根 B．的平方根是3 C．25的平方根是 D． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 5．（21-22八年级下·广东云浮·期末）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 6．（22-23八年级上·山东枣庄·期末）已知实数a，b满足：，则等于（    ） A．65 B．64 C．63 D．62 题型3 求算术平方根的整式部分小数部分 7．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型4 与算术平方根的有关规律探索 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·广东河源·模拟预测）将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 题型5 算术平方根的实际应用 13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 15．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 题型6 求代数式的平方根 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）如果，，则的平方根为（     ） A．6 B． C． D．36 17．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 18．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 题型7 已知一个数的平方根,求这个数 19．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 20．（上海市六年级下学期期中模拟03（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式） -2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））一个数的平方等于16，则这个数的立方与这个数的绝对值的和是（    ） A． B． C．68 D．或68 21．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段检测）已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型8 立方根概念理解 22．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 23．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 24．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9 已知一个数的立方根,求这个数 25．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 题型10 立方根有关的规律探索 28．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 29．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 30．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 题型11 立方根的实际应用 31．（26-27八年级·上海·暑假作业）已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 32．（25-26八年级上·福建泉州·期中）南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 33．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 题型12 无理数的定义 34．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 35．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．无理数可以分为正无理数和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．的平方根是 D．负数没有立方根 36．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13 无理数整数部分的有关计算 37．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 39．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段检测）不等式的整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型14 实数概念理解 40．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 42．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 题型15 实数的大小比较 43．（2025九年级下·上海·专题练习）下列实数中，绝对值最小的数是（） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型16科学记数法表示绝对值大于1的数 46．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级下·上海长宁·期中）上海市2025年全年地区生产总值约为万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 题型17科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （     ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 50．（2026·河南驻马店·二模）如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 题型18 二次根式的识别 52．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型19 求二次根式的值 55．（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 56．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 57．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 题型20 求二次根式中的参数 58．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 60．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 题型21 二次根式有意义的条件 61．（24-25八年级上·上海·阶段检测）使二次根式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）下列根式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 63．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 题型22 利用二次根式的性质化简 64．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 65．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，，，则的值为（） A． B． C． D． 66．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）在下列二次根式的化简中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型23 化为最简二次根式 67．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 68．（25-26八年级上·上海·期末）下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 69．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 题型24 已知最简二次根式求参数 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 71．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 72．（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 题型25 同类二次根式 73．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）下列各式中，与 不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 74．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）下列各组根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 75．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型26 二次根式的乘除混合运算 76．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 77．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 78．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型27 二次根式的加减运算 79．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 80．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 81．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型28 二次根式的混合运算计算题 82．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 83．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型29 二次根式的化简求值计算题 84．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）化简求值：已知，求代数式的值． 85．（26-27八年级上·上海·阶段检测）先化简，后求值：，其中，． 题型30 实数新定义问题 85．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． (1)计算：__________，________； (2)若，，求和的值． 86．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 87．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 题型31 实数规律问题 88．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 89．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 90．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 题型32 实数与数轴综合问题 91．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 92．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 93．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 题型33 实数运算的实际应用综合 94．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 95．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 96．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 题型34二次根式的规律问题 97．（25-26八年级上·上海·单元测试）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 98．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 99．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 题型35 二次根式的新定义问题 100．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 17．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段检测）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 101．（24-25八年级上·吉林松原·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 题型36 复合二次根式的化简 102．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 103．（24-25八年级上·上海·阶段检测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 104．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 题型37 分母有理化 105．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）计算 (1)计算：________，________，________； (2)直接写出结果：________，________； (3)计算：． 106．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 107．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 题型38 二次根式的最值问题 108．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 109．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 110．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． $专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型22 利用二次根式的性质化简 题型1 求一个数的平方根 题型23 化为最简二次根式 题型2 利用算术平方根的非负性解题 题型24 已知最简二次根式求参数 题型3 求算术平方根的整式部分小数部分 题型25 同类二次根式 题型4 与算术平方根的有关规律探索 题型26 二次根式的乘除混合运算 题型5 算术平方根的实际应用 题型27 二次根式的加减运算 题型6 求代数式的平方根 题型28 二次根式的混合运算计算题 题型7 已知一个数的平方根,求这个数 题型29 二次根式的化简求值计算题 题型8 立方根概念理解 解答压轴题 题型9 已知一个数的立方根,求这个数 题型30 实数新定义问题 题型10 立方根有关的规律探索 题型31 实数规律问题 题型11 立方根的实际应用 题型32 实数与数轴综合问题 题型12 无理数的定义 题型33 实数运算的实际应用综合 题型13 无理数整数部分的有关计算 题型34二次根式的规律问题 题型14 实数概念理解 题型35 二次根式的新定义问题 题型15 实数的大小比较 题型36 复合二次根式的化简 题型16科学记数法表示绝对值大于1的数 题型37 分母有理化 题型17科学记数法表示绝对值小于1的数 题型38 二次根式的最值问题 题型18 二次根式的识别 题型19 求二次根式的值 题型20 求二次根式中的参数 题型21 二次根式有意义的条件 68 / 68 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求一个数的平方根 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．9是的算术平方根 B．的平方根是3 C．25的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根，掌握这些是解题的关键． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A：，9不是的算术平方根，故A不符合题意； 对于B：，9的平方根是，B不符合题意； 对于C： 25的平方根是，C符合题意； 对于D：，D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若，则的算术平方根是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 5．（21-22八年级下·广东云浮·期末）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 6．（22-23八年级上·山东枣庄·期末）已知实数a，b满足：，则等于（    ） A．65 B．64 C．63 D．62 【答案】A 【分析】根据非负数的性质得的二元一次方程组，然后求出其值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵实数a，b满足：， ∴且， 即， 解方程组得：， ∴； 故选：A． 【点睛】此题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法、代数式的求值，熟练掌握平方式与算术平方根的非负性质、加减消元解二元一次方程组是解答此题的关键． 题型3 求算术平方根的整式部分小数部分 7．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 8．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． 题型4 与算术平方根的有关规律探索 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 12．（2026·广东河源·模拟预测）将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理得到原数列的统一规律，再根据排列规则确定所求数是原数列的第几项，代入规律计算即可． 【详解】解：将原数列统一改写为二次根式形式，可得原数列第个数为，为正整数， 观察排列规律可得：第行有个数， ∵前8行的数的总个数为 ， ∴第九行左起第3个数是原数列的第个数， 将代入规律得：． 题型5 算术平方根的实际应用 13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 14．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 15．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 题型6 求代数式的平方根 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）如果，，则的平方根为（     ） A．6 B． C． D．36 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，得出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 17．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 18．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型7 已知一个数的平方根,求这个数 19．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得， ∴一个平方根为， ∴ 这个正数为， 故选：． 20．（上海市六年级下学期期中模拟03（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式） -2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））一个数的平方等于16，则这个数的立方与这个数的绝对值的和是（    ） A． B． C．68 D．或68 【答案】D 【分析】根据这个数的平方等于16，可得：这个是等于，据此求出这个数的立方与这个数的绝对值的和是多少即可．此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 【详解】解：一个数的平方等于16， 这个是等于， 这个数的立方与这个数的绝对值的和是： 或． 故选：D． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段检测）已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则． 故选：D． 题型8 立方根概念理解 22．（25-26八年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 23．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根和倒数的概念．逐个判断每个语句的正确性即可．注意正数的平方根有正负两个值，0的平方根和立方根都是0，倒数是它本身的数有1和． 【详解】解：① ∵，∴ 4的平方根是，正确． ② ∵，，∴ 0的平方根和立方根都是0，正确． ③ ∵，∴，∴， ∵ 9的平方根是，∴ 不是，错误． ④ 设倒数是它本身的数为x，则，化简得 ，解得，∴ 不仅是1，还有，错误． ∴ 正确的语句是①和②，共2个． 故选：B 24．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 题型9 已知一个数的立方根,求这个数 25．（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 27．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 题型10 立方根有关的规律探索 28．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 29．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 30．（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 题型11 立方根的实际应用 31．（26-27八年级·上海·暑假作业）已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 32．（25-26八年级上·福建泉州·期中）南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 33．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 题型12 无理数的定义 34．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先把能化简的根式化简，再根据无理数是无限不循环小数这个定义，逐个判断，区分开有限小数、循环小数、分数这类有理数，最后统计无理数个数． 【详解】解：，， 有理数有，，，， 无理数有，（每两个之间依次增加一个），，共个． 35．（26-27八年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．无理数可以分为正无理数和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．的平方根是 D．负数没有立方根 【答案】A 【分析】本题考查无理数的分类、无理数的定义、平方根的定义和立方根的定义，解题的关键在于准确理解无理数、平方根和立方根的相关概念，逐一分析每个选项． 【详解】解：选项，无理数可分为正无理数和负无理数，故说法正确； 选项，无限循环小数是有理数，故无限小数不都是无理数，故说法错误； 选项，，的平方根是，故说法错误； 选项，负数有立方根，故说法错误． 36．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类和性质，掌握实数的基本概念是解题关键． 实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 题型13 无理数整数部分的有关计算 37．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 38．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 39．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段检测）不等式的整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算以及解不等式，先化简不等式，得，再根据，得出的范围，最后取整数解，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ ∵为整数 ∴ 故选：C 题型14 实数概念理解 40．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 42．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 题型15 实数的大小比较 43．（2025九年级下·上海·专题练习）下列实数中，绝对值最小的数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质以及大小比较．绝对值表示数到原点的距离，绝对值最小的数即离原点最近的数． 【详解】解：∵ ∴绝对值最小的数是， 故选：C． 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义，分别对四个选项作出分析，再判断． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，故该选项不正确，不符合题意； C. 由得，故该选项正确，符合题意； D. 当时，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值，立方根，解题关键是实数的大小比较的方法． 45．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 题型16科学记数法表示绝对值大于1的数 46．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 科学记数法中，的值等于原数的整数位数减1， ∴原数是9位整数，可得，， ∴ 47．（25-26九年级下·上海长宁·期中）上海市2025年全年地区生产总值约为万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将“万亿”单位换算为普通数字形式，再根据用科学记数法表示较大的数的形式为，其中，为正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：万亿． 48．（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又， ∴元可表示为951亿元． 题型17科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （     ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【详解】解：． 50．（2026·河南驻马店·二模）如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 51．（25-26八年级上·上海·期末）以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，将每个选项的科学记数法转化为小数形式，检查小数点与左起第一个非零数字之间零的个数，恰有三个0的选项符合要求． 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 题型18 二次根式的识别 52．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 53．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型19 求二次根式的值 55．（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 56．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 57．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 题型20 求二次根式中的参数 58．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 59．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 60．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 题型21 二次根式有意义的条件 61．（24-25八年级上·上海·阶段检测）使二次根式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 62．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）下列根式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， 选项A的被开方数、选项B的被开方数、选项C的被开方数，均可能为负数，二次根式不一定有意义； 选项D中，， ，被开方数恒为正数，二次根式一定有意义，故选项D符合题意． 63．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件先求的值，再计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， ∴， 将代入，得， ∴． 题型22 利用二次根式的性质化简 64．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 65．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 66．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）在下列二次根式的化简中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的被开方数与结果均非负，的化简需考虑的符号． 【详解】解：∵有意义时， ∴，A正确． ∵且， ∴，B正确． ∵的符号不确定，当时，， ∴错误， ∵且， ∴， ∴，D正确． 题型23 化为最简二次根式 67．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 68．（25-26八年级上·上海·期末）下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义．由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，含有能开尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B：，不是最简二次根式，不符合题意； C：  被开方数不含能开尽方的因数或因式且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 69．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 题型24 已知最简二次根式求参数 70．（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 71．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 72．（25-26八年级下·湖北荆州·阶段检测）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 题型25 同类二次根式 73．（26-27八年级上·上海金山·阶段检测）下列各式中，与 不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先将各二次根式化为最简形式，再比较被开方数判断是否为同类二次根式． 【详解】解：A、，被开方数为； B、，被开方数为； C、，被开方数为； D、，被开方数为； 只有A的被开方数与不同，不是同类二次根式． 74．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）下列各组根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，判断即可． 【详解】解：A、， 和不是同类二次根式； B、，和不是同类二次根式； C、，，和是同类二次根式； D、，和不是同类二次根式． 75．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 题型26 二次根式的乘除混合运算 76．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 77．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 78．（22-23八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④． 【详解】解：，所以①正确； ，所以②正确； 因为，则，所以③正确； 与不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键． 题型27 二次根式的加减运算 79．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 80．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，代入的值分母有理化后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 81．（25-26八年级上·上海静安·期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④，其中做错的题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误； 故选：A． 题型28 二次根式的混合运算计算题 82．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）先将系数和被开方数分别按照乘除运算法则进行计算，再将结果化为最简二次根式；如果有变量，需要先确定变量的取值范围保证根式有意义． （3）先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将每个根式化为最简二次根式，之后合并同类二次根式． （4）先识别完全平方公式、平方差公式的结构，对多项式进行因式分解，再结合二次根式的运算规则约分、化简． 【详解】（1）解：化简各项得， ， ， ． 代入原式得， 原式． （2）解：分别计算系数和被开方数得， 系数部分：， 被开方数部分：． 原式． （3）解：化简各项得， ， ， ． 合并得，原式． （4）解：因式分解后约分， ， ， ，得， 原式 ． 83．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 原式 ； （4）解： 原式 ． 题型29 二次根式的化简求值计算题 84．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将的值进行分母有理化，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 85．（26-27八年级上·上海·阶段检测）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型30 实数新定义问题 85．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． (1)计算：__________，________； (2)若，，求和的值． 【答案】(1)2；3 (2)，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根以及立方根，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义结合算术平方根以及立方根的定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 故答案为：2；3； （2）解：由题意得， 整理得， 得， 将代入②，得， 解得． 86．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 87．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 题型31 实数规律问题 88．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 89．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 90．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 题型32 实数与数轴综合问题 91．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 92．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 93．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)π (2)，理由如下： 因为， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆的周长为π个单位长度， ∴点对应的数是π． （2）略 题型33 实数运算的实际应用综合 94．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 95．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 96．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 题型34二次根式的规律问题 97．（25-26八年级上·上海·单元测试）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 98．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 99．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 题型35 二次根式的新定义问题 100．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 17．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段检测）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，表示在数轴上如下： 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤． （1）根据新定义规定的运算法则列出算式，再进一步计算即可； （2）列出关于的不等式，再依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：⊕ ； （2）⊕， ， ， 则 101．（24-25八年级上·吉林松原·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型36 复合二次根式的化简 102．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 103．（24-25八年级上·上海·阶段检测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 104．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 题型37 分母有理化 105．（26-27八年级上·上海静安·阶段检测）计算 (1)计算：________，________，________； (2)直接写出结果：________，________； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）利用分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化计算后进行加减法和乘法计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， （3）解： 106．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) (4) 【分析】（1）观察题干推导出第个等式； （2）每个等式的分母都是连续的正奇数，用含的代数式表示即可； （3）利用（2）中的规律求和即可； （4）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形求出代数式的值． 【详解】（1）解：观察题干可知，第个等式为； （2）解：观察可得，每个等式的分母都是连续的正奇数， ∴第个等式为（为正整数）； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 107．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）仿照题干给定的方法求出原式的倒数，进而求出原式即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 题型38 二次根式的最值问题 108．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 109．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 110．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为； (3)四边形面积最小值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）设，由的面积为，的面积为，根据等高三角形可得，，则有，所以四边形面积为，然后根据题例即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为， 故答案为：； （2）解：当时， ， 当即时，的最大值为； （3）解：设， ∵的面积为，的面积为， ∴根据等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形面积为， 同（）得，当时，四边形面积有最小值， ∴， ∴四边形面积最小值为． $