2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟试卷

2026-2027学年第一学期人教版九年级数学期中模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．将一元二次方程2x﹣x（x﹣3）＝3化为一般形式，正确的是（　　） A．5x﹣x2＝3 B．x2﹣5x＝﹣3 C．x2﹣5x+3＝0 D．5x﹣x2﹣1＝0 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2是由抛物线y＝﹣3x2平移得到的，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝60°，则∠OBC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 5．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤5 C．m＞2 D．m＜5 7．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径OB＝5cm，在操场地上砸出一个小坑，坑深DE＝2cm，则该坑的宽AB＝（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 9．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有y≥x，且当1≤x≤3时，有成立，当x＝﹣2时，y＝0，则b的值为（　　） A．0 B．0.5 C．1 D．2 二．填空题（共6小题） 11．方程x2﹣3x＝0的根为______________ ． 12．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于_______ ． 13．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是________ ． 14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x＝_________ ． 15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别为BC，AC上的动点，且AE＝CD，．当AD+BE的值最小时，CD的长为 _________________ ． 16．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，c＜0）经过点A（3，0），下列四个结论：①该抛物线一定经过（﹣1，0）；②a+c＜0；③若（t﹣2，y1），（t+1，y2）两点均在抛物线上，且y1＞y2，则；④若方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是_______ ．（填序号） 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）3x2+6x﹣1＝0； （2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）． 18．一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长． 19．如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝_______ ，x2＝_____ ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 ___________ ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 ________ ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 ____________ ． 20．如图，AB为⊙O的直径，过点A作直线AE，点C在圆上，连接CE，与AB交于点D，且AC＝AE，BC＝BD． （1）试判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝3，，求⊙O的半径． 21．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段BC向上平移2个单位长度，点B对应点D，点C对应点E，画出平移后的线段DE，再将线段AB绕点D顺时针旋转90°，画出对应线段A′B′； （2）在图2中，点O是格线上一点，先作点A关于点O对称的点G，再过点O作直线分别交AB，AC于点F，H，使得FO＝HO． 22．某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x元/支） 30 32 月销售量y（支） 200 180 月销售利润w（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为_______ 元，y关于x的函数关系式为_______________ ； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 23．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与B、C重合），将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝ __________________ （直接写出答案）． 24．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 2026-2027学年第一学期人教版九年级数学期中模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 2．将一元二次方程2x﹣x（x﹣3）＝3化为一般形式，正确的是（　　） A．5x﹣x2＝3 B．x2﹣5x＝﹣3 C．x2﹣5x+3＝0 D．5x﹣x2﹣1＝0 【分析】通过去括号、移项、合并同类项将一元二次方程化为一般形式即可． 【解答】解：2x﹣x（x﹣3）＝3， 2x﹣x2+3x＝3， x2﹣2x﹣3x+3＝0， x2﹣5x+3＝0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2是由抛物线y＝﹣3x2平移得到的，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点（1，﹣2）， ∴把抛物线y＝﹣3x2先向右移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝60°，则∠OBC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BOC＝120°，再结合BO＝CO，以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵∠A＝60°，， ∴∠BOC＝2×60°＝120°， ∵BO＝CO， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和性质，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 【分析】利用九年级的学生人均阅读量＝七年级的学生人均阅读量×（1+该校七至九年级人均阅读量年均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝144． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤5 C．m＞2 D．m＜5 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣4（）≥0， 解得：m≤5 故选：B． 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 7．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴a＞0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C错误； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 8．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径OB＝5cm，在操场地上砸出一个小坑，坑深DE＝2cm，则该坑的宽AB＝（　　） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【分析】由垂径定理得到AB＝2BD，利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长， 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠ODB＝90°，AB＝2BD， ∵铅球半径OB＝OE＝5cm， ∴OD＝5﹣2＝3（cm）， ∴BD4（cm）， ∴AB＝2BD＝8（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由垂径定理得到AB＝2BD，由勾股定理求出BD的长． 9．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 【分析】建立直角坐标系，设截面抛物线为y＝ax2，则把C（5，4）代入求出解析式，然后将y＝2代入求出液面的宽即可． 【解答】解：依题意，设截面抛物线y＝ax2（a≠0）． 将C（5，4）代入，得4＝25a． 解得． ∴． 将y＝2代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是二次函数性质的应用． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有y≥x，且当1≤x≤3时，有成立，当x＝﹣2时，y＝0，则b的值为（　　） A．0 B．0.5 C．1 D．2 【分析】由对任意实数x，都有y≥x，且当1≤x≤3时，有成立，取x＝2时，两个不等式同时取等号，得到抛物线过点（2，2）；再结合当x＝﹣2时，y＝0，代入二次函数解析式，通过解方程组求解即可得到答案． 【解答】解：∵对任意实数x，都有y≥x， ∴当x＝2时，y≥2； ∵当1≤x≤3时，有成立， ∴当x＝2时，； 综上所述，二次函数y＝ax2+bx+c图象过点（2，2）， ∴2＝4a+2b+c①； ∵当x＝﹣2时，y＝0， ∴0＝4a﹣2b+c②； 由①﹣②得：（4a+2b+c）﹣（4a﹣2b+c）＝2﹣0， 化简得：4b＝2， 解得， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数中求参数，由题中关系列式求解即可得到答案． 二．填空题（共6小题） 11．方程x2﹣3x＝0的根为x1＝0，x2＝3　 ． 【分析】用因式分解求解即可． 【解答】解：方程x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 【点评】本题考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 12．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于　﹣1　 ． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称， ∴a＝﹣3，b＝2， 则a+b的值为：﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 13．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是k＞1　 ． 【分析】抛物线与x轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点， ∴一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＜0， 解不等式得k＞1， 故答案为：k＞1． 【点评】本题考查由抛物线与x轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与x轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x＝　﹣5或1　 ． 【分析】根据新定义得到x2﹣2•（﹣2x）+3＝8，然后把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝8， 整理得x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝1． 故答案为﹣5或1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别为BC，AC上的动点，且AE＝CD，．当AD+BE的值最小时，CD的长为 　2　 ． 【分析】过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接AF，交BC于点D′，过点A作AH⊥CF，交FC的延长线于点H，可证△ABE≌△CFD（SAS），根据全等三角形的性质可得BE＝DF，可知AD+BE的最小值即为AF的长，此时点D与点D′重合，再证明△D′CF∽△AHF，根据相似三角形的性质可得CD′：AH＝CF：FH，即可求出当AD+BE的值最小时，CD的长． 【解答】解：过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接AF，交BC于点D′，过点A作AH⊥CF，交FC的延长线于点H，如图所示： 则∠DCF＝90°， 在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 在△ABE和△CFD中， ， ∴△ABE≌△CFD（SAS）， ∴BE＝DF， ∴AD+BE的最小值即为AF的长，此时点D与点D′重合， ∵AB， ∴AC＝CF＝AB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴∠ACH＝45°， ∴∠HAC＝∠HCA＝45°， ∴AH＝CH， 根据勾股定理，得AH2+CH2＝AC2， ∴2AH2＝2， ∴AH＝1或AH＝﹣1（舍去）， ∴CH＝AH＝1， ∴HF1， ∵∠AHF＝∠D′CF，∠D′FC＝∠AFH， ∴△D′CF∽△AHF， ∴CD′：AH＝CF：FH， 即CD′：1：（1）， 解得CD′＝2， ∴AD+BE取得最小值时，CD的长度为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，c＜0）经过点A（3，0），下列四个结论：①该抛物线一定经过（﹣1，0）；②a+c＜0；③若（t﹣2，y1），（t+1，y2）两点均在抛物线上，且y1＞y2，则；④若方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是　①②　 ．（填序号） 【分析】①根据函数图象经过点的意义，只要得到3a+c＝0即可；②由①得2a+c＝﹣a，结合c＜0判断出a的正负即可；③得出对称轴为直线x＝1，根据a＞0，y1＞y2，则，即可求解；④将两个根转化为交点的横坐标，即可求解． 【解答】解：由条件可知9a﹣6a+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， 当x＝﹣1时，a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），故①正确，符合题意； ②由①得：c＝﹣3a， ∵c＜0， ∴﹣3a＜0， ∴a＞0， ∴a+c＝﹣2a＜0， ∴a+c＜0．故②正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为直线， ∵a＞0，y1＞y2， ∴， 解得：，故③错误，不符合题意； ④方程|ax2+2ax+c|＝2即|a（x2+2x﹣3）|＝2， 设g（x）＝a（x2+2x﹣3）， ∵a＞0，c＝﹣3a， ∴g（x）＝a（x+3）（x﹣1）， ∵方程|ax2+2ax+c|＝2有四个根， ∴， 此时g（x）＝2有两个根，一正一负； g（x）＝﹣2有两个根，均满足﹣3＜x＜1； ∴当时，g（x）＝﹣2的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误，不符合题意； 故答案为：①②． 【点评】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）3x2+6x﹣1＝0； （2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）． 【分析】（1）根据公式法可以解答此方程； （2）先移项，然后根据因式分解法可以解答此方程． 【解答】解：（1）3x2+6x﹣1＝0， a＝3，b＝6，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣1）＝48＞0， 该方程有两个不相等的实数根， x， ∴x1，x2； （2）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）， x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得x1，x2＝3． 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 18．一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长． 【分析】设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32﹣2x）m，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32﹣2x）m， 根据题意得：x（32﹣2x）＝120， 解得：x1＝6，x2＝10． 当x＝6时，32﹣2x＝20，20＞18， 不合题意，舍去； 当x＝10时，32﹣2x＝12． 答：矩形的宽AB的长为10m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　﹣3　 ，x2＝　1　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 　﹣3＜x＜1　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 t≤4　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【分析】（1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4，即可求解； （4）当﹣3＜x＜3时，当x＝3时，y取得最小值，y在顶点处取得最小值，即可求解． 【解答】解：（1）解：﹣x2﹣2x+3＝0得：x＝﹣3或1， 故答案为：﹣3，1； （2）从图象看，当y＞0时，直接写出x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4， 故答案为：t≤4； （4）当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，抛物线顶点的纵坐标为4， 则当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是：﹣12＜y≤4， 故答案为：﹣12＜y≤4． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 20．如图，AB为⊙O的直径，过点A作直线AE，点C在圆上，连接CE，与AB交于点D，且AC＝AE，BC＝BD． （1）试判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝3，，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到∠DAE＝90°，根据切线的判定证明； （2）根据勾股定理求出AD，再根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：（1）直线AE与⊙O相切， 理由如下：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE＝90°， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDC+∠ACE＝90°， ∵∠BDC＝∠ADE， ∴∠ADE+∠ACE＝90°， ∵AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠ADE+∠AEC＝90°， ∴∠DAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴直线AE与⊙O相切； （2）∵AE＝AC＝3，DE， ∴AD1， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即AB2＝32+（AB﹣1）2， 解得：AB＝5， ∴⊙O的半径为2.5． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握切线的判定、圆周角定理是解题的关键． 21．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段BC向上平移2个单位长度，点B对应点D，点C对应点E，画出平移后的线段DE，再将线段AB绕点D顺时针旋转90°，画出对应线段A′B′； （2）在图2中，点O是格线上一点，先作点A关于点O对称的点G，再过点O作直线分别交AB，AC于点F，H，使得FO＝HO． 【分析】（1）由点的平移，将线段BC的端点B、C向上平移2个单位长度得到D、E，用无刻度的直尺连接D、E，即可得到线段DE；用无刻度的直尺连接D、A及D、B，再根据AD是3×2矩形的对角线绕点D顺时针旋转90°，得到AD与2×3矩形的对角线垂直，从而确定A′；同理可得到B′，用无刻度的直尺连接A′、B′即可得到线段A′B′； （2）连接AO，并延长找到格点G，作7×5矩形的对角线DG，交AB于点F，作直线FO，交AC于点H，则点F，H即为所求作．由DG∥AC，AO＝GO，可证明△AOH≌△GOF，则FO＝HO． 【解答】解：（1）如图所示： ∴线段DE、线段A′B′即为所求； （2）如图所示：连接AO，并延长找到格点G，作7×5矩形的对角线DG，交AB于点F，作直线FO，交AC于点H，则点F，H即为所求作．由DG∥AC，AO＝GO，可证明△AOH≌△GOF，则FO＝HO． 【点评】本题主要考查了用无刻度的直尺作图，矩形的性质，旋转作图，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是关键． 22．某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x元/支） 30 32 月销售量y（支） 200 180 月销售利润w（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为　20　 元，y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500　 ； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 【分析】（1）设进价为a元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，200）、（32，180）代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）由题意，得到w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案； （3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）设进价为a元/支， 则由销售表可得（30﹣a）×200＝2000， 解得a＝20； 设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 将（30，200）、（32，180）代入关系式可得， 解得， 则y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500； 故答案为：20，y＝﹣10x+500； （2）存在， 由题意可得w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000 ＝﹣10（x2﹣70x+1225）+2250 ＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，当x＝35时，函数值w有最大值； （3）∵要求在售价不超过37元， ∴0≤x≤37， 新的销售利润w′＝（x﹣20﹣m）y ＝（x﹣20﹣m）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+（700+10m）x﹣（10000+500m） ＝﹣10[x2﹣（70+m）x]﹣（10000+500m） ∵﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为， 则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大， ∴， 解得m＞3， ∴m的取值范围3＜m≤5． 【点评】本题考查综合应用题，涉及一元一次方程解应用题、一次函数解应用题、二次函数解应用题、由二次函数图象与性质求最值、由二次函数图象与性质解不等式等知识，综合性强，难度较大，理解题意，根据要求准确列出得出方程、函数及不等式分析是解决问题的关键． 23．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与B、C重合），将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝ 　　 （直接写出答案）． 【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE； （2）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ADB＝∠AEC＝120°，从而求得∠AEB＝∠BEC＝60°，即可得出结论； （3）连接AE，由旋转可得AD＝DE，∠ADE＝60°，则△ADE是等边三角形，所以DE＝AD，由（1）知BD＝CE，所以△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+BD+AD＝BC+AD＝4+AD，所以当AD最小时，△DCE的周长最小，最小值＝4+AD，所以当AD⊥BC时，AD最小，此时△DCE的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【解答】（1）解：BD＝CE， 证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC， ∴EB平分∠AEC． （3）解：连接AE，如图， 由旋转可得AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD， 由（1）知BD＝CE， ∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+BD+AD＝BC+AD＝4+AD， ∴当AD最小时，△DCE的周长最小，最小值＝4+AD， ∴当AD⊥BC时，AD最小，此时△DCE的周长最小， ∵AD⊥BC，等边△ABC， ∴， 由勾股定理，得， ∴△DCE的周长最小值． 故答案为：． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK＝∠BCT＝45°，CK，CT与抛物线的另一个 交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，求解T（m，m﹣1），进一步求解直线CT为y＝﹣5x+2，直线CK为，再求解函数的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴． （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴2PD+PE， 当时，有最大值， 此时． （3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK， ∴∠BCK＝∠BCT＝45°， ∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3， ∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB， ∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG， ∴∠QCT＝∠BTG， ∵CT＝BT， ∴△CQT≌△TGB（AAS）， ∴QT＝GB，CQ＝TG， 设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m， ∴QO＝3﹣m﹣2＝1﹣m， ∴T（m，m﹣1）， 由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2， 解得， ∴， 设CT为y＝nx+2， ∴， 解得n＝﹣5， ∴直线CT为y＝﹣5x+2， ∴， 解得或， ∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK． ∴， 同理可得直线CK为， ∴， 解得或， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/22 13:33:59；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $