3.2.2 第1课时双曲线的简单几何性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

101 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解双曲线的几何图形，掌握双曲线的简单几何性质. 直观想象、数学抽象 2.能利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题， 数学运算、逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 我们利用椭圆的标准方程得到椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点 等简单几何性质.利用双曲线的标准方程可以得到双曲线的范围、对称 性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质 台新知初探 [知识点反思1] 知识点一双曲线的几何性质 (1)由于6 a 标准方程 a2-6=1(a>0,b>0) a2-6=1(a>0,b>0) &-a a Va-1s √e-1,因此e越 图形 浓米 大，渐近线的斜奉的 绝对值就越大，双曲 线的开口就越大. (2)双曲线的渐近线 范围 决定了双曲线的形 对称性 对称轴： 对称中心： 状.由双曲线的对称 性可知，当双曲线的 顶点 两支向外无限延伸 实轴：线段A42,长：2a;实半轴长： 时，双曲线与两条渐 实轴和虚轴 虚轴：线段B1B2,长：2b;虚半轴长： 近线无限接近，但永 远不会相交 质 焦点 (±c,0)》 (0,±c) (3)焦点到渐近线的 焦距 |F,F21=2c 距离为b. (4)双曲线上的点到 渐近线 y= y三 焦点的距离最小值： 同侧时，最小值为C 离心率 -a;异侧时，最小值 e= ,e∈ 为c+a. a,b,c关系 c2=a2+b2 c2=a2+b2 [知识点反思2] ●[知识点反思1] 等轴双曲线的离心奉 知识点二等轴双曲线 为，渐近线方程为 实轴和虚轴 的双曲线叫做 D[知识点反思2] y=±x 102 目预习自测 1(多选)已知双南线c:-号=1，侧下列选项中正确的是 A.C的焦点坐标为（±4,0） B.C的顶点坐标为(0，±3) CC的离心率为} D.C的虚轴长为2√7 2.过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为 B. 551 x2 5-5=1 3双曲线芳y=1的渐近线方程为 题型探究 提技能 题型一双曲线的简单几何性质 [方法总结1] 例1求双曲线4-=4的顶点坐标、焦点坐标实半轴长、虚半轴长，离 由双曲线的标准方程 求几何性质的步骤 心率和渐近线方程，并作出草图. ●[方法总结1] 化标准 对于非标准形式的双 曲线方程要先化成标 准形式 定位置 根据方程确定焦点在 x轴上还是y轴上 求参数 写出a2,b2的值，由 a2+b2=c2得出c2的值 写性质 由上面所求a,b,C,根 据焦点所在的坐标轴 写出所求的几何性质 103 )跟踪训练1 多选)已知双曲线-，对于VkR且≠0，下列四个选项中因 [方法总结2] 改变而变化的是 ( 利用双曲线的几何性 A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 质求方程 题型二利用双曲线的几何性质求标准方程 (1)由已知条件求出 例2求满足下列条件的双曲线的标准方程， a,b,c,根据焦点的位 置写出双曲线的标准 (1)虚轴长为12，离心率为： 方程. (2)几种特殊的双曲 间距离为6，渐沂线方程为 P[方法总结2] 线方程的设法： ①已知渐近线方程： 渐近线方程为y= 货的双尚线方程可 设为兰 为m 2=入（入 ≠0，m>0,n>0); 渐近线方程为Ax土B =0的双曲线的方程 可设为A2x2-B2y2= m(m≠0，A>0,B> 0). ②共渐近线的方程： 〉跟踪训练2 (a>0,b>0)共渐近 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 线的双曲线方程可设 (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为；，且经过点M(-3,25): 0) (2)渐近线方程为y=±，且经过点A(2,-3). (a>0,b>0)共渐近 线的双曲线方程可设 为2、 a2P=入(A关 0). ③等轴双曲线可设 为：x2-y2=入（入≠ 0). 104 题型三 双曲线的几何性质的简单应用 例 1)已知双融线c:导 =1(a>0,6>0)的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为 [方法总结3] 1 A.y=±4 1 B.y=±3x 关于双曲线性质的 应用 1 C.y=±2x D.y=±x (1)双曲线的渐近线 (2)设双陆线-若-1a0,6>0)的-个焦点为R,虚销的个端 与离心奉的关系： e= 点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么该双曲 (2)离心奉的两种 线的离心率为 ●[方法总结3] 求法： ①直接法：若已知a,c 》跟踪训练3 可直接利用e=C求 巴知F,上是双曲线-(Q>0,6>0的两个焦点，PW是经过九，目 a 解，若已知a,b,可利 垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF,Q=90°，求双曲线的离心率 用e:+求解； L ②方程法：若无法求 出a,b,c的具体值，但 根据条件可确定a,b, c之间的关系，可通过 b2=c2-a2,将关系式 转化为关于a,c的齐 次方程，借助于e= 台，转化为关子e的n 次方程求解。 随堂检测 重反馈 1双曲线。-。1的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 2.(多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则 ()》 A.实轴长为82 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为32 。4 3.中心在原，点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是（ A.x2-y2=8 B.x2-yY2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 4中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[30]2 2CE,5是双曲线号方=1(a >0,b>0)的左、右焦点，点P在双 曲线上，不妨设点P在第一象限，由 F △PFF,是等腰三角形，可得IPF,I =2c,1PF,1=2c+2a,又该三角形底角的余弦值为子，则有 2c+2a+(2o-（2o上=即c=2a,又2=d+f,0 2(2c+2a)·2c =3a. ·由题意可得， PF,1-PF,I=25解得1PF,1=4万， IPF I =21PF21, 1PF2I=22,因为1F,F2I=2√2+2=4，所以cos∠F,PF2= 1PF,2+1PE,2-1EE=32+8-16=3 2IPF,I·IPF,I 2×42×22 4 49对打双简袋苦-方=1，则“=2,6 =2√5，c=4,如图所示，设双曲线的右 焦点为M,则M(4,0),由双曲线的定义 可得1PFI-IPM1=4,则1PFI=4+ IPMI,所以IPFI+IPAI=IPMI+ 1PA1+4≥IAM1+4=√(1-4)2+(4-0)7+4=9，当且仅 当A,P,M三点共线时，等号成立.因此，IPFI+IPAI的最小 值为9. 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a坐标轴原点A1(-a, 0)A,(a,0)A(0,-a)A,(0,a）ab±名x±分x ￡(1，+0) 知识点二 等长等轴双曲线 预习自测 1.BCD因为a2=9,b2=7,所以a=3,b=√7，c=√a+b=4, 因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，顶点为(0， ±3)，离心率为号，虚轴长为2万.故选BCD, 2.A设双曲线的方程为x2-y2=A(A≠0)，代人点(2,1)，得入 =3,故所求双曲线的方程为-少=3，其标准方程为号 号=1放适儿 3.y=± 2. 2 工由号-y=1,得a=2,6=1,故渐近线方程为 1、 2 =士=x=± 2 2t. 23 题型探究提技能 1:【解折】将4松-=4变形为-千=1，即号-分 12221. 所以a=1,b=2,c=√5. 因此顶点坐标为A1(-1,0),A2(1,0), 焦点坐标为F(-5,0),F2(5,0), 实半轴长是a=1,虚半轴长是b=2, A1不 离心率e=￡-5-5， a I 渐近线方程为y=±2x,草图如图所示。 跟踪训练1：AC双曲线花-云=1，YkER且k≠0，G= 2k,b=2,c2=3k2,焦距为2c=251k1,离心率e=C= a√2 =,顶点坐标（±厅11,0），商近线方程为y=±合，即) “因k改变而变化的是焦距和顶点坐标 二21 例2：【解析】(1)设双曲线的标准方程为号-号 a-6=1(a>0,b =1(a>0,b>0) 由题每26=2，后=子且2=+分， 所以b=6,c=10,a=8, 所以双重线的标准方程为后-需-1或后-元-山 9 解法一当焦点在x猪上时，由名=之且ā=3，得6 所以所求双白线的标准方程为行-行1 当条点在y装上时，由行名且a=3,得6=2 所以所家汉曲线的标准方程为号一聋引 解法二：设以y=±号为渐近我的风曲线的方程为号-号 =λ（入≠0）.当入>0时，a2=4入， 所以2u=2√4=6，解得入=4 0 当A<0时，a2=-9入， 所以2a=2-9入=6，解得入=-1. 所以双准线的标准方程为号萄1成号苦-1 4 跟踪训练2：【解析】)设所求双曲线方程为。-=（α> 0,b>0). e=3e2=g=+ 5 .6225 -=1+ a a2 :6 4 =3 .64 a=3 9 由题意得 2=4 912- 解得 a261, b2=4. 0 所求双曲纹的行准疗程为号-号=引。 4 (2)解法一：·双曲线的渐近线方程为y=± 1 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为号 =1(a>0,b>0) 点A(2,-3)在双曲线上，∴. ①②联立，无解 点在抽上时，设所求双曲线的标准方程为 a 1(a>0,b>0), 则号宁③ 点12.-3)在双尚线上是-告=1.@ 联立③④，解得a2=8,b=32. 。所求双曲线的标准方程为g~2三1， 解法二：由双曲线的渐近线方程为y=士了，可设双曲线方 程为号-子-Aa≠0). A(2,-3)在双曲线上， 22 六2-(-3)2=A,即A=-8. ·所求双曲线的标准方程为。-号 832=1. 例3：(1)0(2)5+1 2 (1)已知双曲线C: a2-F=1(a>0,b ，所以、1 >0)的离心率为5故有少=子 a2 以片=解得 之放双曲线C的渐近线方程为y=±分 (2)设点F(c,0),点B(0,b),则直线FB:bx+cy-bc=0与渐 近线y=6x垂直，所以-么.么=-1，即6=c,所以c2 仑L 2=ac,即e2-e-1=0,所以e=5+l或e=15(舍去). 2 跟踪训练3：【解析】设F,(c,0),将x=c代入双曲线的方程得 号若1，那么y号 由IPF,I=IQF,I,∠PF,Q=90°， 知IPFI=IFF21, 所以号-2，所以广-2a 所以c2-2ac-a2=0, 所以（台月 -2×6-1=0, a 即e2-2e-1=0, 所以e=1+√2或e=1-√2（舍去）， 所以双曲线的离心率为1+2 23 随堂检测重反馈 1.B由已知得左焦点的坐标为(-5,0)，右顶点的坐标为(3， 0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2A即双南线方程2-=卫化为标准方程为5员-云1， 可得a=42,b=2,c=6,所以双曲线的实轴长为82，虚轴长 为4，焦为12，离公率为3识 3.A令y=0,得x=-4,.等轴双曲线的一个焦点为(-4,0)， c=4,d2==7c=分×16=8，即双曲线方程为2-y =8. 3 5 4.y=± =3…合=÷又：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程 4.a3 专茶三(a>0,b>0)双曲线的渐近线方程 ±只，心所求双曲线的渐近线方程为y=±子 3 第2课时双曲线的标准方程及性质的应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (1)渐近线(2)两个一个没有 知识点二 1.(1+k)[(x1+x2)2-4x12] 预习自测 1.B由题意，由于渐近线与双曲线没有公共点，如图所示，若直 线1平行于双曲线的一条渐近线，故与双曲线的公共点个数 为1个.故选B. 2.1由得[=1直线y=+1与双南线2 1x2-y2=11=0, y2=1有且仅有1个交点. 3.23 由双曲线C:号-=1标准方程可知：a=5,6=1,所 以有c=√a+b=√3+I=2,因此焦点的坐标为（±2,0）， 由双曲线的对称性不妨设直线AB过右焦点(2,0)，所以直线 AB的方程为y-0=an牙·(x-2)→y=x-2,与双曲线联 立得学-=l22-12x+15=0,设A(),B3), Ly=x-2 因此有+=6，=5，所以1B1=21x-=巨· √西+)-4=2×√6-4×5=25 2