3.1.1 椭圆及其标准方程（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆及其标准方程，引导学生理解椭圆定义、推导标准方程并掌握求法。通过视频演示与学生动手用细绳铅笔画图，分组讨论画椭圆过程中的不变量，结合圆的定义和求曲线方程“四步曲”，类比构建椭圆知识脉络。 资料突出实践与思维融合，动手画图培养直观想象，多种方程推导方法提升数学运算能力，例题涵盖定义法、待定系数法等发展逻辑推理，习题结合高考真题强化应用，助力学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。

3.1.1 椭圆及其标准方程 （导学案） （1）根据创设的情景，理解椭圆的定义. （2）理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. （3）掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. （4）掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算学科素养. 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)椭圆的集合语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}． [想一想]　若将椭圆定义中“大于|F1F2|”去掉，动点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：动点的轨迹不一定是椭圆，具体情况如下： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [说明]　两种椭圆标准方程的相同点和不同点 相同点 不同点 焦点在x轴上 形状、大小相同，a>b>0，a2＝b2＋c2，焦距为2c 方程＋＝1中，x2对应的分母大 焦点在y轴上 方程＋＝1中，y2对应的分母大 思考：给你一根细绳和一支铅笔，如何画椭圆？（课前准备绳子） 教师：首先用视频演示一遍，然后邀请两组学生到黑板上画圆和椭圆，其他学生同桌合作，画圆和椭圆，并巡视学生画图情况，适当的个别指导. 思考：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 教师：认真思考，前后四人一组讨论，讨论时间：3分钟；要求：将随机邀请一位同学分享你们的讨论结果 ，并用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆 学生：学生前后四人一组讨论，归纳总结画椭圆的方法. 思考：请同学们类比圆的定义，如何用最简洁的数学语言归纳椭圆的定义？ 学生：平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆. 三个重要概念：这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 教师：你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？ 学生：①平面——大前提；②和——任意一点到两个定点，的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距. 追问：如果这个常数等于焦距，或者这个常数小于焦距呢？会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画. 学生：根据要求去尝试画动点的轨迹，得出结论：当常数等于焦距时，点的轨迹为线段；当常数小于焦距时，点的轨迹不存在. 回顾：求曲线方程的“四步曲”是什么？ 学生：全体口答：①建系，②找等式关系，③符号化，④化简与标准化. 问题6：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？ 学生：类比圆的方程的推导过程可知,利用椭圆的对称性建系能使椭圆的方程更简单(如图1、图2所示）. 思考：自主学习教材，如何巧设常数的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程的第三步“符号化”提供便利？ 学生：自主学习教材，得出巧设结论：设常数为，，从而得到以下符号化后的式子： ........... （①） 特例化：令，，请你化简上述式子，即化简： 教师：化简方法：两次平方去根号法 化简过程： 第一次平方： 第二次平方： 教师：类比以上化简过程，化简（①）式、. 学生：尝试用两次平方去根号法，一位学生通过多媒体展示自己的推导过程，并且上讲台解说自已的推导演算过程. 教师：根据学情情况，可以适当的增加方法：构造等差数列法、构造三角函数法、构造代数恒等式法、共轭无理数法等简化方法，让学生体会比较，哪种方法运算量更小. 教师：观察的系数以及常数项,考虑怎样能让方程更简洁? 学生：全体口答：两边同时除以，可得更简洁的椭圆方程： 思考：观察图3，你能在图中找出表示的线段吗？ 教师：引导学生观察图形，得出结论： ------ 、 ------ 、 ------ 教师： 令，要求学生写出焦点在轴的椭圆的标准方程. 学生：认真观察图形，总结出的几何意义，并写出焦点在轴的椭圆的标准方程: 表示：焦点在轴上，两焦点分别为、的椭圆，其中 ，a最大; b，c没有大小关系 思考：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ 教师：引导学生类比推理 学生：类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程的推到方法，推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程： 思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 学生：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上. 教师：非常正确，可简记为：“谁大在谁家”. 并同时引导学生完成以下表格： 焦点在轴上 焦点在轴上 图 形 标准方程 焦点坐标 三者之间的关系 焦点位置的判断 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，,并且经过点 ,求它的标准方程. 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设： 教师：以上为定义法求椭圆标准方程. 思考：还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？尝试着比较不同方法的特点. 预设： 教师：以上为待定系数法法求椭圆标准方程，利用方程的思想，解方程组求的值，从而得解. 思考：尝试着比较定义法和待定系数法的特点. 预设：两种解法的特点： 解法一：从几何角度，结合椭圆定义，计算出a,b的值，从而得到椭圆标准方程； 解法二：从代数角度，利用点在图象上，代入标准方程，建立关于a,b的方程组，解方程组得到a,b的值，从而从而得到椭圆标准方程. 相比较：解法二的计算比解法一的计算量大很多. 例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 预设： 总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用相关点法？ 双动点类的轨迹问题，可以考虑此法， 比如例题2中的点P和点M均为动点，其中点M 随着P点的运动而运动. 2. 相关点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步：设点坐标：设目标动点的坐标为，另一动点的坐标为； 第②步：找关系：找与的等式关系、找与的等式关系； 第③步：标准化：代入消与，将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 思考：由 例2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 学生：思考，并观看演示动画. 例3 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设： 归纳总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用 四步曲法？ 题干中有一个明显的等式关系的轨迹问题，可以考虑此法，比如例题3中的 斜率之积是就是一个明显的等式关系. 2.直接点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步 设坐标：设目标动点的坐标为； 第②步 符号化：找一个等式关系、并且用含的式子“符号化”等式关系； 第③步 标准化：将上述符号化后的方程进行化简，得到标准方程. 第④步 剔 点：把不满足题意的“点”，给剔除掉.比如例题3中斜率不存在时的点要剔除. 1.（25-26高二上·北京顺义·期末）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆的定义可求答案. 【详解】因为椭圆：的长轴长为，是椭圆上一点， 所以. 故选：A 2.（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 3.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 4.（25-26高二上·宁夏固原·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（        ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由椭圆方程为，可得 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：C 5.（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 （导学案） （1）根据创设的情景，理解椭圆的定义. （2）理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. （3）掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. （4）掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算学科素养. 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)椭圆的集合语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}． [想一想]　若将椭圆定义中“大于|F1F2|”去掉，动点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：动点的轨迹不一定是椭圆，具体情况如下： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦距 |F1F2|＝ 焦点坐标 a，b，c的关系 [说明]　两种椭圆标准方程的相同点和不同点 相同点 不同点 焦点在x轴上 形状、大小相同，a>b>0，a2＝b2＋c2，焦距为2c 方程＋＝1中，x2对应的分母大 焦点在y轴上 方程＋＝1中，y2对应的分母大 思考：给你一根细绳和一支铅笔，如何画椭圆？（课前准备绳子） 教师：首先用视频演示一遍，然后邀请两组学生到黑板上画圆和椭圆，其他学生同桌合作，画圆和椭圆，并巡视学生画图情况，适当的个别指导. 思考：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 教师：认真思考，前后四人一组讨论，讨论时间：3分钟；要求：将随机邀请一位同学分享你们的讨论结果，并用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆 思考：请同学们类比圆的定义，如何用最简洁的数学语言归纳椭圆的定义？ 三个重要概念：这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 教师：你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？ 追问：如果这个常数等于焦距，或者这个常数小于焦距呢？会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画. 回顾：求曲线方程的“四步曲”是什么？ 问题6：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？ 思考：自主学习教材，如何巧设常数的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程的第三步“符号化”提供便利？ 思考：观察图3，你能在图中找出表示的线段吗？ 教师：引导学生观察图形，得出结论： ------ 、 ------ 、 ------ 教师： 令，要求学生写出焦点在轴的椭圆的标准方程. 思考：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ 教师：引导学生类比推理 学生：类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程的推到方法，推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程： 思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 教师：非常正确，可简记为：“谁大在谁家”. 并同时引导学生完成以下表格： 焦点在轴上 焦点在轴上 图 形 标准方程 焦点坐标 三者之间的关系 焦点位置的判断 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，,并且经过点 ,求它的标准方程. 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 思考：还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？尝试着比较不同方法的特点. 教师：以上为待定系数法法求椭圆标准方程，利用方程的思想，解方程组求的值，从而得解. 思考：尝试着比较定义法和待定系数法的特点. 例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用相关点法？ 双动点类的轨迹问题，可以考虑此法， 比如例题2中的点P和点M均为动点，其中点M 随着P点的运动而运动. 2. 相关点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步：设点坐标：设目标动点的坐标为，另一动点的坐标为； 第②步：找关系：找与的等式关系、找与的等式关系； 第③步：标准化：代入消与，将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 思考：由 例2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 例3 归纳总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用 四步曲法？ 题干中有一个明显的等式关系的轨迹问题，可以考虑此法，比如例题3中的 斜率之积是就是一个明显的等式关系. 2.直接点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步 设坐标：设目标动点的坐标为； 第②步 符号化：找一个等式关系、并且用含的式子“符号化”等式关系； 第③步 标准化：将上述符号化后的方程进行化简，得到标准方程. 第④步 剔 点：把不满足题意的“点”，给剔除掉.比如例题3中斜率不存在时的点要剔除. 1.（25-26高二上·北京顺义·期末）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 2.（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 4.（25-26高二上·宁夏固原·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（        ）. A． B． C． D． 5.（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $