12.4 事件的独立性（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

12.4 事件的独立性 教学目标 1.知识与技能 理解相互独立事件的定义 掌握独立事件的判断方法 熟记独立事件乘法公式 能够区分相互独立事件与互斥事件 会运用独立事件概率公式解决实际问题 了解递推法在概率计算中的使用思路 2.过程与方法 通过实例辨析独立与互斥的区别 经历独立事件概率公式的推导过程 提升概率模型识别与数学运算能力 教学重难点 重点 相互独立事件的概念 独立事件乘法概率公式 独立事件基础应用题求解 难点 相互独立事件和互斥事件的辨析 复杂情境下独立事件模型识别 递推法求解概率问题 知识点01 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率_没有影响_______，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即________． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都___相互独立_____． 4.若为个随机事件，且，则______． 知识点02 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（） P（AB） 0 P（A）P（B） P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（） P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B） 题型01 独立事件的判断 【典例1】（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【变式1】（2025高二·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段检测）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 题型02 相互独立事件与互斥事件的辨析 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【变式1】下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【变式2】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【变式3】（24-25高三下·上海·阶段检测）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 题型03 独立事件的乘法公式 【典例1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 【变式1】（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 【变式2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 【变式3】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 题型04 独立事件的实际应用 【典例1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【变式3】（24-25高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型05 递推法求概率 【典例1】一只青蛙沿着数轴线跳跃，其规则如下： 起点为0； 若青蛙在0处，则有的概率跳到1，有的概率消失； 若青蛙在，2或3处，则有的概率跳到，有的概率跳到，有的概率消失. 问青蛙能跳到4处的概率是多少？（    ） A． B． C． D． E． 【变式1】某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． (1)求； (2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； (3)求． 1．（26-27高二上·上海·期中）事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 3．（25-26高二下·上海·期末）已知事件与事件互斥，，，则________． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，那么________. 5．（2025高二上·上海·专题练习）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 6．（2025·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 7．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 8．（25-26高二上·上海长宁·期末）甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． (1)若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ (2)若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 9．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（    ） A．若两个事件可以同时发生，则事件与独立 B．若，则事件是事件的对立事件 C．若，则事件不是事件的互斥事件 D．依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系 10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 11．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 12．（24-25高二下·上海松江·期末）为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 14．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 15．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为_________． 16．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4 事件的独立性 教学目标 1.知识与技能 理解相互独立事件的定义 掌握独立事件的判断方法 熟记独立事件乘法公式 能够区分相互独立事件与互斥事件 会运用独立事件概率公式解决实际问题 了解递推法在概率计算中的使用思路 2.过程与方法 通过实例辨析独立与互斥的区别 经历独立事件概率公式的推导过程 提升概率模型识别与数学运算能力 教学重难点 重点 相互独立事件的概念 独立事件乘法概率公式 独立事件基础应用题求解 难点 相互独立事件和互斥事件的辨析 复杂情境下独立事件模型识别 递推法求解概率问题 知识点01 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率_没有影响_______，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即________． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都___相互独立_____． 4.若为个随机事件，且，则______． 知识点02 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（） P（AB） 0 P（A）P（B） P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（） P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B） 题型01 独立事件的判断 【典例1】（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合， (2)是相互独立事件，理由如下： 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件. 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型判断事件的独立性. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”， 所以事件对应的集合为， 则； （2）略 【变式1】（2025高二·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号， 表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种， 事件 ，事件 ， 事件 ，事件 . 事件 ，事件 ， 事件 ， 事件 ， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以 ,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段检测）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)样本空间，，，，，，，，； (2)，，相互独立，理由： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）略 题型02 相互独立事件与互斥事件的辨析 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 【变式1】下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 【变式2】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 【变式3】（24-25高三下·上海·阶段检测）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 题型03 独立事件的乘法公式 【典例1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由题可得， ， ， 即，故与也独立 (3) 【详解】（1）由题可得，故， 则. （2）略 （3）由题可得， ，即， 解得，综上. 【变式1】（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 【答案】 【详解】， 因为、两个事件相互独立，则、相互独立，所以， 又，所以，所以. 【变式2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若乙中靶的概率为，两人都中靶的概率为，且甲乙射击互不影响，则甲中靶的概率为_________． 【答案】/ 【详解】设“甲运动员中靶”为事件，“乙运动员中靶”为事件，则，， 因为甲乙射击互不影响，所以，相互独立，则，解得． 【变式3】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与､与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成且氧原子完全消耗，则从反应生成的中随机抽取1个，其为的概率为______． 【答案】 【分析】首先分别计算选到和的概率，再根据独立事件概率公式求解. 【详解】因为与的原子个数比为，所以选到的概率为， 与的原子个数比为，所以选到的概率为， 原子和原子的选择相互独立，所以反应生成的概率为. 题型04 独立事件的实际应用 【典例1】（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由如下： ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2）略 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 题型05 递推法求概率 【典例1】一只青蛙沿着数轴线跳跃，其规则如下： 起点为0； 若青蛙在0处，则有的概率跳到1，有的概率消失； 若青蛙在，2或3处，则有的概率跳到，有的概率跳到，有的概率消失. 问青蛙能跳到4处的概率是多少？（    ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【分析】设出从位置出发能跳到4的概率，根据已知条件可得，，，消去即可求得. 【详解】设为从位置出发能跳到4的概率，其中， 在处，有的概率跳到1，的概率消失，故. 在处，各有的概率跳到相邻点，的概率消失， 故，， 将代入，得， 解得，再代入， 得，解得， 又，所以，解得. 【变式1】某校社团联合会开展“招新闯关挑战”，规则如下：闯关挑战由甲、乙两名同学接力完成，第一关的挑战者由抽签决定，甲、乙被抽中的概率均为0.5.若挑战者闯关成功，则由本人继续挑战下一关；若闯关失败，则换另一名同学挑战下一关．已知甲每次闯关成功的概率是0.7，乙每次闯关成功的概率是0.8，且甲、乙每次闯关是否成功都是相互独立的．记第关的挑战者是甲的概率为． (1)求； (2)求第二关和第三关的挑战者是同一人的概率； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式进行求解即可； （3）根据独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式、等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）； （2）第二关和第三关的挑战者都是甲的概率为， 第二关和第三关的挑战者都是乙的概率为， 则第二关和第三关的挑战者是同一人的概率为. （3）由题意可得，即， 所以． 因为，所以， 则是首项为0.1，公比为0.5的等比数列， 所以， 故． 1．（26-27高二上·上海·期中）事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率、独立事件的乘法公式及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：由于是独立事件，故，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：由于是独立事件，则也是相互独立事件， ，故D正确. 2．（24-25高二上·上海·期末）对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】利用概率加法公式求出，再结合互斥、对立、独立事件的定义逐一判断选项即可. 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 3．（25-26高二下·上海·期末）已知事件与事件互斥，，，则________． 【答案】0.7/ 【详解】由事件互斥，则， 所以. 4．（25-26高二上·上海·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，那么________. 【答案】/ 【分析】根据独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 5．（2025高二上·上海·专题练习）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求. (2)甲乙两个人比赛，对于弱者甲（赢的概率较小者为弱者，设甲每一局赢的概率为）来说，一局定胜负和三局两胜定胜负比较，哪个更有利？请从数学的角度予以解释.(这里所说的“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，最多三局结束) 【答案】(1) (2)一局定胜负对甲有利， 若一局定胜负，甲赢的概率为； 若三局两胜，甲赢的概率为. 因为甲是弱者，所以， 所以，即， 所以一局定胜负对甲有利. 【分析】（1）根据互斥事件及对立事件的概率公式求解； （2）分别计算：一局定胜负与三局两胜情况下甲赢的概率，比较即可． 【详解】（1）， 事件与互斥，， 又，， ，， . （2）略 6．（2025·上海杨浦·一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 【答案】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海普陀·期末）在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 【答案】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得至少收到两个可拆分为恰好收到个和恰好收到个， 且两种情况互斥，对于恰好收到个，可拆分为如下三种情况， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 而每一位收发数字的情况相互独立， 对于第一种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第二种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第三种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得恰好收到个的概率为， 当恰好收到个时，由独立事件概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得至少收到两个0的概率为. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海长宁·期末）甲和乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛的结果互不影响，且设甲赢的概率为． (1)若两人采用“三局两胜”（先赢得两局者为胜，最多三局结束比赛）比赛模式，最终胜者会获得100元奖金，且．第一局比赛甲胜后，因突发事件比赛终止，问：怎样分配100元奖金才公平？ (2)若，比赛模式可在“一局定胜负”或“三局两胜”中选择一种，问：哪种比赛模式对甲有利？为什么？ 【答案】(1)甲应该分得元，乙分得元； (2) “三局两胜” 对甲有利，理由如下： “一局定胜负”甲获胜的概率是； “三局两胜”甲连胜两局或者第三局赢，前两局赢一次输一次， 则概率为. 因为， 而且，故，即， 即，于是“三局两胜”更有利. 【分析】（1）分局，局比赛，求出甲获胜的概率，从而得到最终甲获胜的概率，根据甲、乙最终获胜的概率分钱； （2）分别算出两种情况的甲获胜的概率，然后作差比大小，决定最后的有利情况. 【详解】（1）若两局比完，甲第局获胜，概率为； 若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为； 故比完比赛，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 因此甲应该分得元，乙分得元. （2）略 9．（25-26高二上·上海浦东新·期末）在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（    ） A．若两个事件可以同时发生，则事件与独立 B．若，则事件是事件的对立事件 C．若，则事件不是事件的互斥事件 D．依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系 【答案】C 【分析】由独立事件的定义判断A；由对立事件的定义判断B；由互斥事件的定义判断C，举反例说明D. 【详解】对于A，由独立事件的定义可知，事件需满足，与事件是否同时发生无关， 如：投掷一枚骰子，记事件为：出现的点数为1，事件为出现的点数为奇数， 则事件可同时发生， 但不满足，故A错误； 对于B，对立事件要求首先是互斥事件，其次是(为样本空间)， 如，，， 此时满足，但事件不是对立事件，故B错误； 对于C，互斥事件的性质为， 又因为， 所以对任意互斥事件都有， 根据其逆否命题可知，当时，事件一定不是互斥事件，故C正确； 对于D，样本空间的非空子集对应的事件未必是互斥或独立事件， 如，，， 则， 则， 所以事件、既不互斥也不独立，故D错误. 故选：C. 10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【答案】(1)16； (2)； (3)“一个”在前面更合适. 【分析】（1）由频数总数为30即可直接求解a，由随机选取甲类题材中“一”出现的次数和古典概型公式即可计算； （2）由“一个”出现的概率和不搭配“一个”出现的概率结合互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式即可求解； （3）比较“一个”和“一格”出现的概率即可得解. 【详解】（1）由题可得， 因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次， 所以估计甲类题材中“一”出现的概率为； （2）由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为， 所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为. （3）甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为， 所以“一个”出现的概率更高，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 11．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用事件的独立性得，又，进而得，即是方程的两根，利用二次方程的性质即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，所以是方程的两根， 解得或，又，所以. 12．（24-25高二下·上海松江·期末）为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . (1)若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; (2)若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 【答案】(1) (2)选择五局三胜制对甲队更有利，理由： 用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ， 则 ， 设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，则， 由各局比赛结果相互独立，且事件 互斥， 所以， 因为，所以选择五局三胜制对甲队更有利. 【分析】（1）用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ，设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，得到，结合相互独立事件和互斥事件的概率公式，即可求解； （2）用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，根据相互独立事件的概率公式，求得，即可求解. 【详解】（1）解：用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ( )， 则 ， 设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，则 ， 由各局比赛结果相互独立，且事件互斥， 所以. （2）略 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 【答案】(1)； (2)不独立，理由如下： 根据题意，全体样本空间为，， 事件，，故， 事件，，故， 事件，,故， 因为，所以事件不相互独立. 【分析】（1）先根据古典概型，计算“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再由对立事件的概率求解即可； （2）列出样本空间，分别求出事件A,B及AB发生的概率，验证与是否相等即可. 【详解】（1）依题意，放回的随机地抽取3次，每次抽取1张共有种结果， 其中满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的有： ，共计3个， 故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为， ∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. （2）不独立，理由略. 14．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ (2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 【答案】(1)错误 (2)0.63856，小获胜概率更大 【分析】（1）直接计算命中概率即可判断； （2）由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式代入计算，即可判断. 【详解】（1）小总命中率为， 小总命中率为， ，综上，小想法错误，小为校； （2）情况一：小第一次投篮就命中，其概率为； 情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中， 其概率为； 情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中， 其概率为， 则小的获胜概率为， 所以小获胜概率更大. 15．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为_________． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式可求过第一、二关的概率，从而可得连过两关的概率. 【详解】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为， 则过第一关的概率为， 第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为： ， 故过第二关系的概率为， 故一个人连过第一、二关的概率为， 故答案为：. 16．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】C 【分析】首先通过分析正四面体的翻转操作，找出操作n次后正四面体与桌面贴合的面是的概率​的递推关系，再根据递推关系计算​，并分析​的性质判断​与​的大小关系. 【详解】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $