3.1.2椭圆的简单几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.2　椭圆的简单几何性质 导学案 课　题 椭圆的简单几何性质 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴与短轴、离心率等几何性质，能从”数”与”形”两个角度认识椭圆。 2．能根据椭圆的标准方程研究其几何性质，并能根据几何性质求椭圆的标准方程。 3．理解离心率对椭圆形状的影响，体会用代数方法研究几何问题的基本思想。 二、学习重难点 重点：椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴与短轴、离心率。 难点：离心率的几何意义；由标准方程判断焦点位置并正确写出顶点、焦点坐标。 三、知识链接 1．椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。 2．椭圆的标准方程：焦点在 轴上为 ；焦点在 轴上为 ，且 。 3．思考：椭圆上任一点的坐标 有怎样的取值范围？椭圆是轴对称图形吗？怎样从方程中”看”出来？ 四、探究新知 本节以焦点在 轴上的椭圆为例进行研究： 探究一：椭圆的范围 由标准方程得 。因为 ，所以 ，即 ，故 ；同理可得 。 这说明椭圆位于直线 、 围成的矩形内。 图1　椭圆的范围、顶点与对称性 探究二：对称性 在方程 中，把 换成 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；把 换成 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；把 、 同时换成 、，方程仍不变，说明椭圆关于原点对称。 因此， 轴、 轴都是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（简称椭圆的中心）。 探究三：顶点、长轴与短轴 令 ，得 ，即椭圆与 轴的交点为 、；令 ，得 ，即椭圆与 轴的交点为 、。 线段 叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 叫做椭圆的短轴，长为 。、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的焦点总在长轴上，坐标为 ，其中 。 探究四：离心率 椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率，记为 因为 ，且 ，所以 ，即椭圆的离心率满足 越接近 ， 越接近 ， 越接近 ，椭圆越扁； 越接近 ， 越接近 ，椭圆越圆。 图2　离心率对椭圆形状的影响（长轴长相同） 探究五：焦点在 轴上的椭圆 焦点在 轴上的椭圆方程为 其性质与焦点在 轴上的椭圆完全类似，只是长轴在 轴上。两种情形对比如下： 性质 焦点在 轴 焦点在 轴 标准方程 ​ ​ 范围 ， ， 顶点 、 、 焦点 ​ ​ 长轴 在 轴上，长 在 轴上，长 离心率 ​ ​ 判断焦点位置的方法：看分母，大分母在哪个字母下，焦点就在相应的坐标轴上（大分母对应 ）。 图3　焦点在 轴上的椭圆 五、典例精析 例 1 求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标和离心率。 解　由方程知 ，，且焦点在 轴上，故 ，，。 长轴长 ，短轴长 ；顶点为 、；焦点为 ；离心率 。 例 2 求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标和离心率。 解　先化为标准方程：。故 ，，，，。 长轴长 ，短轴长 ；顶点为 、；焦点为 ；离心率 。 例 3 已知椭圆的焦距为 ，离心率 ，求椭圆的标准方程。 解　由 得 。由 ，得 ，故 。 因题中未说明焦点所在的坐标轴，故所求椭圆的标准方程为 或 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．椭圆 的顶点坐标为__________，焦点坐标为__________，离心率为__________。 2．椭圆 的焦点在__________轴上，长轴长为__________，焦点坐标为__________。 3．判断：椭圆 上点的横坐标范围是 ，纵坐标范围是 。（　　） 4．求长轴长为 ，离心率为 ，焦点在 轴上的椭圆的标准方程。 5．已知椭圆过点 ，焦点为 ，求椭圆的标准方程。 七、课堂小结 1．范围：椭圆 上的点满足 、。 2．对称性：椭圆关于 轴、 轴、原点都对称，原点是椭圆的对称中心。 3．顶点与轴：长轴顶点 ，短轴顶点 ，长轴长 、短轴长 ，焦点在长轴上。 4．离心率 ： 越大椭圆越扁， 越小椭圆越圆。 5．焦点位置看分母：大分母对应 ，焦点就在该字母所在的坐标轴上。 参考答案与解析 1．【答案】　顶点 、；焦点 ； 【解析】　由 知 、，焦点在 轴上，，。故顶点为 、；由 得 ，焦点为 ；离心率 。 2．【答案】　；； 【解析】　方程 中 ，大分母在 下，故焦点在 轴上，，，。长轴长 ，焦点坐标为 。 3．【答案】　正确（√） 【解析】　由 知 、，椭圆上的点满足 、，说法正确。 4．【解】　由长轴长 得 ；由 得 ，故 ，。因焦点在 轴上，所求椭圆的标准方程为 。 5．【解】　由焦点 知 ，焦点在 轴上，设方程为 。由椭圆过点 得 ，故 ，。所求椭圆的标准方程为 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.2　椭圆的简单几何性质 导学案 课　题 椭圆的简单几何性质 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、长轴与短轴、离心率等几何性质，能从”数”与”形”两个角度认识椭圆。 2．能根据椭圆的标准方程研究其几何性质，并能根据几何性质求椭圆的标准方程。 3．理解离心率对椭圆形状的影响，体会用代数方法研究几何问题的基本思想。 二、学习重难点 重点：椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴与短轴、离心率。 难点：离心率的几何意义；由标准方程判断焦点位置并正确写出顶点、焦点坐标。 三、知识链接 1．椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数 （大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。 2．椭圆的标准方程：焦点在 轴上为 ；焦点在 轴上为 ，且 。 3．思考：椭圆上任一点的坐标 有怎样的取值范围？椭圆是轴对称图形吗？怎样从方程中”看”出来？ 四、探究新知 本节以焦点在 轴上的椭圆为例进行研究： 探究一：椭圆的范围 由标准方程得 。因为 ，所以 ，即 ，故 ；同理可得 。 这说明椭圆位于直线 、 围成的矩形内。 图1　椭圆的范围、顶点与对称性 探究二：对称性 在方程 中，把 换成 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；把 换成 ，方程不变，说明椭圆关于 轴对称；把 、 同时换成 、，方程仍不变，说明椭圆关于原点对称。 因此， 轴、 轴都是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（简称椭圆的中心）。 探究三：顶点、长轴与短轴 令 ，得 ，即椭圆与 轴的交点为 、；令 ，得 ，即椭圆与 轴的交点为 、。 线段 叫做椭圆的长轴，长为 ；线段 叫做椭圆的短轴，长为 。、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的焦点总在长轴上，坐标为 ，其中 。 探究四：离心率 椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率，记为 因为 ，且 ，所以 ，即椭圆的离心率满足 越接近 ， 越接近 ， 越接近 ，椭圆越扁； 越接近 ， 越接近 ，椭圆越圆。 图2　离心率对椭圆形状的影响（长轴长相同） 探究五：焦点在 轴上的椭圆 焦点在 轴上的椭圆方程为 其性质与焦点在 轴上的椭圆完全类似，只是长轴在 轴上。两种情形对比如下： 性质 焦点在 轴 焦点在 轴 标准方程 ​ ​ 范围 ， ， 顶点 、 、 焦点 ​ ​ 长轴 在 轴上，长 在 轴上，长 离心率 ​ ​ 判断焦点位置的方法：看分母，大分母在哪个字母下，焦点就在相应的坐标轴上（大分母对应 ）。 图3　焦点在 轴上的椭圆 五、典例精析 例 1 求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标和离心率。 解　由方程知 ，，且焦点在 轴上，故 ，，。 长轴长 ，短轴长 ；顶点为 、；焦点为 ；离心率 。 例 2 求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标和离心率。 解　先化为标准方程：。故 ，，，，。 长轴长 ，短轴长 ；顶点为 、；焦点为 ；离心率 。 例 3 已知椭圆的焦距为 ，离心率 ，求椭圆的标准方程。 解　由 得 。由 ，得 ，故 。 因题中未说明焦点所在的坐标轴，故所求椭圆的标准方程为 或 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．椭圆 的顶点坐标为__________，焦点坐标为__________，离心率为__________。 2．椭圆 的焦点在__________轴上，长轴长为__________，焦点坐标为__________。 3．判断：椭圆 上点的横坐标范围是 ，纵坐标范围是 。（　　） 4．求长轴长为 ，离心率为 ，焦点在 轴上的椭圆的标准方程。 5．已知椭圆过点 ，焦点为 ，求椭圆的标准方程。 七、课堂小结 1．范围：椭圆 上的点满足 、。 2．对称性：椭圆关于 轴、 轴、原点都对称，原点是椭圆的对称中心。 3．顶点与轴：长轴顶点 ，短轴顶点 ，长轴长 、短轴长 ，焦点在长轴上。 4．离心率 ： 越大椭圆越扁， 越小椭圆越圆。 5．焦点位置看分母：大分母对应 ，焦点就在该字母所在的坐标轴上。 学科网（北京）股份有限公司 $