3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（导学案）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的简单几何性质第2课时，核心内容包括直线与双曲线位置关系的判定、弦长公式、中点弦方程、直接法求轨迹方程及实际应用。通过回顾椭圆相关知识（如例5对比椭圆例6）搭建学习支架，引导学生从已有认知过渡到双曲线综合问题的探究。 这份导学案亮点显著，结合冷却塔实际问题培养学生用数学眼光观察现实世界，通过对比椭圆与双曲线第二定义发展数学思维中的推理能力，习题设计覆盖离心率、渐近线等多考点且注重数学语言表达，助力学生提升综合应用能力与核心素养。

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） （导学案） （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 教学重点：1.掌握直线与双曲线的位置关系的判定方法.2.解决与弦长、中点弦等相关的问题． 教学难点：双曲线性质在研究综合问题中的应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线有且只有一个公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线没有公共点． 知识点二　弦长公式 设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝或 |AB|＝|y1－y2| ＝(k≠0)． [拓展]　双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a>0，b>0)的通径长也是. 注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，． 设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为， 因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以 由方程②得（负值舍去）．代入方程①得 ， 化简得 ③ 解方程③得 （负值舍去） 因此所求双曲线得方程为． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 ． 由此得 ． 将上式两边平方，并化简得 ． 即 ． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（如下图）． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 学生：学生回顾之前的例题，然后进行观察对比，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为 ① 由，消去，得． 解方程得，． 将，的值分别代入①得，，， 于是，，两点的坐标分别为，． 所以． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 学生：学生自主尝试着想想与做做，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 数学里重要数学思想：设而不求 的重要数学思想. 弦长公式： 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 预设：由例6可知，消元后得一元二次方程为：． 由韦达定理得，． 所以， 或者： 解方程得，． 1.（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线，则离心率为（  ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率. 2.（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，又，则 所以的离心率为． 3.（2026·重庆渝中·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则（    ） A．3 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先由双曲线标准式得，结合渐近线斜率求出，再利用双曲线定义，代入求出两个解，再根据双曲线焦点距离的范围舍去不合理解，得到的值. 【详解】由双曲线得，. 渐近线得，可求. 由，得. 由双曲线定义得 ，代入 解得 或 . 若 ，则 ，此时点 在双曲线右支上. 而右支上的点到右焦点 的距离不小于 ，故 舍去. 因此 . 4.（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 5.（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】双曲线的对称性、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，然后结合双曲线的定义，利用勾股定理得，即可求解离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限， 设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为， 所以，所以， 在中， ，即， 所以，所以双曲线的离心率为.    1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） （导学案） （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 教学重点：1.掌握直线与双曲线的位置关系的判定方法.2.解决与弦长、中点弦等相关的问题． 教学难点：双曲线性质在研究综合问题中的应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线 公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线有 公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线有且只有 公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线 公共点． 知识点二　弦长公式 设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝ ＝ ＝或 |AB|＝ ＝(k≠0)． 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 学生：学生回顾之前的例题，然后进行观察对比，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 弦长公式： 1.（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线，则离心率为（  ） A．5 B． C．3 D． 2.（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 3.（2026·重庆渝中·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则（    ） A．3 B．6 C．10 D．14 4.（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 5.（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $