3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖范围、对称性、轴长、顶点、离心率、通径及点与椭圆位置关系。通过行星运行近日点远日点问题导入，衔接椭圆定义与标准方程，以对比表格梳理性质、例题变式递进为学习支架。 资料亮点在于用现实问题激发兴趣，培养学生用数学眼光观察世界，结构化表格与分层例题助力逻辑推理，提升数学思维，多样题型强化应用，帮助学生用数学语言表达关系，适合自主学习与教师教学评估。

第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 学习目标1、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、掌握椭圆的简单几何性质。 问题 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。依据开普勒第一、第二定律思考：近日点、远日点在椭圆什么位置？能否用椭圆基本参数直接表示这两个距离？这一现象和椭圆哪些固有几何特征直接相关？ 一、椭圆的简单几何性质 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆 ；离心率越接近0，则椭圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【例1】求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标： （1）； （2）． 【变式1-1】已知椭圆E，焦点F到长轴的两个顶点的距离分别为1和9，则椭圆E的短轴长等于（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1-2】若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等 【例2】求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【变式2-1】过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【例3】椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2、 点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 【例4】已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是_______. 【变式4-1】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 巩固加练 1.已知椭圆，则它的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2.下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ） A． B． C． D． 3.已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6.（多选）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（    ） A． B． C． D． 7.(多选题)设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则可能为（   ） A． B． C． D． 8.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____． 9.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.求C的方程。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 学习目标1、通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、掌握椭圆的简单几何性质。 问题 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。依据开普勒第一、第二定律思考：近日点、远日点在椭圆什么位置？能否用椭圆基本参数直接表示这两个距离？这一现象和椭圆哪些固有几何特征直接相关？ 参考答案　位置：椭圆长轴两个顶点；距离：近日距a-c，远日距a+c；几何特征：椭圆上点到焦点的距离存在最值，最值在长轴端点。 一、椭圆的简单几何性质 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【例1】求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标： （1）； （2）． 【答案】（1）长轴长为6，短轴长为2，离心率为， 焦点坐标为与，顶点坐标为，，， （2）长轴长为，短轴长为4，离心率为， 焦点坐标为，顶点坐标为. 【解析】（1）整理为：，焦点在x轴上，则，，， 所以长轴长为，短轴长为，离心率， 焦点为与，顶点坐标为，，， （2），整理为：，焦点在y轴上， 则，， 所以，长轴长为，短轴长为，离心率， 焦点为，顶点坐标为 【变式1-1】已知椭圆E，焦点F到长轴的两个顶点的距离分别为1和9，则椭圆E的短轴长等于（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【解析】设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c.由题意可得：，解得：. 所以.故椭圆E的短轴长为.故选：D 【变式1-2】若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等 【答案】B 【解析：椭圆，可知，，， 长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：． 椭圆中， ，，， 长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是． 椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．故选：B． 【例2】求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）. 【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而， 又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为． （2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为， 若焦点在y轴上，则，由，得， 此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或． （3）分析知，，故椭圆的标准方程为． （4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆的方程为， 则，又，即，所以， 则所求椭圆的标准方程为． 【变式2-1】过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为，又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得， 即所求椭圆的方程为，即.故选：D 【例3】椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知椭圆中，，，，故离心率．故选：A． 【变式3-1】已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知：，因为，所以，整理得，所以，得，.故选：A 【变式3-2】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图所示，易知，．由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．故选：A 2、 点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 【例4】已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是_______. 【答案】点在椭圆外 【解析】因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.故答案为：点在椭圆外. 【变式4-1】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D. 巩固加练 1.已知椭圆，则它的短轴长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B 2.下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和； 对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意； 对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意； 对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意； 对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意； 故答案为：D 3.已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆的离心率为，所以，解得， 则椭圆的离心率.故选：C. 4.若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B 5.设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6.（多选）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为， 而椭圆的焦点在轴， 当焦点是，右顶点，此时，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率 故选：BCD 7.(多选题)设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：ABC. 8.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，， 所以，，因此，整理得,所以离心率为. 9.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.求C的方程。 【答案】 【解析】由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $