3.2.3双曲线的综合应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.3　双曲线的综合应用 导学案 课　题 双曲线的综合应用 课　时 1 课时 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系，会用判别式、韦达定理解决弦长问题。 2．掌握双曲线中点弦的”点差法”，理解焦点三角形的边长关系与面积公式。 3．了解双曲线渐近线的应用及双曲线定位等实际应用，提高综合运算能力。 二、学习重难点 重点：直线与双曲线的位置关系、弦长公式、中点弦的”点差法”。 难点：直线与双曲线相交时”一个交点”的辨析（平行于渐近线的情形）；直线与双曲线交于一支还是两支的判断。 三、知识链接 1．双曲线 的焦点为 ，实轴长 ，虚轴长 ，，渐近线为 。 2．双曲线定义：。 四、探究新知 探究一：直线与双曲线的位置关系 设直线 与双曲线 ，联立消去 得关于 的一元二次方程。设判别式为 ，则 · 直线与双曲线相交； · 直线与双曲线相切； · 直线与双曲线相离。 易错点辨析： 1．平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但它不是切线。例如直线 代入后 项系数为 ，方程是一元一次方程，只有一个解。 2．直线与双曲线交于同支还是两支，由交点的横坐标符号判断：两根同正交于右支，同负交于左支，异号则交于两支。 设直线与双曲线交于 、 两点，弦长公式仍为 图1　直线与双曲线的相交情形 探究二：中点弦与点差法 设弦 的中点为 ，、 在双曲线 上。两式相减得 所以直线 的斜率 注意与椭圆的中点弦公式 相差一个符号。 探究三：焦点三角形的面积 设 为双曲线上一点，，，。不妨设 ，由余弦定理： 整理得 。于是焦点三角形的面积 （与椭圆的 相区别：双曲线用余切，椭圆用正切。） 探究四：渐近线的应用 1．已知渐近线 求双曲线方程：设共渐近线系 ，再用一个已知条件求 。 2．已知双曲线求渐近线：直接写出 （焦点在 轴）或 （焦点在 轴）。 探究五：双曲线的实际应用 双曲线定位：船到两个岸台的距离差为常数时，船的位置在某一条双曲线上（称为位置线）。测得船到两对岸台的距离差，就可以得到两条位置线，两条位置线的交点即为船的位置。此外，电厂冷却塔的外形也常做成双曲线型（通风好、结构稳定）。 图2　双曲线定位示意图 五、典例精析 例 1（弦长） 已知直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 解　将 代入 ，得 整理得 。设 、，则 ，。由弦长公式： （两交点横坐标均为正，故交于双曲线的右支。） 例 2（中点弦） 已知双曲线 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 解　设弦的端点为 、，两点代入双曲线方程相减，得 因 ，，故直线斜率 所求直线为 ，即 。 例 3（焦点三角形面积） 已知双曲线 上一点 ，、 为两焦点，若 ，求 的面积。 解　由方程知 ，由焦点三角形面积公式得 例 4（实际应用） 、 两个岸台相距 ，某船接收到两导航台信号对应的距离差为 。以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求船的位置线方程。 解　由双曲线定位原理，船的位置线是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线的一支。由 得 ，，故 以 中点为原点，、 为左、右焦点，则船的位置线方程为 的一支（哪一支取决于船离哪个台更近）。 六、巩固训练（当堂检测） 1．直线 与双曲线 的交点个数是__________。 2．已知双曲线 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 3．已知双曲线 上一点 ，、 为两焦点，若 ，求 的面积。 4．求与双曲线 有共同渐近线，且焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 5．、 两个岸台相距 ，某船到两台的距离差为 ，以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求船的位置线方程。 七、课堂小结 1．直线与双曲线：联立后用判别式判位置、韦达定理求弦长；平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点但不是切线。 2．同支还是两支：看交点横坐标的符号，同正交右支、同负交左支、异号交两支。 3．中点弦：点差法得 （与椭圆的负号相区别）。 4．焦点三角形面积：（椭圆为 ）。 5．渐近线应用：共渐近线系 ；实际应用有双曲线定位、冷却塔外形等。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.3　双曲线的综合应用 导学案 课　题 双曲线的综合应用 课　时 1 课时 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系，会用判别式、韦达定理解决弦长问题。 2．掌握双曲线中点弦的”点差法”，理解焦点三角形的边长关系与面积公式。 3．了解双曲线渐近线的应用及双曲线定位等实际应用，提高综合运算能力。 二、学习重难点 重点：直线与双曲线的位置关系、弦长公式、中点弦的”点差法”。 难点：直线与双曲线相交时”一个交点”的辨析（平行于渐近线的情形）；直线与双曲线交于一支还是两支的判断。 三、知识链接 1．双曲线 的焦点为 ，实轴长 ，虚轴长 ，，渐近线为 。 2．双曲线定义：。 四、探究新知 探究一：直线与双曲线的位置关系 设直线 与双曲线 ，联立消去 得关于 的一元二次方程。设判别式为 ，则 · 直线与双曲线相交； · 直线与双曲线相切； · 直线与双曲线相离。 易错点辨析： 1．平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但它不是切线。例如直线 代入后 项系数为 ，方程是一元一次方程，只有一个解。 2．直线与双曲线交于同支还是两支，由交点的横坐标符号判断：两根同正交于右支，同负交于左支，异号则交于两支。 设直线与双曲线交于 、 两点，弦长公式仍为 图1　直线与双曲线的相交情形 探究二：中点弦与点差法 设弦 的中点为 ，、 在双曲线 上。两式相减得 所以直线 的斜率 注意与椭圆的中点弦公式 相差一个符号。 探究三：焦点三角形的面积 设 为双曲线上一点，，，。不妨设 ，由余弦定理： 整理得 。于是焦点三角形的面积 （与椭圆的 相区别：双曲线用余切，椭圆用正切。） 探究四：渐近线的应用 1．已知渐近线 求双曲线方程：设共渐近线系 ，再用一个已知条件求 。 2．已知双曲线求渐近线：直接写出 （焦点在 轴）或 （焦点在 轴）。 探究五：双曲线的实际应用 双曲线定位：船到两个岸台的距离差为常数时，船的位置在某一条双曲线上（称为位置线）。测得船到两对岸台的距离差，就可以得到两条位置线，两条位置线的交点即为船的位置。此外，电厂冷却塔的外形也常做成双曲线型（通风好、结构稳定）。 图2　双曲线定位示意图 五、典例精析 例 1（弦长） 已知直线 与双曲线 交于 、 两点，求 。 解　将 代入 ，得 整理得 。设 、，则 ，。由弦长公式： （两交点横坐标均为正，故交于双曲线的右支。） 例 2（中点弦） 已知双曲线 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 解　设弦的端点为 、，两点代入双曲线方程相减，得 因 ，，故直线斜率 所求直线为 ，即 。 例 3（焦点三角形面积） 已知双曲线 上一点 ，、 为两焦点，若 ，求 的面积。 解　由方程知 ，由焦点三角形面积公式得 例 4（实际应用） 、 两个岸台相距 ，某船接收到两导航台信号对应的距离差为 。以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求船的位置线方程。 解　由双曲线定位原理，船的位置线是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线的一支。由 得 ，，故 以 中点为原点，、 为左、右焦点，则船的位置线方程为 的一支（哪一支取决于船离哪个台更近）。 六、巩固训练（当堂检测） 1．直线 与双曲线 的交点个数是__________。 2．已知双曲线 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 3．已知双曲线 上一点 ，、 为两焦点，若 ，求 的面积。 4．求与双曲线 有共同渐近线，且焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 5．、 两个岸台相距 ，某船到两台的距离差为 ，以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求船的位置线方程。 七、课堂小结 1．直线与双曲线：联立后用判别式判位置、韦达定理求弦长；平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点但不是切线。 2．同支还是两支：看交点横坐标的符号，同正交右支、同负交左支、异号交两支。 3．中点弦：点差法得 （与椭圆的负号相区别）。 4．焦点三角形面积：（椭圆为 ）。 5．渐近线应用：共渐近线系 ；实际应用有双曲线定位、冷却塔外形等。 参考答案与解析 1．【答案】　 个 【解析】　双曲线 的渐近线为 。直线 与渐近线 平行，与双曲线只有一个交点。代入得 ，整理得 ，即 ，方程只有一个解，故交点个数为 。 2．【解】　设弦的端点为 、，中点 。两点代入双曲线方程相减，得 故 。所求直线为 ，即 。 3．【解】　由方程知 ，由焦点三角形面积公式，得 4．【解】　设所求双曲线方程为共渐近线系 。因焦点在 轴上，需 ，取 ，得所求双曲线的标准方程为 （ 取任意负数均可）。 5．【解】　由双曲线定位原理，船的位置线是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线的一支。由 得 ，，故 。 以 中点为原点、 所在直线为 轴建系，船的位置线方程为 的一支（哪一支取决于船离哪个台更近）。 学科网（北京）股份有限公司 $