3.2.1双曲线的定义及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.1　双曲线的定义及其标准方程 导学案 课　题 双曲线的定义及其标准方程 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．经历双曲线概念的形成过程，理解双曲线的定义，能准确表述定义中”差的绝对值”与”常数小于 “两个关键条件。 2．掌握双曲线标准方程的推导过程，理解参数 、、 的几何意义及关系 。 3．能根据已知条件选择恰当形式求双曲线的标准方程，会用定义判断动点的轨迹。 二、学习重难点 重点：双曲线的定义及其标准方程。 难点：对定义中”差的绝对值”的理解；标准方程推导中两次平方的化简； 与椭圆中 的区分。 三、知识链接 1．椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数 （大于 ）的点的轨迹。 2．思考：把”和”换成”差”，动点的轨迹会是什么样子？若把一条拉链拉开，拉链头经过的点会形成什么曲线？ 四、探究新知 探究一：双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数（小于 的正数）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距，记为 。 设动点 满足 ，则必须有 ，即 。 图1　双曲线的定义（差的绝对值为常数） 理解要点： 1．取”差的绝对值”是因为两支上的点差的符号相反：靠近 的一支上 ，靠近 的一支上 ；若只取差 ，轨迹只是一支。 2．常数必须是小于 的正数（见探究二）。 探究二：定义中常数的讨论 设 、（），动点 满足 ： 常数的取值 点的轨迹 ​ 双曲线（两支） ​ 两条射线（分别以 、 为端点向外延伸） ​ 无轨迹（三角形两边之差小于第三边，不可能） ​ 线段 的垂直平分线 图2　常数 与焦距 关系的讨论 探究三：标准方程的推导（焦点在 轴上） 建系　以 所在直线为 轴、线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 、。 设点　设 为双曲线上一点，由定义（设 在靠近 的一支上）有 列式　代入两点间距离公式： 化简　移项后两边平方，整理得 两边再平方并展开整理，得 定型　令 ，代入上式并两边同除以 ，得 此即焦点在 轴上的双曲线标准方程，焦点为 、，且 注意：双曲线中 （ 最大），与椭圆中 （ 最大）不同，不要混淆。 探究四：焦点在 轴上的标准方程 若以 所在直线为 轴建系，同理可得 此时焦点为 、。判断焦点位置：看 、 项系数的符号，正项在哪个变量下，焦点就在相应的坐标轴上。 椭圆与双曲线对比： 椭圆 双曲线 定义 距离之和为 （） 距离之差的绝对值为 （） 标准方程：焦点在 轴 ​ ​ 关系 （ 最大） （ 最大） 图3　椭圆与双曲线的对比 五、典例精析 例 1 已知双曲线的焦点为 、，双曲线上点 到两焦点距离的差的绝对值为 ，求双曲线的标准方程。 解　由焦点坐标知焦点在 轴上，且 。由 ，得 。由 ，得 。 故所求双曲线的标准方程为 。 例 2（定义的应用） 在 中，、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 解　由 ，且 （差为定值，非绝对值），点 的轨迹是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线的一支（靠近 的一支，即右支）。 由 得 ；由 得 。由 ，得 。 以 的中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，点 的轨迹方程为 例 3 已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，求点 到右焦点 的距离。 解　由方程知 ，焦点 、。 若点 在右支上，则 ，由 得 ； 若点 在左支上，则 ，得 。 故点 到右焦点 的距离为 或 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．判断：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线。（　　） 2．双曲线 的焦点坐标是__________。 3．已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 4．求焦点在 轴上，、 的双曲线的标准方程。 5．求焦距为 ，实轴长为 ，焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 七、课堂小结 1．定义：到两定点距离的差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹；差本身为定值时只对应一支。 2．标准方程：焦点在 轴为 ；焦点在 轴为 。焦点在正项所在的坐标轴上。 3．参数关系：（双曲线中 最大；椭圆中 最大，为 ）。 4．求方程的步骤：定位（焦点位置） 定式（设方程） 定量（求 、）。 参考答案与解析 1．【答案】　×（错误） 【解析】　双曲线定义要求距离的差的绝对值等于小于 的正数。若常数为 ，轨迹是线段 的垂直平分线；若常数等于 ，轨迹是两条射线；若常数大于 ，则无轨迹。故说法错误。 2．【答案】　 【解析】　由 、，得 ，。焦点在 轴上，焦点坐标为 。 3．【解】　由 ，且 ，由双曲线定义，点 的轨迹是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线。由 得 ；由 得 。由 ，得 。 以 中点为原点、 所在直线为 轴建系，轨迹方程为 。 4．【解】　由 、，得 ，。因焦点在 轴上，所求双曲线的标准方程为 。 5．【解】　由焦距 得 ；由实轴长 得 。由 ，得 。因焦点在 轴上，所求双曲线的标准方程为 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.2.1　双曲线的定义及其标准方程 导学案 课　题 双曲线的定义及其标准方程 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．经历双曲线概念的形成过程，理解双曲线的定义，能准确表述定义中”差的绝对值”与”常数小于 “两个关键条件。 2．掌握双曲线标准方程的推导过程，理解参数 、、 的几何意义及关系 。 3．能根据已知条件选择恰当形式求双曲线的标准方程，会用定义判断动点的轨迹。 二、学习重难点 重点：双曲线的定义及其标准方程。 难点：对定义中”差的绝对值”的理解；标准方程推导中两次平方的化简； 与椭圆中 的区分。 三、知识链接 1．椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数 （大于 ）的点的轨迹。 2．思考：把”和”换成”差”，动点的轨迹会是什么样子？若把一条拉链拉开，拉链头经过的点会形成什么曲线？ 四、探究新知 探究一：双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数（小于 的正数）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距，记为 。 设动点 满足 ，则必须有 ，即 。 图1　双曲线的定义（差的绝对值为常数） 理解要点： 1．取”差的绝对值”是因为两支上的点差的符号相反：靠近 的一支上 ，靠近 的一支上 ；若只取差 ，轨迹只是一支。 2．常数必须是小于 的正数（见探究二）。 探究二：定义中常数的讨论 设 、（），动点 满足 ： 常数的取值 点的轨迹 ​ 双曲线（两支） ​ 两条射线（分别以 、 为端点向外延伸） ​ 无轨迹（三角形两边之差小于第三边，不可能） ​ 线段 的垂直平分线 图2　常数 与焦距 关系的讨论 探究三：标准方程的推导（焦点在 轴上） 建系　以 所在直线为 轴、线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 、。 设点　设 为双曲线上一点，由定义（设 在靠近 的一支上）有 列式　代入两点间距离公式： 化简　移项后两边平方，整理得 两边再平方并展开整理，得 定型　令 ，代入上式并两边同除以 ，得 此即焦点在 轴上的双曲线标准方程，焦点为 、，且 注意：双曲线中 （ 最大），与椭圆中 （ 最大）不同，不要混淆。 探究四：焦点在 轴上的标准方程 若以 所在直线为 轴建系，同理可得 此时焦点为 、。判断焦点位置：看 、 项系数的符号，正项在哪个变量下，焦点就在相应的坐标轴上。 椭圆与双曲线对比： 椭圆 双曲线 定义 距离之和为 （） 距离之差的绝对值为 （） 标准方程：焦点在 轴 ​ ​ 关系 （ 最大） （ 最大） 图3　椭圆与双曲线的对比 五、典例精析 例 1 已知双曲线的焦点为 、，双曲线上点 到两焦点距离的差的绝对值为 ，求双曲线的标准方程。 解　由焦点坐标知焦点在 轴上，且 。由 ，得 。由 ，得 。 故所求双曲线的标准方程为 。 例 2（定义的应用） 在 中，、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 解　由 ，且 （差为定值，非绝对值），点 的轨迹是以 、 为焦点、实轴长 的双曲线的一支（靠近 的一支，即右支）。 由 得 ；由 得 。由 ，得 。 以 的中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，点 的轨迹方程为 例 3 已知双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，求点 到右焦点 的距离。 解　由方程知 ，焦点 、。 若点 在右支上，则 ，由 得 ； 若点 在左支上，则 ，得 。 故点 到右焦点 的距离为 或 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．判断：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线。（　　） 2．双曲线 的焦点坐标是__________。 3．已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 4．求焦点在 轴上，、 的双曲线的标准方程。 5．求焦距为 ，实轴长为 ，焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 七、课堂小结 1．定义：到两定点距离的差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹；差本身为定值时只对应一支。 2．标准方程：焦点在 轴为 ；焦点在 轴为 。焦点在正项所在的坐标轴上。 3．参数关系：（双曲线中 最大；椭圆中 最大，为 ）。 4．求方程的步骤：定位（焦点位置） 定式（设方程） 定量（求 、）。 学科网（北京）股份有限公司 $