3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质，引导学生探究范围、对称性、顶点、离心率及a、b、c、e的几何意义与关系。通过观察图形猜取值范围，结合方程推导验证，师生共同归纳，构建从椭圆标准方程到几何性质的观察-推导-归纳学习支架。 资料亮点在于融入数学运算、直观想象核心素养，利用Geogebra动画演示离心率对形状的影响，结合三角函数解释e与扁平程度的关系，类比学习焦点在y轴的性质。习题分层设计，含阶段检测和模拟题，总结反思部分助力学生自主学习，提升学习效率。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（导学案） （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 教学重点：1.了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：理解椭圆离心率与椭圆形状的关系，会求椭圆的离心率． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 对称性 对称轴： ，对称中心： 顶点 轴长 长轴长＝ a，短轴长＝ ； 长半轴长＝ ，短半轴长＝ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝ (0<e<1)，e越接近 ， 椭圆越扁平，e越接近 ，椭圆越接近于圆 [拓展]　对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 一、范围 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 要求：教师要求学生利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 师生：共同归纳总结，得出结论. 以上即为椭圆第一个简单几何特征：范围，椭圆位于直线，围成的矩形框里. 二、对称性 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第二个简单几何性质：对称性. 椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 三、顶点 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第三个简单几何性质：顶点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 四、离心率 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 教师：通过Geogebra软件进行演示. 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第四个简单几何性质：离心率. ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 师生：共同讨论与辨析离心率 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 学生：结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 第2步：确定椭圆焦点位置 第3步：由标准方程，求出a,b,c,的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 1.（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山东·模拟预测）点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·山西长治·期末）椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（导学案） （1）根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. （2）了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． （3）根据几何条件求出椭圆的方程，培养数学运算的核心素养． （4）掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义及解决相关问题，a，b，c，e之间的相互关系，离心率的求法. 教学重点：1.了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：理解椭圆离心率与椭圆形状的关系，会求椭圆的离心率． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b；长半轴长＝a，短半轴长＝b 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1)，e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆 [拓展]　对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 一、范围 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆上的点横坐标x的取值范围吗？纵坐标y呢？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，因此横坐标和纵坐标的取值都在某个关于原点对称的闭区间内 追问：如何利用椭圆方程求出这两个闭区间？ 学生：从椭圆方程入手，借助，可建立不等式，从而可以求出对应的两个闭区间. 预设：由方程，可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式即，． 要求：教师要求学生利用以上相同的方法，求出纵坐标y的取值范围 学生：开始学以致用，尝试求出y的取值范围. 预设：同理有，即． 师生：共同归纳总结，得出结论. 以上即为椭圆第一个简单几何特征：范围，椭圆位于直线，围成的矩形框里. 二、对称性 观察：观察椭圆的形状，你能否从椭圆图上看出椭圆的对称性？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 追问：如何利用椭圆方程说明椭圆的对称性？ 学生：思考并尝试着从椭圆方程入手去说明对称性. 预设：以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 要求：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的 学生：进行知识迁移，灵活运用以上相同的方法，说明椭圆是关于y轴对称的. 预设：以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称． 追问：利用以上相同的方法，说明椭圆是关于原点中心对称 学生：继续用以上相同的方法进行说明. 预设：以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第二个简单几何性质：对称性. 椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 三、顶点 观察：观察椭圆的形状，有哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 学生：尝试着观察椭圆的图，与同桌讨论分析. 预设：观察右图，容易看出椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊.研究曲线上这些特殊点的位置，可以确定曲线的位置． 追问：如何利用椭圆方程求得这些特殊点的坐标？ 学生：借助求直线与坐标轴交点的方法，得出四个特殊点的坐标 预设：在椭圆的标准方程中，令，得．因此，是椭圆与 轴的两个交点． 要求：利用以上相同的方法，求得椭圆与x轴两个交点坐标 学生：学以致用，求出坐标 预设：令，得．因此，是椭圆与轴的两个交点． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第三个简单几何性质：顶点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 两个概念：如图，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 四、离心率 思考：观察右图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同． 观察：观察动画演示，我们也发现，c与a比值的椭圆的扁平程度不． 教师：通过Geogebra软件进行演示. 学生：通过教师借助信息技术的动态化演示，学生得出结论. 预设：通过动画演示我们发现：保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平．类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变这样， 结论：利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度． 新概念：我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即． 师生：共同归纳总结，得出结论：椭圆的第四个简单几何性质：离心率. ①随着学习的深入你将体会到，虽然也能刻画椭圆的扁平程度，但中，是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性． 师生：共同讨论与辨析离心率 预设：因为，所以．越接近1，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近0，越接近0，越接近，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为． 思考：你能运用三角函数的知识解释，为什么越大，椭圆越扁平？越小，椭圆越接近于圆吗？ 学生：思考并进行小组讨论，得出结论，并分享自己的结论 预设： 要求：类比焦点在x轴上椭圆几何性质，得到焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质 学生：结合椭圆的图，进行类比学习并完成表格 例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：把原方程化成标准方程，得 ， 于是，，． 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率， 两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和． 方法总结：利用椭圆的方程求a,b,c,e，顶点坐标，长轴长、短轴长 第1步：将椭圆的方程改写成椭圆的标准形式 第2步：确定椭圆焦点位置 第3步：由标准方程，求出a,b,c,的值 第4步：根据离心率，顶点，长轴，短轴的定义求出对应值即可 1.（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 2.（2025·山东·模拟预测）点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标 【分析】依题意可知可知，由椭圆性质以及余弦定理计算可得需满足，再对选项逐一检验即可得出结论. 【详解】如下图：    不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为. 因为椭圆上存在点，使得，所以需； 在中，由余弦定理得， 又，化简得. 同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足. 故选：B. 3.（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【详解】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 4.（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】需要分别计算各项中椭圆的离心率，再比较大小. 【详解】对于椭圆，其离心率，椭圆的扁平程度由离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近圆, 选项A，化为标准方程为，， 选项B,化为标准方程为,因此其离心率, 选项C,, 选项D,,又， 所以，因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆. 故选:D 5.（25-26高二上·山西长治·期末）椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，分别求得椭圆的长半轴长，短半轴长和焦距，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 又由椭圆，可得， 则， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率， 所以变化时，椭圆的离心率不一定相同，所以A不正确； 对于B，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为， 所以无论怎样变化，椭圆的焦距相同，所以B正确； 对于C，根据椭圆的性质，椭圆没有渐近线，所以C不正确； 对于D，椭圆的顶点坐标为， 椭圆的顶点坐标为， 所以椭圆的顶点坐标不相同，所以D不正确. 故选：B. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $