3.1.1椭圆及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.1　椭圆及其标准方程 导学案 课　题 椭圆及其标准方程 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．经历从直观感知到抽象概括的曲线生成过程，体会“数形结合”与“运动变化”的数学思想。 2．理解椭圆的定义，能准确说出定义中“常数大于两定点间距离”这一关键条件，并说明其几何意义。 3．掌握椭圆两种形式的标准方程，理解参数 、、 的几何含义及其关系 ；能根据已知条件选择恰当形式求椭圆的标准方程。 二、学习重难点 重点：椭圆的定义及其标准方程。 难点：椭圆标准方程的推导（含两次平方化简），以及对参数 、、 几何意义的理解。 三、知识链接 · 课前探究 1．圆的回顾 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。请思考：当椭圆定义中的两个定点重合时，轨迹会变成什么图形？ 2．椭圆的画法（绳法） 如图 1，在两定点 、 处各固定一枚图钉，把长为 的细绳两端系在图钉上，用笔尖拉紧细绳并慢慢移动一周，笔尖画出的封闭曲线就是椭圆。 图1　椭圆的画法（绳法）与定义 3．椭圆的定义 平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（且常数大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距，记为 。 设动点 满足 ，则必须有 ，即 ；若 ，轨迹退化为线段 ；若 ，则无轨迹。 四、探究新知 探究一：椭圆标准方程的推导（焦点在 轴上） 建系　以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系。设 ，则 ，。 设点　设 为椭圆上任意一点，由定义有 列式　代入两点间距离公式，得 化简　将第二个根式移到右边并两边平方，消去相同项后整理得 两边再平方并展开整理，得 令 ，代入上式得 此即焦点在 轴上的椭圆标准方程，焦点为 、，焦距为 。 图2　焦点在 轴上的椭圆（参数关系 ） 探究二：焦点在 轴上的标准方程 若以 所在直线为 轴建系，同理可得 此时焦点为 、。两种形式对比如下： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 关系 轴 ​ ​ ​ 轴 ​ ​ ​ 注意：不论焦点在哪个轴上，、、 依次为长半轴长、短半轴长、半焦距，且 、；看分母大小判断焦点位置——大分母对应 。 图3　椭圆两种标准方程对应的图形 五、典例精析 例 1 已知椭圆的两个焦点分别为 、，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ，求椭圆的标准方程。 解　由焦点在 轴上，设所求椭圆方程为 。由 、 得 、，故 。 所求椭圆的标准方程为 。 例 2（定义法求轨迹） 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解　因为 ，且 ，由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点、长轴长 的椭圆（除去与 轴的交点，否则 三点共线不能构成三角形）。 由 得 ；由 得 ，故 。 以 的中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，轨迹方程为 （）。 六、巩固训练（当堂检测） 1．平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹一定是椭圆。（　　） 2．椭圆 的焦点坐标是__________，焦距是__________。 3．若椭圆 经过点 和 ，则 __________，__________。 4．求焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 的椭圆标准方程。 5．已知 、，动点 满足 ，判断点 的轨迹形状。 七、课堂小结 1．椭圆的定义：到两定点距离之和为常数（大于焦距）的点的轨迹，关键是“大于 ”。 2．标准方程：焦点在 轴为 ；焦点在 轴为 （大分母对应 ，焦点在相应轴上）。 3．参数关系：，其中 最大，表示长半轴长。 参考答案与解析 1．【答案】　×（错误） 【解析】　根据椭圆定义，到两定点距离之和为常数时，只有当该常数大于两定点间距离时才得到椭圆；若等于，轨迹退化为线段；若小于，则无轨迹。故说法错误。 2．【答案】　；焦距 【解析】　由 知 ，，焦点在 轴上。，故 ，焦点坐标为 ，焦距 。 3．【答案】　， 【解析】　椭圆经过 ，代入得 ，故 ，；经过 ，代入得 ，故 ，。 4．【解】　焦点在 轴上，设椭圆方程为 。 由焦距 得 ，故 。 又椭圆经过点 ，代入得 令 ，则 即 ，解得 或 （舍去，因 ）。故 ，。 所求椭圆的标准方程为 。 5．【解】　因为 ，且 ，由椭圆定义可知，点 的轨迹是以 、 为焦点，长轴长 的椭圆。 其中 ，故 ，，。以 中点为原点建系，轨迹方程为 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.1　椭圆及其标准方程 导学案 课　题 椭圆及其标准方程 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．经历从直观感知到抽象概括的曲线生成过程，体会“数形结合”与“运动变化”的数学思想。 2．理解椭圆的定义，能准确说出定义中“常数大于两定点间距离”这一关键条件，并说明其几何意义。 3．掌握椭圆两种形式的标准方程，理解参数 、、 的几何含义及其关系 ；能根据已知条件选择恰当形式求椭圆的标准方程。 二、学习重难点 重点：椭圆的定义及其标准方程。 难点：椭圆标准方程的推导（含两次平方化简），以及对参数 、、 几何意义的理解。 三、知识链接 · 课前探究 1．圆的回顾 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。请思考：当椭圆定义中的两个定点重合时，轨迹会变成什么图形？ 2．椭圆的画法（绳法） 如图 1，在两定点 、 处各固定一枚图钉，把长为 的细绳两端系在图钉上，用笔尖拉紧细绳并慢慢移动一周，笔尖画出的封闭曲线就是椭圆。 图1　椭圆的画法（绳法）与定义 3．椭圆的定义 平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（且常数大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距，记为 。 设动点 满足 ，则必须有 ，即 ；若 ，轨迹退化为线段 ；若 ，则无轨迹。 四、探究新知 探究一：椭圆标准方程的推导（焦点在 轴上） 建系　以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系。设 ，则 ，。 设点　设 为椭圆上任意一点，由定义有 列式　代入两点间距离公式，得 化简　将第二个根式移到右边并两边平方，消去相同项后整理得 两边再平方并展开整理，得 令 ，代入上式得 此即焦点在 轴上的椭圆标准方程，焦点为 、，焦距为 。 图2　焦点在 轴上的椭圆（参数关系 ） 探究二：焦点在 轴上的标准方程 若以 所在直线为 轴建系，同理可得 此时焦点为 、。两种形式对比如下： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 关系 轴 ​ ​ ​ 轴 ​ ​ ​ 注意：不论焦点在哪个轴上，、、 依次为长半轴长、短半轴长、半焦距，且 、；看分母大小判断焦点位置——大分母对应 。 图3　椭圆两种标准方程对应的图形 五、典例精析 例 1 已知椭圆的两个焦点分别为 、，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ，求椭圆的标准方程。 解　由焦点在 轴上，设所求椭圆方程为 。由 、 得 、，故 。 所求椭圆的标准方程为 。 例 2（定义法求轨迹） 已知 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解　因为 ，且 ，由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点、长轴长 的椭圆（除去与 轴的交点，否则 三点共线不能构成三角形）。 由 得 ；由 得 ，故 。 以 的中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，轨迹方程为 （）。 六、巩固训练（当堂检测） 1．平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹一定是椭圆。（　　） 2．椭圆 的焦点坐标是__________，焦距是__________。 3．若椭圆 经过点 和 ，则 __________，__________。 4．求焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 的椭圆标准方程。 5．已知 、，动点 满足 ，判断点 的轨迹形状。 七、课堂小结 1．椭圆的定义：到两定点距离之和为常数（大于焦距）的点的轨迹，关键是“大于 ”。 2．标准方程：焦点在 轴为 ；焦点在 轴为 （大分母对应 ，焦点在相应轴上）。 3．参数关系：，其中 最大，表示长半轴长。 学科网（北京）股份有限公司 $