培优02 相似三角形6几何模型（高效培优期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪科版

专题02 相似三角形6几何模型 考点01 A 字型模型 考点02 X 字型模型 考点03 母子模型 考点04 一线三等角模型 考点05 旋转相似（手拉手模型） 考点06 几何模型与函数压轴 考点01 A 字型模型 1.（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【答案】经过或后，与相似． 【详解】解：①设经过后，， 根据已知条件，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 2．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ 【解答】解：由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴∠ABH＝∠CDH＝∠EFH＝90°， ∵∠CGD＝∠AGB， ∴△CDG∽△ABG， ∴， ∴， ∵∠H＝∠H， ∴△EHF∽△AHB， ∴， ∴， ∴， 解得：BD＝200， ∴， 解得：AB＝70， ∴山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米． 3．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB． 求证：（1）； （2）△AEF∽△ACD． 【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， ∴； （2）∵AD2＝AF⋅AB， ∴， 由（1）得：， ∴． ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACD． 4．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG． 【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE． ∴， ∵∠AFG＝∠EFA， ∴△FAG∽△FEA， ∴∠FAG＝∠E， ∵AE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠FAG， ∵∠ACD＝∠BCG， ∴△CAD∽△CBG； （2）∵△CAD∽△CBG， ∴， ∵∠DCG＝∠ACB， ∴△CDG∽△CAB， ∴， ∵AE∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DG•AE＝AB•AG． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝　 ，CP＝　 ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，点P的速度是4cm/s， ∴AP＝4tcm， ∴CP＝AC﹣AP＝（20﹣4t）cm． ∵动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，点Q的速度是2cm/s， ∴CQ＝2tcm． 故答案为：2t；20﹣4t； （2）在Rt△CPQ中， ∵CP2+CQ2＝PQ2， ∴． 整理得：t2﹣8t+12＝0． 解得：t＝2或6． ∵0≤t≤5， ∴t＝2． ∴当t为2时，PQ的长度等于4． （3）①当△CPQ∽△CBA时， ∵△CPQ∽△CBA， ∵． ∴． 解得：t． ②当△CPQ∽△CAB时， ∵△CPQ∽△CAB， ∴． ∴． 解得：t＝3． 综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题： （1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似； （2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC； （3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【解答】解（1）在Rt△ABC中，AB5， 由题意知：BP＝x，AQ＝2x，则AP＝5﹣x， ∵△APQ与△ACB相似， ①当△APQ∽△ABC时， ∴， ∴， 解得：x； ②当△APQ∽△ACB时， ∴， ∴， 解得：x． 故当x或秒时，△APQ与△ACB相似； （2）如图，过点P作PM⊥AC于H， ∴∠AMP＝90°， ∵AQ＝2x， ∴CQ＝4﹣2x， ∵PQ＝PC PM⊥AC， ∴QM＝CMCQ＝2﹣x， ∴AM＝2x+2﹣x＝x+2， ∵∠C＝90°， ∴∠AMP＝∠C， ∴PM∥BC， ∴， ∴， 解得； （3）存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为： 假设存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 有S△AQPS△ABC， ∵S△ABCAC•BC＝6（cm2）， ∴此时S△AQP＝3（cm2）， 过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴， ∴， ∴PH＝3x， ∴△AQP的面积为AQ×PH2x（3x）x2+3x， 即x2+3x＝3， 化简得：x2﹣5x+5＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5， ∴x， ∵0＜x＜2， ∴x， 则存在x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． 7．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点E从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）． （1）AE＝　 （用含t的代数式表示）； （2）连接ED，求△CED的面积s关于t的函数表达式，并求出s的最大值； （3）当△CDE为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）∵点E从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动， ∴CE＝t， ∵AC＝10， ∴AE＝10﹣CE＝10﹣t， 故答案为：10﹣t； （2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于H，则∠AGC＝∠EHC＝90°， ∴EH∥AG， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴CG＝BGBC＝6， 在Rt△AGC中，AG8， 由运动知，CE＝t，BD＝2t， ∴CD＝BC﹣BD＝12﹣2t， ∵AG∥EH， ∴△CHE∽△CGA， ∴， ∴EHt， ∴s＝S△CEDCD•EH•（12﹣2t）•tt2t（t﹣3）2， ∵0＜t＜6， ∴当t＝3时，s最大； （3）如图2， ∵AB＝AC＝10， ∴∠B＝∠C， 由（2）知，CE＝t，CD＝12﹣2t， ∵△CDE为等腰三角形， ①当DE＝DC时，∠C＝∠DEC， ∴∠C＝∠B＝∠DEC， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴， ∴t， ②当DE＝CE时，∠C＝∠CDE＝∠B， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∴t， ③当DC＝CE时，12﹣2t＝t， ∴t＝4， 即当△CDE为等腰三角形时，t的值为或或4． 考点02 X 字型模型 8．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点F，交于点E，于点G．若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴，即， ∴． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC延长线上一点，D为BC下方一点，连接DE，DE＝AB，过点D作DF⊥DE交BE于点F，且FB＝CE． （1）求证：∠ACB＝∠DFE； （2）连接AD交BC于点G，若AG＝5，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝90°， 又∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． ∴∠ACB＝∠DFE； （2）解：由（1）可知∠B＝∠E， 又∵∠AGB＝∠DGE， ∴△ABG∽△DEG． ∴， ∴AG＝DG＝5， ∴AD＝AG+DG＝5+5＝10． 10．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AOB∽△COE； （2）∵△AOB∽△COE， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB． ∴， ∴， 即OB2＝OF•OE． 11．【模型启迪】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 ，位置关系为 ； 【模型探索】 （2）如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF； 【模型应用】 （3） 如图3，在（2）的条件下，延长AC至点N，使AN＝AB，连接BN，交AD的延长线于点M．若AB＝7，AC＝5，DM，求线段AD的长． 【解答】（1）解：∵D为BC边的中点， ∴BD＝CD， 在△ACD和△HBD中， ， ∴△ACD≌△HBD（SAS）， ∴AC＝BH，∠ACD＝∠HBD， ∴AC∥BH， 故答案为：AC＝BH，AC∥BH； （2）证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG， 由（1）同理可得：△ACD≌GBD（SAS）， ∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD， ∵BF＝AC， ∴BG＝BF， ∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠CAD，即∠AFE＝∠EAF， ∴AE＝EF； （3）解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG， 由（2）可知，△ACD≌GBD， ∴AC＝BG＝5，∠CAD＝∠BGD， ∴BG∥AC， ∴△BMG∽△NMA， ∴， 设AD＝DG＝x， ∴AM＝AD+DM＝x，MG＝DG﹣DM＝x， ∵AN＝AB＝7， ∴， 整理得：6x﹣24＝0， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解， ∴AD＝4． 12．问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于F，交AD于E，图中与△ABD相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明． 尝试运用：如图（2），在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点F，交AD于点G，求证：EG•AB＝CD•AG． 拓展创新：如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BA＝BC＝1，DA＝DC＝3，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF．若DE⊥CF，求的值． 【解答】问题背景：解：△EFD∽△CFB，证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△EFD∽△CFB； 尝试运用：证明：如图（2），过点A作AH∥CD，交BC于点H， 则∠AHB＝∠C， ∵∠BAD＝∠B＝90°， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ADCH是平行四边形，∠GDF＝∠C， ∴AH＝CD， ∵EF⊥CD， ∴∠GFD＝90°， ∵∠BAD＝90°＝∠GFD，∠AGE＝∠DGF， ∴∠AEG＝∠GDF， ∴∠AEG＝∠C＝∠AHB， 又∵∠GAE＝∠B， ∴△AEG∽△BHA． ∴AG：AB＝EG：AH． ∴AG：AB＝EG：CD， ∴EG•AB＝CD•AG； 拓展创新：解：如图（3），过点C作CG⊥AD于点G，连接AC、BD交于点H， ∵BA＝BC，DA＝DC， ∴BD垂直平分AC， ∴∠AHD＝90°，AH＝CH， ∵CF⊥DE，CG⊥AD， ∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°， ∴∠FCG＝∠ADE， ∵∠BAD＝∠CGF＝90°， ∴△DEA∽△CFG， ∴， 在Rt△ADB中，tan∠ADB， ∴tan∠ADH， 设AH＝a，则DH＝3a， ∵AH2+DH2＝AD2， ∴a2+（3a）2＝32， 解得：a（负值已舍去）， ∴AH，DH， ∴AC＝2AH， ∵S△ADCAC•DHAD•CG， ∴AC•DH＝AD•CG， 即3CG， ∴CG， ∴． 考点03 母子模型 13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G． （1）求证：AG2＝GF•GM； （2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DM，AD∥BC． ∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG． ∴，． ∴． ∴AG2＝GF•GM． （2）∵AB∥DM， ∴∠BAG＝∠M． ∵∠BAG＝∠BCG， ∴∠M＝∠BCG． ∵∠MGC＝∠FGC， ∴△GCF∽△GMC． ∴，即CG2＝GF•GM． ∵AG2＝GF•GM， ∴CG2＝AG2． ∴CG＝AG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE＝CE． ∴GE⊥AC，即BD⊥AC． ∴平行四边形ABCD是菱形． 14．如图，△ABC中，D为AC上一点，∠ABD＝∠C． （1）若AB＝2，AC＝3，BC＝4，求△ABD的周长． （2）如图2，过点D作DE∥AB，交BC于点E，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若△ABC的面积为2，当x＝　　 时，△BDE的面积最大值为　　 ．（直接写出答案） 【解答】解：（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝2，AC＝3，BC＝4， ∴， ∴BD，AD， ∴△ABD的周长为AD+BD+AB2＝6， 即△ABD的周长为6； （2）①∵， ∴AB＝xAC， 由（1）知，△ABD∽△ACB， ∴x， ∴AD＝xAB＝x2•AC， ∴CD＝AC﹣AD＝AC﹣x2•AC＝（1﹣x2）AC， ∵DE∥AB， ∴， 即； ②由①知，CD＝（1﹣x2）AC， ∵， ∴S△BDC•S△ABCS△ABC＝（1﹣x2）×2＝2（1﹣x2）， 由①知，， ∴BE•EC， ∴BC＝BE+EC•EC+ECEC， ∵， ∴S△BDE•S△BDC2（1﹣x2）＝﹣2x2（x2﹣1）＝﹣2（x2）2， ∴当x2时，即x（舍去负值）时，S△BDE最大， 故答案为：，． 15．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若，则可证△ACP∽△ABC． （1）请判断三人的说法的对错：小星 　　 ，小红 　　 ，小亮 　　 ；（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）若△ACP∽△ABC，且，求AP的长． 【解答】（1）解：若∠ACP＝∠B，且∠CAP＝∠BAC，有两个角对应相等，可判定△ACP∽△ABC，小星对； 若，且∠CAP＝∠BAC，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定△ACP∽△ABC，小红对； 若，且∠CAP＝∠BAC，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明△ACP∽△ABC，小亮错； 故答案为：对；对；错； （2）证明：选择小星的方法： ∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，有两组角对应相等， ∴△ACP∽△ABC； 选择小红的方法： ∵，∠CAP＝∠BAC，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ∴△ACP∽△ABC； （3）解：设AP＝x， ∵， ∴AB＝1+x， ∵△ACP∽△ABC， ∴， ∴， 整理得：x2+x﹣6＝0， 解得：x＝2或x＝﹣3（舍）， ∴AP＝2． 16．如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【详解】(1)证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 考点04 一线三等角模型 17.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 【答案】(1) 证明：在等边中，， ， ， ； (2)，1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． （1）在等边中，，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）设，由（1）知，则，进而求出，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）知， ∴， 又， ， 即， ， 当时，最大，为1， 此时存在， 即长的最大值为1． 18．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【解答】（1）解：∵AB＝9，AP＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 19．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝2，CE，求等边△ABC的边长． 【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， 又∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠CDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADB+∠DAB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CDE＝∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）设等边△ABC的边长为x， ∵BD＝2，CE， ∴BC＝AB＝x，DC＝x﹣2， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 解得：x＝6， ∴等边△ABC的边长为6． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC 边上一点，且∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC＝8，BC＝6，CE＝1，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∵∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE； （2）解：∵AB＝AC，AC＝8， ∴AB＝8， 由（1）知，△ABD∽△CDE， ∴， 即， ∴BD＝2或4， 答：BD＝2或4． 21．在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE． 【尝试】 （1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF•FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠知，∠BFE＝∠C＝90°， ∴∠AFE+∠EFD＝∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠AFE＝∠FED， ∴△AFB∽△DFE； （2）存在点F，使AF•FD＝10， ∵将△BCE沿BE翻折，使点C落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴， ∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2， ∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF， ∴AF， ∴BC＝AD＝AF+DF＝2． （3）∵MF＝AM+FD， ∴MFAD， 由折叠知，BC＝BF＝AD，∠FGM＝∠A＝90°， ∴MFBF， ∵∠MFG＝∠BFA， ∴△FGM∽△FAB， ∴， 设AM＝x，FG＝y，则AB＝2x，AF＝2y， ∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y或y＝0（舍去）， ∴BF＝2x+y＝2x， ∴． 22．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到　　 .我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B． ①求证：△ABP∽△PCD； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B， ∴∠BAP＝∠CPD， ∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②解：∵BC＝12，点P为BC中点， ∴BP＝PC＝6， ∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD＝3.6； （3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC＝AB＝10， ∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2； 当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD， ∵∠APD＝∠B＝∠C， ∴∠ADP＝∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：CP， ∴BP＝BC﹣CP＝12， 综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或． 23．如图1，已知矩形ABCD，AB，BC＝6．点P从B出发，以1/s的速度沿边BC运动，（点P不与点C重合），连接AP，作PE⊥AP，交矩形ABCD的边于N，设点P的运动时间为ts（t＞0）． （1）t时，则CN＝　 ； （2）若AP⊥BD，求t的值； （3）当N在CD边上时，且tan∠ANP，求△PCN的面积； （4）当N在CD边上时，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵PE⊥AP， ∴∠APB+∠CPN＝90°， 又∵∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠CPN＝∠BAP， ∵∠ABC＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCN， ∴AB：PC＝BP：CN＝AP：PN， ∵t时， ∴BP， ∴PC， ∴CN． 故答案为：． （2）∵AP⊥BD， ∴∠BAP+∠APB＝90°， ∵∠PBD+∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠ABD， ∵∠ABP＝∠DAB＝90°， ∴△ABP∽△DAB， ∴AB：DA＝BP：AB，即：6＝t：， 解得t； （3）在Rt△APN中，tan∠ANP， ∴AP：PN， 由（1）知，△ABP∽△PCN， ∴AB：PC＝BP：CN＝AP：PN， ∴：（6﹣t）＝t：CN， 解得t＝1， ∴BP＝1，PC＝5，CN， ∴S△PCN•PC•CN5； （4）由（1）知，△ABP∽△PCN， ∴AB：PC＝BP：CN＝AP：PN， ∴：（6﹣t）＝t：CN，解得CN， ∵点N在CD上， ∴0＜CN，即0， 解得0＜t≤1或5≤t≤6． ∵点P不与C重合， ∴0＜t≤1或5≤t＜6． 24．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 　　 ． 【解答】【探究】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠BEF+∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠BEF， 又∵∠A＝∠B， ∴△AED∽△BFE； （2）解：∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝5， 由（1）知△AED∽△BFE， ∴， 即， ∴BF； 【应用】解：如果CE＝CF，则∠CEF＝∠CFE＝45°，∠ECF＝90°，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意， ②如果CE＝EF，则∠ECF＝∠EFC， ∵∠EFC为△BEF的外角， ∴∠EFC＝∠B+∠BEF， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠BEF＝∠EFC﹣∠B＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∠ACE＝90°﹣∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ACF＝∠BEF， 又∵∠A＝∠B，CE＝EF， ∴△AEC≌△BFE（AAS）， ∴BE＝AC， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4， ∴AC， ∴BE＝2； 如果CF＝EF，则∠CEF＝∠ECF＝45°， ∴∠CFE＝90°， 在△BEC中，∠B＝∠BCE＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∴CE⊥AB， 又∵AC＝BC， ∴点E为AB的中点， ∴BE， 综上，BE的长为2或2， 故答案为：2或2． 25．点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE． （1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE； （2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为 　　 ；（直接写出） （3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD． 【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠DBE，∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠ADB+∠DAB， ∴∠ADB＝∠CBE， ∵∠C＝∠A， ∴△DAB∽△BCE； （2）解：如图（2），过点E作EF⊥EC交AC于点F， ∵∠C＝45°， ∴∠BFE＝90°+45°＝135°，∠CFE＝45°， ∴∠C＝∠CFE， ∴CE＝EF， CFEF， ∵CE∥AD， ∴∠A＝180°﹣45°＝135°， ∴∠A＝∠BFE， 由（1）可得△DAB∽△BFE， ∴， 设CE＝EF＝a，则BFa，CFa， ∴BC＝BF+CF＝2a， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图（3），延长AB到点F，使得∠BFE＝∠DAB，连接EF， ∵△DAB∽△DBE， ∴∠DAB＝∠DBE， ∵∠DBF＝∠ADB+∠DAB＝∠DBE+∠EBF， ∴∠EBF＝∠BDA， 又∵∠DAB＝∠BFE， ∴△DAB∽△BFE， ∴， ∵△DAB∽△DBE， ∴， ∴， 设AD＝m，则ABm，BFm，EF＝2m， ∴AF＝AB+BF＝2m， ∴， 又∵∠F＝∠DAB， ∴△DAB∽△EFA， ∴， ∴AE＝2BD． 考点05 旋转相似（手拉手模型） 26．（2026·安徽六安·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（）． (1)如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值； (2)如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点， ①求证：； ②求的长． 【答案】(1) (2)①证明：如图2，由（1）知：， ， 是中线，， ， ， ， ∴； ② 【分析】（1）证明即可解答； （2）①由（1）知，结合直角三角形的性质可得，推出 ，进而得到，即可证明结论； ②延长交于，连接交于，证明四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， 由旋转得：， ， ； （2）①证明：略； ②解：延长交于，连接交于， ∵ ，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ， ． 27．综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC，可知：　 ； （2）猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE＝　 ． （4）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．分别取AC，DE的中点M，N．当△BDE绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是　 ． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC4， ∵点D和点E分别为AB，AC的中点， ∴AD＝BDAB＝2，AE＝CEAC＝2， ∴， 故答案为：； （2）猜想CEBD，证明如下： ∵点D和点E为分别为AB，AC的中点， ∴由图1可知，ABAB，AEAC， ∴， ∴， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠BAC＝45°， ∴cos∠BAC， 根据旋转的性质可得：∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∴CEBD； （3）由图1可知点D和点E为分别为AB，AC中点， ∴DE∥BC，ADAB＝2， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴如图3，当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE， 根据勾股定理可得：BD2， 由（2）可得：， ∴， ∴CE＝2， 故答案为：2； （4）如图4， 在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵点M是AC的中点， ∴BMAC， ∵点D，E是AB，BC的中点， ∴BDAB＝2，BEBC， 根据勾股定理得，DE， 在Rt△BDE中，点N是DE的中点， ∴BNDE， 过点N作NH⊥BM于H，则NH＝BN•sin∠NBHsin∠NBH， ∴S△BMNBM•NHsin∠NBHsin∠NBH， 要△BMN面积最大，则sin∠NBH最大，即∠NBH＝90°， 如图5，此时△BDE绕点B逆时针旋转90°，即∠ABD＝90°， ∴△BDA的面积为BD•AB2×4＝4， 故答案为：4． 28．综合与探究： 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE旋转到如图4位置时，CE⊥BC，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请求出AH的长． 【解答】解：（1）四边形BCDF是平行四边形，理由如下： ∵F是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴AF＝CF＝BFAC， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝2∠BAC， 由旋转的性质得CD＝CF，∠DCF＝2∠BAC， ∴BF＝CD，∠BFC＝∠DCF， ∴BF∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形； （2）BC＝2DM，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是AC，BC的中点， ∴△CDE是△ABC的中位线，AC＝2CD，BC＝2EC， ∴DE∥AB， ∴∠CED＝∠ABC＝90°； 如图3所示，设BE与CD的交点为N（此后过程都基于图3）， ∵∠CDE＝90°，线段BE经过CD的中点， ∴DN＝CN＝ENCD， ∵AC＝2CD，BC＝2EC， ∴2 由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∴△DNM≌△ENC（ASA）， ∴DM＝CE， ∵BC＝2CE， ∴BC＝2DM； （3）如图4所示，当点E在BC上方时，延长DE交AB于点G． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 由（3）可知，∠CED＝90°， ∴∠CEG＝180°﹣∠CED＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCEG是矩形， ∴GE＝BC，CE＝BG，∠BGD＝90°， ∵AB＝8，BC＝6， ∴DEAB＝4，CE＝BGBC＝3， ∴GD＝GE+ED＝6+4＝10， ∴BD， ∵AH⊥BD， ∴sin， ∴， ∴AH， 如图5所示，当点E在BC的下方时，过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P， ∴∠BPE＝90°， ∵∠PBC＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠CED， ∴四边形BCEP是矩形， ∴PE＝BC＝6，BP＝CE＝3， ∴PD＝PE﹣DE＝6﹣4＝2， ∴BD， ∵AH⊥BD， ∵S△ABDAH•BDAB•PD， ∴AH•BD＝AB•PD， ∴AH＝8×2， ∴AH， 综上所述，AH的长为或． 29．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）点E在AC边上，DE⊥AB，垂足为D，如图1，已知CE＝DE，求AD的长； （2）将（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连结CD，交直线AB于点F，在CD上方作∠DCG＝∠BAC，∠DCG的边与AB交点为G． ①如图2，当点E在线段CD上时，求BF的长； ②如图3，连结BE，延长CG交BE于点M，在Rt△ADE旋转的过程中，求线段BM的最小值． 【解答】解：（1）连接BE，CD． ∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，DE＝CE． ∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣∠DCE＝∠BCD， ∴BD＝BC＝6． ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∴AD＝AB﹣BD＝4； （2）①过点A作AH⊥AC交CD的延长线于点H，如图， 在Rt△ADC中，由（1）可得AD＝4，AC＝8． ∴∠ACD＝30°， ∴AH． ∵AH∥BC， ∴，即， ∴BF． ②如图，过点D作DN⊥CD交CM的延长线于点N，连接NE． ∵∠DCN＝∠DAE＝∠CAB＝α， ∴tanα． ∴DE＝3，AE5． 又∵∠EDN＝90°﹣∠CDE＝∠ADC， ∴△EDN∽△ADC． ∴，∠DNE＝∠DCA． ∴NE＝BC． ∵∠DCA+∠BCG＝90°﹣∠DCG＝∠DNE+∠CNE， ∴∠BCG＝∠CNE， ∴NE∥BC， ∴，即BE＝2BM． ∵BE≥AB﹣AE＝5． ∴BM． 故线段BM的最小值为． 30．在直角边长为4的等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AC，AB的中点，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，旋转角为α． （1）如图1，求出BE的长； （2）如图2，当点D在△ABC内时，试求出的值； （3）当△ADE绕点A逆时针旋转至C，D，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长． 【解答】解：（1）∵△ABC为直角边长为4的等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝4， ∴， ∵点D，E分别是边AC，AB上的中点， ∴； （2）∵∠CAB＝∠DAE， ∴∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠BAE， ∴∠CAD＝∠BAE， ∵点D，E分别是边AC，AB上的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴△CAD∽△BAE， ∴， ∴． （3）根据题意可知，△ABC为直角边长为4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AC，AB上的中点， 则，，DE∥CB， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， 若△ADE绕点A逆时针旋转至C，D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论： ①当点D在C，E之间时，如图1， 此时∠ADC＝180°﹣∠ADE＝90°， ∴， ∴； ②当点E在C，D之间时，如下图， 此时∠ADC＝∠ADE＝90°， ∴， ∴； 综上所述，线段CE的长为或． 31．综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　 ； （2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE； 【变式应用】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长； 【综合应用】 （4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝4，∠B＝30°， ∴AC＝BC•sin30°＝2，AB＝BC•cos30°＝2， ∵D是BC中点， ∴BC＝2， 由△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”可知，△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD， ∴△ABD∽△ACE， ∴，即， ∴CE； 故答案为：； （2）证明：如图， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． ∵，即， ∴△ABD∽△ACE； （3）解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC中点， ∴，即∠ADB＝90°， ∴， 作BM⊥AC，DN⊥AE，垂足分别为M、N， 则∠AMB＝∠AND＝90°， ∵S△ABC＝S△ADE， ∴， ∴， ∵∠AMB＝∠AND，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABM∽△AND， ∴， ∴， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△AEC， ∴，即， ∴； （4）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1， ∴BC＝2AC＝2，AB， ∵△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”， ∴△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B＝90°， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD， ∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE＝∠B＝30°， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴点E就在垂直BC的直线上运动， 设CE＝x，则BDx， 如图，过F作FM⊥CE，AN⊥CE，分别交直线CE于点M、N， 在Rt△ACN中，AC＝1，∠ACN＝30°， ∴CN＝AC•cos30°， ∴EN＝CN﹣CEx， ∵四边形ADFE为矩形， ∴AD＝EF，∠EAD＝90°， ∴∠AEN＝∠EFM＝90°﹣∠MEF， ∵∠N＝∠M＝90°， ∴△AEN∽△EFM， ∴tan30°， ∴FMENx， ∴S△CEF x•（x） x2x （x）2， ∵0， ∴当x时，S△CEF，此时BDx， ∴△CEF面积的最大值为，BD的长度为． 32．【初步探索】如图1，已知点B在直线CE上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线AE，BD交于点F，如图2所示． （1）当△ACE的面积达到最大时，α的度数为 　 　 ； （2）根据图2，求证：△ACE∽△BCD； （3）根据图2，求∠BFE的度数； 【类比应用】如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝DE，DG＝3，连接AG，BF，请直接写出的值． 【解答】【初步探索】证明：∵AB＝AC，DE＝CE， ∴． ∵∠BAC＝∠DEC， ∴△ABC∽△EDC， ∴； 【问题解决】（1）解：∵EC一定，S△ACEEC•AC， ∴当AC最大时，△ACE的面积达到最大， 由题意得：当AC⊥CE时，CE取得最大值，此时△ACE的面积达到最大． ∴∠ACE＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ACB65°， ∴旋转角α＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25°； （2）证明：∵AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE65°， ∴∠BCD＝∠ACE． 由【初步探索】知：， ∴△ACE∽△BCD； （3）解：∵△ACE∽△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC． ∵∠BFE＝∠FDC+∠FED ∴∠BFE＝∠BDC+∠CDE+∠FED＝∠AEC+∠CDE+∠FED＝∠CDE+∠CED＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°； 【类比应用】解：，理由： 连接BD，DF，如图， ∵矩形ABCD和矩形DEFG，AB＝1，AD＝DE，DG＝3， ∴∠BAC＝∠E＝∠EDG＝90°，DG＝EF＝3． ∴BD2，DF2， ∴． ∵， ∴． 在Rt△ABD中， ∵tan∠ADB， ∴∠ADB＝30°． 在Rt△DEF中， ∵tan∠EDF， ∴∠EDF＝60°． ∴∠BDF＝∠ADB+∠ADE+∠EDF＝90°+∠ADE． ∵∠ADG＝∠ADE+∠EDG＝90°+∠ADE， ∴∠BDF＝∠ADG， ∴△BDF∽△ADG， ∴． 33．（1）如图1，△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∠AEF＝∠ABC＝90°，求证：△ABE∽△ACF． （2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠ABE＝∠CBE，点E是射线BE上一动点，连接AE，AE绕点E逆时针旋转120°，得到EF连接AF，FC； ①求证：CF⊥BC； ②若，求AE的长； （3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是线段BD上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE的左侧作菱形AEFG，使得∠GAE＝∠DAB，线段EF交线段CD与点P，若（k＞0），求（用含有k的式子表示）． 【解答】（1）证明：∵△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∠AEF＝∠ABC＝90°， ∴AFAE，ACAB，∠FAE＝∠CAB＝45°， ∴，且∠FAC＝∠EAB， ∴△ABE∽△ACF． （2）①证明：如图1，设AC与BE相交于点G， ∵AB＝CB，∠ABC＝120°， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°， 又∠ABE＝∠CBE，由三线合一性质可得： AG＝CGAC，BG⊥AC， 从而BGAB， 由勾股定理可得AGBG， ∴BG， ∴． 又AE绕点E逆时针旋转120°，得到EF， ∴AE＝EF，∠AEF＝120°， 同理可求得∠AFE＝∠FAE＝30°，． ∴∠FAC＝∠EAB，， ∴△FAC∽△EAB． ∴∠FCA＝∠EBA＝60°， ∴∠FCB＝∠FCA+∠ACB＝60°+30°＝90°， 即CF⊥BC． ②解：∵若， ∴AC＝8，CF⊥BC， 由勾股定理可得：FC， 又△FAC∽△EAB， ∴，即， ∴BE＝4． 又由①知BGAB8＝4， ∴BG＝BE，故G点与E点重合， ∴AE． （3）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴AD＝AB，∠DAB＝60°， 则△ABD为等边三角形，AD＝BD＝AB， ∵（k＞0）， ∴BE， ∴DE＝DB﹣BE＝AD． ∵∠GAE＝∠DABA＝60°，且四边形AEFG为菱形， ∴∠AEF＝120°，AE＝EF， ∴∠DEP＝∠AEF﹣∠AED＝120°﹣∠AED， ∵∠ADE＝60°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝120°﹣∠AED， ∴∠DEP＝∠DAE， 又∠PDE＝∠ADE， ∴△PDE∽△EDA， ∴， ∴， 故． 34．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系： ． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：　 ． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△ADB，△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE， 故答案为：BD＝CE． （2）结论：或，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴， ∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）①∵， ∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 设AB＝3x，BC＝4x， 在Rt△ABC中，， 同理，在Rt△ADE中，设AD＝3a，DE＝4a，则AE＝5a， ∴∠DAB＝∠EAC，，即， ∴△DAB∽△EAC， ∴； ②由①得：△DAB∽△EAC， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴△BGF∽△CGA， ∴∠BFG＝∠GAC， ∴sin∠BFC＝sin∠BAC， 在Rt△ABC中， ∴， ∴． 35．△ABC和△DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BA＝BC，DC＝DE，∠ABC+∠CDE＝180°，连接AE． （1）如图1，当∠ABC＝90°，点E在BC的延长线上时，点F为AE中点，连接FB．若AC＝3，CD，求BF的长； （2）如图2，点F为AE中点，连接FB，FD，FB交AC于点G．点H是AC上一点，连接BH．延长BH，DF相交于点K．若∠K＝∠BGA，求证：AH＝HC； （3）如图3，当∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上时，延长EC至点N，使得EN＝AC．延长AE至点M，使得EMAE，连接MN．若AE＝6，当MN的长度取最大值时，请直接写出△EMN的面积． 【解答】（1）解：∵∠ABC+∠CDE＝180°，∠ABC＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∵BA＝BC，DC＝DE， ∴△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴ACABBC，CECD， ∵AC＝3，CD， ∴AB＝BC＝3，CE＝2， ∴BE＝BC+CE＝5， 在Rt△ABE中，AE， ∵点F为AE中点， ∴BFAE； （2）证明：如图，延长BF至点M，使FM＝BF，连接MD，BD，延长ME、BC交于点N， 设DE与BC交于点P， ∵点F为AE中点， ∴AF＝EF， 在△ABF和△EMF中， ， ∴△ABF≌△EMF（SAS）， ∴AB＝EM，∠BAF＝∠MEF， ∵BA＝BC， ∴BC＝EM， ∵∠BAF＝∠MEF， ∴AB∥EM， ∴∠ABC+∠BNM＝180°， ∵∠ABC+∠CDE＝180°， ∴∠BNM＝∠CDE， ∵∠CPD＝∠EPN， ∴△CPD∽△EPN， ∴∠PCD＝∠PEN， ∵∠PCD+∠BCD＝180°，∠PEN+∠DEM＝180°， ∴∠BCD＝∠DEM， 在△BCD和△MED中， ， ∴△BCD≌△MED（SAS）， ∴BD＝BM， 在等腰△BDM中，FM＝BF， ∴DF⊥BF， ∴∠BFK＝90°， ∵∠KBF＝∠GBH，∠K＝∠BGA， ∴△BGH∽△BKF， ∴∠BHG＝∠BFK＝90°， ∴BH⊥AC， ∵BA＝BC， ∴AH＝HC； （3）如图，过点N作NF⊥EN，使NF＝CE，连接EF，取EF的中点G，连接NG、MG，过点N作NT⊥AE于T， 在△AEC和△EFN中， ， ∴△AEC≌△EFN（SAS）， ∴AE＝EF＝6，∠EAC＝∠FEN， ∵点G是Rt△EFN斜边EF的中点， ∴NG＝EG＝3， ∵∠EAC+∠AEC＝90°， ∴∠FEN+∠AEC＝90°， 即∠AEF＝∠GEM＝90°， ∵EMAE＝3＝EG， ∴△EGM是等腰直角三角形， ∴GMEM＝3，∠EMG＝45°， ∵MN≤NG+GM＝3+3， ∴当M、G、N三点共线时，MN取得最大值（3+3）， ∵NT⊥AM，∠NMT＝45°， ∴NT＝MN•sin∠NMT＝（3+3）， ∴S△EMNEM×NT3． 考点06 几何模型与函数压轴 36．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 37．（2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，是反比例函数图象上的两点，过点作轴的平行线与射线交于点．若，，点的横坐标为3，则的值为________． 【答案】6 【详解】解：如图，过点作轴于点，延长交轴于点，则轴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∵点的横坐标为3， ， 设点，则， 点， 点，均在反比例函数的图象上， ，解得， ． 38．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，点．反比例函数的图象经过点，，且点的横坐标是1． （1）点的纵坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 【答案】 6 【详解】解：（1）把代入函数，得， ∴点A的纵坐标为6． （2）过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，过点C作轴，交于点E，交于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得或 经检验，或都是原方程的解，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点B的坐标为． 39．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与双曲线交于，两点，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点． (1)求的值及一次函数解析式； (2)若，求点的坐标； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， 将其坐标代入解析式得：． ∴双曲线解析式为． ∵也在双曲线上，代入； ∴， ∴． ∵直线经过和， 代入两点坐标列方程组：， 解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：分别过点，作轴于点，轴于点，则， 又， ， ， 由（1）得，， ，， 又， ， ， 点在图象上， 当时，， ， ， ， ， ， ． 40．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点 ， 点A在直线上，且横坐标为1，把代入，解得 点的坐标为 在反比例函数上 反比例函数的表达式为 （2） 解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，设 点的坐标为 41．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， 则， 解得， ∴这条抛物线对应的函数关系式为； （2）解：，理由如下， 令，则， 解得或 ∴点坐标为， ∵为的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，即； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点符合条件，点与点重合， ∴点的坐标为． 42．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)抛物线的函数关系式为 (3)的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴当时，，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， ∴点， ∵，且点在轴负半轴上， ∴，即点， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为． （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，． ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，代入，得， ∴的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为． 43．如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 【解答】（1）证明：如图1，连接BD， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴AE， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AB∥CD ∴AE，∠F＝∠DGE， 在△AEF和△DEG中， ， ∴△AEF≌△DEG（AAS）， ∴GE＝EF． （2）解：∵E、G分别为AD、CD的中点， ∴DE＝DG， ∵∠EDG＝120°， ∴EGDE， 由（1）知GE＝EF， ∴EF， ∴GF＝3， 设AQ＝x，PF＝y， 则PG＝GF﹣PF＝3y， ∵PGAQ， ∴3yx， ∴y＝3x； （3）解：①∵点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合）， ∴PQ不可能垂直AE， 当PQ⊥AB时，如图2，连接BG，BD， 则∠FQP＝90°， 同理可得△BCD是等边三角形， ∵点G是CD的中点， ∴BG⊥CD， ∵AB∥CD， ∴BG⊥AB， ∴∠FBG＝90°， ∴∠FQP＝∠FBG， 又∵∠PFQ＝∠GFB， ∴△FPQ∽△FGB， ∴， 即FQ•FG＝FP•FB， 由（2）得AF＝DE，AQ＝x，GF＝3，PGx， ∴FQ＝AQ+AF＝x，FB＝AF+AB3，FP＝3x， ∴3（x）（3x）， 解得：x； 当PQ⊥BE时，如图3， ∵PQ⊥BE，AE⊥BE， ∴AE∥PQ， ∴， 即AF•FP＝EF•FQ， ∴（3x）（x）， 解得：x； 综上所述，x的值为或． ②如图4，过点Q作QH∥FG交DA的延长线于点H，作QJ⊥BE于J， 则∠H＝∠AEF＝30°，∠AQH＝∠F＝30°， ∴∠H＝∠AQH， ∴AQ＝AH＝x， 则QHx，DH＝x+3， 由（2）知DE，EG，PGx， ∴PE＝EG﹣PGx， ∵QH∥FG， ∴△DEP∽△DHQ， ∴，即， 解得：x（负值舍去）， ∵QJ⊥BE， ∴∠BJQ＝90°， ∵∠ABE＝30°， ∴QJBQ（3﹣x）， ∵∠BJQ＝∠BEA＝90°， ∴JQ∥AD， ∴△MQJ∽△MDE， ∴ 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形6几何模型 考点01 A 字型模型 考点02 X 字型模型 考点03 母子模型 考点04 一线三等角模型 考点05 旋转相似（手拉手模型） 考点06 几何模型与函数压轴 考点01 A 字型模型 1.（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    2．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？ 3．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB． 求证：（1）； （2）△AEF∽△ACD． 4．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝　 ，CP＝　 ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 6．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题： （1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似； （2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC； （3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由． 7．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点E从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）． （1）AE＝　 （用含t的代数式表示）； （2）连接ED，求△CED的面积s关于t的函数表达式，并求出s的最大值； （3）当△CDE为等腰三角形时，求t的值． 考点02 X 字型模型 8．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点F，交于点E，于点G．若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC延长线上一点，D为BC下方一点，连接DE，DE＝AB，过点D作DF⊥DE交BE于点F，且FB＝CE． （1）求证：∠ACB＝∠DFE； （2）连接AD交BC于点G，若AG＝5，求AD的长． 10．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F． （1）求证：△AOB∽△COE； （2）求证：BO2＝EO•FO． 11．【模型启迪】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 ，位置关系为 ； 【模型探索】 （2）如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF； 【模型应用】 （3） 如图3，在（2）的条件下，延长AC至点N，使AN＝AB，连接BN，交AD的延长线于点M．若AB＝7，AC＝5，DM，求线段AD的长． 12．问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于F，交AD于E，图中与△ABD相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明． 尝试运用：如图（2），在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点F，交AD于点G，求证：EG•AB＝CD•AG． 拓展创新：如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BA＝BC＝1，DA＝DC＝3，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF．若DE⊥CF，求的值． 考点03 母子模型 13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G． （1）求证：AG2＝GF•GM； （2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形． 14．如图，△ABC中，D为AC上一点，∠ABD＝∠C． （1）若AB＝2，AC＝3，BC＝4，求△ABD的周长． （2）如图2，过点D作DE∥AB，交BC于点E，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若△ABC的面积为2，当x＝　　 时，△BDE的面积最大值为　　 ．（直接写出答案） 15．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若，则可证△ACP∽△ABC． （1）请判断三人的说法的对错：小星 　　 ，小红 　　 ，小亮 　　 ；（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）若△ACP∽△ABC，且，求AP的长． 16．如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 考点04 一线三等角模型 17.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)已知，设，请求与的关系式．并计算出长的最大值． 18．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 19．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝2，CE，求等边△ABC的边长． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC 边上一点，且∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC＝8，BC＝6，CE＝1，求BD的长． 21．在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE． 【尝试】 （1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF•FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值． 22．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到　　 .我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B． ①求证：△ABP∽△PCD； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 23．如图1，已知矩形ABCD，AB，BC＝6．点P从B出发，以1/s的速度沿边BC运动，（点P不与点C重合），连接AP，作PE⊥AP，交矩形ABCD的边于N，设点P的运动时间为ts（t＞0）． （1）t时，则CN＝　 ； （2）若AP⊥BD，求t的值； （3）当N在CD边上时，且tan∠ANP，求△PCN的面积； （4）当N在CD边上时，直接写出t的取值范围． 24．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F． （1）求证：△AED∽△BFE． （2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长． 【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 　　 ． 25．点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE． （1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE； （2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为 　　 ；（直接写出） （3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD． 考点05 旋转相似（手拉手模型） 26．（2026·安徽六安·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（）． (1)如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值； (2)如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点， ①求证：； ②求的长． 27．综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC，可知：　 ； （2）猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE＝　 ． （4）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．分别取AC，DE的中点M，N．当△BDE绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是　 ． 28．综合与探究： 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE旋转到如图4位置时，CE⊥BC，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请求出AH的长． 29．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）点E在AC边上，DE⊥AB，垂足为D，如图1，已知CE＝DE，求AD的长； （2）将（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连结CD，交直线AB于点F，在CD上方作∠DCG＝∠BAC，∠DCG的边与AB交点为G． ①如图2，当点E在线段CD上时，求BF的长； ②如图3，连结BE，延长CG交BE于点M，在Rt△ADE旋转的过程中，求线段BM的最小值． 30．在直角边长为4的等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AC，AB的中点，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，旋转角为α． （1）如图1，求出BE的长； （2）如图2，当点D在△ABC内时，试求出的值； （3）当△ADE绕点A逆时针旋转至C，D，E三点在同一条直线上时，求线段CE的长． 31．综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　 ； （2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE； 【变式应用】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长； 【综合应用】 （4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度． 32．【初步探索】如图1，已知点B在直线CE上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，DE＝CE，∠BAC＝∠DEC＝50°，求证：； 【问题解决】在【初步探索】的基础上，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线AE，BD交于点F，如图2所示． （1）当△ACE的面积达到最大时，α的度数为 　 　 ； （2）根据图2，求证：△ACE∽△BCD； （3）根据图2，求∠BFE的度数； 【类比应用】如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝DE，DG＝3，连接AG，BF，请直接写出的值． 33．（1）如图1，△ABC与△AEF都是等腰直角三角形，且∠AEF＝∠ABC＝90°，求证：△ABE∽△ACF． （2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠ABE＝∠CBE，点E是射线BE上一动点，连接AE，AE绕点E逆时针旋转120°，得到EF连接AF，FC； ①求证：CF⊥BC； ②若，求AE的长； （3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是线段BD上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE的左侧作菱形AEFG，使得∠GAE＝∠DAB，线段EF交线段CD与点P，若（k＞0），求（用含有k的式子表示）． 34．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系： ． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：　 ． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 35．△ABC和△DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BA＝BC，DC＝DE，∠ABC+∠CDE＝180°，连接AE． （1）如图1，当∠ABC＝90°，点E在BC的延长线上时，点F为AE中点，连接FB．若AC＝3，CD，求BF的长； （2）如图2，点F为AE中点，连接FB，FD，FB交AC于点G．点H是AC上一点，连接BH．延长BH，DF相交于点K．若∠K＝∠BGA，求证：AH＝HC； （3）如图3，当∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上时，延长EC至点N，使得EN＝AC．延长AE至点M，使得EMAE，连接MN．若AE＝6，当MN的长度取最大值时，请直接写出△EMN的面积． 考点06 几何模型与函数压轴 36．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 37．（2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，是反比例函数图象上的两点，过点作轴的平行线与射线交于点．若，，点的横坐标为3，则的值为________． 38．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，点．反比例函数的图象经过点，，且点的横坐标是1． （1）点的纵坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 39．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，直线与双曲线交于，两点，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点． (1)求的值及一次函数解析式； (2)若，求点的坐标； 40．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 41．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 43．如图1，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，G为CD的中点，延长GE交BA的延长线于点F，已知∠ABE＝30°，AB＝3．点P，Q分别在线段GE，AB上（不与端点重合），且满足，设AQ＝x，PF＝y． （1）求证：GE＝EF． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，连结PQ． ①当PQ与△ABE的一边垂直时，求x的值． ②当点D落在QP的延长线上时，记PQ与BE的交点为M，求的值． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $