3.2.1 双曲线及其标准方程（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“双曲线及其标准方程”，核心涵盖双曲线定义、焦点焦距概念、两种标准方程及a,b,c关系。课堂导入借助信息技术动态演示两圆交点轨迹，类比椭圆定义中距离和，引导学生观察距离差的绝对值，构建新旧知识联系的学习支架。 资料特色为探究式设计，通过类比椭圆推导过程引导学生自主完成双曲线方程推导，培养数学思维。例题融入炮弹爆炸点轨迹等实际问题，体现数学语言应用，练习题精选高考真题，助力学生巩固知识，提升用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的能力。

3.2.1 双曲线及其标准方程 （导学案） 1. 精准掌握双曲线的定义、焦点、焦距概念，能辨析定义中核心限定条件，可判断不同常数对应的轨迹类型。 1. 熟练掌握焦点在 轴、 轴上的双曲线两种标准方程，能规范完成方程推导全过程。 1. 理解 、、 的几何意义，熟记 ，可快速完成参数换算与焦点坐标求解。 1. 熟练运用待定系数法，根据焦点位置、实轴长、定点坐标等条件求解双曲线标准方程，能解决简单生活实际建模问题。 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　双曲线 (1)定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述 设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线的集合语言描述为P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． [注意]　(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了． (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形． (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)；F2(c，0) F1(0，－c)；F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 [说明]　焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线的标准方程的类型．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正． 教师：下面我们借助信息技术探究一下 如图3.2-1，在直线上取两个定点，，是直线上的动点．在平面内，取定点，，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆． 我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆． 思考：如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？ 学生：尝试着思考，与同桌讨论分析. 预设：我们发现，在的条件下，点在线段外运动时，当点靠近定点时，；当点靠近定点时，． 结论：点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数()．这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支． 双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 学生：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，所以取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 教师：设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，M到两焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c）,类比椭圆，如何用集合语言表述双曲线的定义？ 预设：， 因为 ， 所以 ① 要求：类比椭圆标准方程的化简过程，化简①式. 学生：回顾椭圆标准方程的化简过程，并自主完成①式的化简. 预设：化简得到： 同除以得 由双曲线得定义知，，即，所以， 类比椭圆标准方程得建立过程，令，其中，代入上式得 ② 双曲线的标准方程： 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上． 我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程． 它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的方程是 这个方程也是双曲线的标准方程． 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：因为双曲线的焦点轴上，所以设它的标准方程为， 由，得，又，因此， 所以，双曲线的标准方程为． 方法总结：求双曲线的标准方程 第1步：设双曲线方程的标准形式（注意焦点位置） 第2步：根据已知条件结合定义，求出求出a,b,c,的值 第3步：写出双曲线的标准方程 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 师生：共同分析： 先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点与线段AB的中点重合．设炮弹爆炸点P的坐标为，则，即，． 又，所以，，． 因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为． 教师：利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用． 方法总结：定义法求轨迹为双曲线的轨迹方程 第1步：识别：根据双曲线定义识别出所求轨迹为双曲线； 第2步：建系：建立合适的直角坐标系，表示出各已知量 第3步：求a,b,c：根据题意和双曲线定义求出a,b,c的值 第4步：写出双曲线的标准方程（注意根据实际意义写出x或y的范围） 1.（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 2.（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 3.（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先利用双曲线方程求，设 ，运用双曲线的定义，求得，得到结果. 【详解】由双曲线，得到 ， ， ； 由双曲线的定义，即， 所以或（舍去）. 故选：B. 4.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 5.（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 （导学案） 1. 精准掌握双曲线的定义、焦点、焦距概念，能辨析定义中核心限定条件，可判断不同常数对应的轨迹类型。 1. 熟练掌握焦点在 轴、 轴上的双曲线两种标准方程，能规范完成方程推导全过程。 1. 理解 、、 的几何意义，熟记 ，可快速完成参数换算与焦点坐标求解。 1. 熟练运用待定系数法，根据焦点位置、实轴长、定点坐标等条件求解双曲线标准方程，能解决简单生活实际建模问题。 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　双曲线 (1)定义 平面内与两个定点F1，F2的 等于非零常数( 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述 设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线的集合语言描述为P＝{M| }． [注意]　(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了． (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形． (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 知识点二　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系 [说明]　焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线的标准方程的类型．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正． 教师：下面我们借助信息技术探究一下 如图3.2-1，在直线上取两个定点，，是直线上的动点．在平面内，取定点，，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆． 我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆． 思考：如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？ 结论：点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数()．这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支． 双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 教师：设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，M到两焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c）,类比椭圆，如何用集合语言表述双曲线的定义？ 预设：， 因为 ， 所以 ① 要求：类比椭圆标准方程的化简过程，化简①式. 预设：化简得到： 同除以得 由双曲线得定义知，，即，所以， 类比椭圆标准方程得建立过程，令，其中，代入上式得 ② 双曲线的标准方程： 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上． 我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程． 它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里． 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的方程是 这个方程也是双曲线的标准方程． 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 方法总结：求双曲线的标准方程 第1步：设双曲线方程的标准形式（注意焦点位置） 第2步：根据已知条件结合定义，求出求出a,b,c,的值 第3步：写出双曲线的标准方程 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 教师：利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用． 方法总结：定义法求轨迹为双曲线的轨迹方程 第1步：识别：根据双曲线定义识别出所求轨迹为双曲线； 第2步：建系：建立合适的直角坐标系，表示出各已知量 第3步：求a,b,c：根据题意和双曲线定义求出a,b,c的值 第4步：写出双曲线的标准方程（注意根据实际意义写出x或y的范围） 1.（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 3.（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 4.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5.（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $