3.2.2 函数的基本性质-奇偶性（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数、偶函数的定义及几何意义，明确判断步骤（先定义域对称再比较f(-x)与f(x)关系），涵盖图像特征、参数求解、解析式推导及与单调性综合应用，承接函数概念与单调性，为函数综合学习构建基础支架。 该资料以课标为纲分层设计，含知识点解析、题型示例及随学随练，结合高考真题实例。通过定义辨析培养数学抽象（数学眼光），分段函数判断与抽象函数证明强化逻辑推理（数学思维），图像判断与不等式求解提升数学表达（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过基础通关与素养提升练习查漏补缺。

第 三 章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质-奇偶性 课标要点 1、理解奇函数、偶函数的定义及几何意义（图像分别关于原点、y轴对称）。 2、掌握判断函数奇偶性的步骤（先看定义域是否关于原点对称，再比较与的关系）。 3、能根据函数的奇偶性求参数值或函数解析式。 4、掌握奇函数、偶函数的图像特征，能利用对称性作图。 5、理解奇偶性与单调性的综合应用（奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数相反）。 学习重难点 重点： 1、奇偶性判断的优先条件（定义域必须关于原点对称）； 2、与关系的代数判断（=为偶，=为奇）； 3、奇偶性在求解析式中的应用（已知一半区间，求另一半）； 4、奇偶性与图像对称性的对应。 难点： 1、分段函数的奇偶性判断（需分段验证与的关系）； 2、含参函数根据奇偶性求参数时，参数的取值需带回验证（如分母不能为零等隐含条件）； 3、抽象函数的奇偶性证明（没有具体解析式，需利用赋值法）； 4、既奇又偶函数的理解（只有恒为零且定义域对称的函数）。 知识点 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 2．用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数；若，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 3、分段函数的奇偶性 （1）先判断定义域的对称性 （2）判断分段函数的奇偶性时，可以通过图像的对称性来判断，也可以通过与的关系式来判断。对分段函数的要注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 随学随练 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 知识点 函数奇偶性的应用 1、复合函数奇偶性的判断 奇函数 ± 奇函数 = 奇函数（加减不变） 偶函数 ± 偶函数 = 偶函数（加减不变） 奇函数 × 奇函数 = 偶函数（负负得正） 偶函数 × 偶函数 = 偶函数（始终为正） 奇函数 × 偶函数 = 奇函数（一正一负） 2、比较数的大小 利用对称性，把所有自变量都“转化”到同一个单调区间（通常是正半轴）来比较。 （1）偶函数：因为自变量取正取负函数值都一样，所以先把所有自变量的绝对值算出来。然后只看正半轴的单调性：如果正半轴递增，绝对值大的函数值就大；如果正半轴递减，绝对值大的函数值就小。 （2）奇函数：因为单调性在整个定义域内保持一致，所以直接看自变量本身的大小。如果函数递增，自变量大的函数值就大；如果递减，自变量大的函数值就小。 3、结合单调性求解不等式 偶函数看绝对值，奇函数看符号。 （1）偶函数（图像左右对称）：偶函数在对称区间上的单调性是相反的（即左增右减，或左减右增）。 解不等式时，不能直接比较括号里面的数，因为自变量有正有负。 （2）奇函数（图像关于原点对称）：奇函数在对称区间上的单调性是相同的（即左增右增，或左减右减）。 解不等式时，可以直接比较括号里面的数。 4、判断函数图像 （1）先看第一象限的图像，根据其单调性去判断并排除不符合的图像。 （2）再根据奇偶性来判断其余详细的图像情况。 随学随练 1．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 题型 判断函数的奇偶性 ▌例1判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. ▌例2（2026�重庆万州�三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 解题贴士 判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；若对称，再验证  与  的关系：若  则为偶函数，若  则为奇函数。注意分段函数需在各段上分别验证，且奇函数若在 有定义则必有 。若定义域对称且  与  无上述关系，则为非奇非偶函数。 ▌对点练1-1（25-26高二下�陕西渭南�期末）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果； 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. ▌对点练1-2（25-26高一上�河北唐山�期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 题型 根据函数的奇偶性求参 ▌例1若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． ▌例2（25-26高一下�浙江杭州�期末）（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 解题贴士 根据奇偶性求参，先确定定义域关于原点对称（列方程求参），再代入 （偶）或 （奇）恒成立，解方程得参数。注意奇函数若定义域含0，则必有 （可作为快速条件）。最终参数需代回验证定义域对称性及等式恒成立，排除增根。若含多个参数，需联立方程组求解。 ▌对点练1-1（25-26高二下�湖南长沙�期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. ▌对点练1-2（25-26高一下�湖南长沙�阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 题型 根据奇偶性求函数解析式 ▌例1（25-26高一下�四川泸州�期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . ▌例2已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 解题贴士 利用奇偶性求函数解析式，先根据定义域对称性确认奇偶性成立，再利用对称关系将未知区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，代入已知表达式变形。奇函数用 ，偶函数用 ，最后将自变量换回原变量即可。 ▌对点练1-1设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. ▌对点练1-2（2026�湖南株洲�一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 题型 判断抽象函数的奇偶性 ▌例1（24-25高一上�广东深圳�期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. ▌例2已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 解题贴士 判断抽象函数奇偶性，只能依据题目给出的函数方程（如 ）进行推导。常用策略是赋值法——令变量取特殊值（如 、）得到 、 与  的关系，从而判断奇偶性。注意需先验证定义域是否关于原点对称（若题目未说明，可先证）。若能得到  则为偶函数， 则为奇函数。若推不出上述关系，则无法判断。 ▌对点练1-1（25-26高一上�浙江宁波�期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. ▌对点练1-2（25-26高二下�全国�期末）（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 题型 奇偶性与单调性解不等式 ▌例1（25-26高二下�辽宁�期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. ▌例2（25-26高二下�安徽合肥�期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 解题贴士 奇偶性负责“化简形式”，单调性负责“脱去符号”。先利用奇偶性将不等式化为  的标准形式（奇函数变号移项，偶函数取绝对值），再根据单调性脱去 ：增函数方向不变，减函数方向反转。注意偶函数需先比较  与 （因为 ），且括号内表达式必须始终在定义域内。最后联立定义域约束求交集。 ▌对点练1-1（25-26高一下�云南丽江�期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. ▌对点练1-2（25-26高一上�福建泉州�期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 题型 奇偶性的应用 ▌例1（25-26高一上�海南省直辖县级单位�阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】解法一：根据关于对称即可求解； 解法二：特值法，令即可求解. 【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. ▌例2（25-26高一上�重庆�期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 解题贴士 通过奇偶性来找函数的对称关系，从而得出函数最大值与最小值关于某点对称，可得最大值与最小值的中点。 ▌对点练1-1（25-26高一上�江西抚州�期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【答案】4 【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和. 【详解】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 故答案为：4. ▌对点练1-2（25-26高一上�河北石家庄�期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【答案】 【分析】令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解. 【详解】因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 题型 奇偶性对函数图像的判断 ▌例1（25-26高一下�山东潍坊�期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. ▌例2（25-26高一下�湖南益阳�期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 解题贴士 奇偶性决定图像的对称性（奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称），单调性决定图像的升降趋势（增函数上升，减函数下降）。结合两者可快速画出函数简图：先利用奇偶性将定义域对称到正半轴，再根据单调性确定图像走势，最后利用对称性补全整个图像。若函数在对称区间上单调性相反（如偶函数在轴两侧增减相反），图像呈“V”或“Λ”形；若单调性相同（奇函数两侧增减相同），图像呈中心对称的上升或下降趋势。此方法常用于判断图像的大致形状或比较函数值大小。 ▌对点练1-1（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D ▌对点练1-2（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，排除选项C、D，再根据时，函数值的正负，排除选项B，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数为偶函数， 对于函数和函数为奇函数，排除C，D； 当时，可得，则，所以，，排除B. 故选：A. 基础通关 1．（25-26高一下�河南�阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 2．（2026�辽宁抚顺�模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 3．（25-26高一上�辽宁沈阳�阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 4．（25-26高一上�福建泉州�期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 5．（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且， 可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. 7．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 8．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. 9．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 10．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 素养提升 1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 3．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章 函数的概念与性质 3.2函数的基本性质奇偶性 课时目标 1、 理解奇函数、偶函数的定义及几何意义（图像分别关于原点、y轴对称）。 2、 掌握判断函数奇偶性的步骤（先看定义域是否关于原点对称，再比较f-x)与f(x)的 关系)。 课标要点 3、能根据函数的奇偶性求参数值或函数解析式。 4、掌握奇函数、偶函数的图像特征，能利用对称性作图。 5、理解奇偶性与单调性的综合应用（奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数相反）。 重点： 1、奇偶性判断的优先条件（定义域必须关于原点对称）： 2、f(-x)与f(x)关系的代数判断(f(-x=f(x)为偶，f(-x=-f(x)为奇)： 3、 奇偶性在求解析式中的应用（已知一半区间，求另一半）； 4、奇偶性与图像对称性的对应。 学习重难点 难点： 1、分段函数的奇偶性判断（需分段验证f(-x)与f(x)的关系）： 2、含参函数根据奇偶性求参数时，参数的取值需带回验证（如分母不能为零等隐含条 件)； 3、抽象函数的奇偶性证明（没有具体解析式，需利用赋值法）； 4、 既奇又偶函数的理解（只有恒为零且定义域对称的函数）。 清主线 课时内容导图 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 偶函数：f(-x刘-fX,图像关于y轴对称 奇函数：f(-)=-fx),图像关于原点对称 知识点一：函数 既奇又偶：只有恒为客且定义域对称的函数 奇偶性的概念 判断步骤：先看定义域是否关于原点对称，再比较-X)与f(x)的关 系 求参数：定义域对称列方程，f(-x)与f(x)关系恒等求参，奇函数 f(0)-0可作快速条件 求解析式：利用对称关系将未知区间转化到已知区间 解不等式：偶函数看绝对值(fx)=f0x0),奇函数看符号(f(-x)= 函数的 知识点二：奇偶 f(x)) 奇偶性 性的应用 比较大小：偶函数转化到正半轴比较绝对值；奇函数直接比较自变 量 图像判断：先看奇偶性判断对称性，再用单调性判断走势 复合函数奇偶性：加减不变，乘除遵循"同偶异奇”（奇×奇=偶，奇 ×偶=奇) 分段函数奇偶性需分段验证 综合要点 抽象函数奇偶性用赋值法推导 奇偶性与最值：奇函数在对称区间上最值和为0，可求最值之和 理新知 教材全盘梳理 知识点 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx称为偶函数 奇函数：若对于定义域内的任意一个x,都有f孔-x=-fx,那么fx称为奇函数. 2.用定义判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇 函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； (2)求f孔-x,可根据f孔-x与f引x之间的关系，判断函数fx的奇偶性. 若fx=-fx,则fx是奇函数：若fx=fx,则fx是偶函数 若fx≠±fx,则fx慨不是奇函数，也不是偶函数： 若f-x=fx且f引-x=-fx,则fx既是奇函数，又是偶函数 3、分段函数的奇偶性 2/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)先判断定义域的对称性 (2)判断分段函数的奇偶性时，可以通过图像的对称性来判断，也可以通过f(-x)与fx)的关系式来判 断。对分段函数的f(-x)要注意x与-x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f引x与f孔-x对应不 同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较， 长随学随练 1.判断下列函数的奇偶性： )f(x)=+2x2: ②)r V1-x2 6)f()=x+24-2 知识点 函数奇偶性的应用 1、复合函数奇偶性的判断 奇函数±奇函数=奇函数（加减不变） 偶函数±偶函数=偶函数（加减不变） 奇函数×奇函数=偶函数（负负得正） 偶函数×偶函数=偶函数（始终为正） 奇函数×偶函数=奇函数（一正一负） 2、比较数的大小 利用对称性，把所有自变量都“转化”到同一个单调区间（通常是正半轴）来比较。 (1)偶函数：因为自变量取正取负函数值都一样，所以先把所有自变量的绝对值算出来。然后只看正半 轴的单调性：如果正半轴递增，绝对值大的函数值就大：如果正半轴递减，绝对值大的函数值就小。 (2)奇函数：因为单调性在整个定义域内保持一致，所以直接看自变量本身的大小。如果函数递增，自 变量大的函数值就大；如果递减，自变量大的函数值就小。 3、结合单调性求解不等式 偶函数看绝对值，奇函数看符号。 (1)偶函数（图像左右对称）：偶函数在对称区间上的单调性是相反的（即左增右减，或左减右增）。 解不等式时，不能直接比较括号里面的数，因为自变量有正有负。 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)奇函数（图像关于原点对称）：奇函数在对称区间上的单调性是相同的（即左增右增，或左减右 减)。 解不等式时，可以直接比较括号里面的数。 4、判断函数图像 (1)先看第一象限的图像，根据其单调性去判断并排除不符合的图像。 (2)再根据奇偶性来判断其余详细的图像情况。 随学随练 1.函数f(x)=2x x2+1的图象大致是() 01 B 01 通题型 解题能力构建 题型 判断函数的奇偶性 ■例1判断下列函数的奇偶性： (1)fx=x4+2x2: 2f1x=x2+1 (3)fx= 1-x x+2-2 (4)fx=Vx-1+/1-x. (5)f(x)=Vx2-1+V-x2 I例2(2026？重庆万州？三模)若y=fx,y=fgx分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则gx的 解析式可以为() 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.gx =x2-x B.gx=x+x C.gx=x+x D.gx=x4+x3 解题贴士 判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，不对称则非奇非偶；若对称，再验证「(~X) 与f(x)的关系：若f(-x)=f(x)则为偶函数，若f-x)=-f(x)则为奇函数。注意分段函数需在 各段上分别验证，且奇函数若在x=0有定义则必有f0)=0。若定义域对称且f(-x)与f(x)无 上述关系，则为非奇非偶函数。 1对点练11C225有=下6陕西酒南仓柴末》E知函徽fx片：，则X)足0 A.偶函数，且在(0，+∞)上是增函数B.奇函数，且在R上是增函数 C.偶函数，且在(O,+∞)上是减函数D.奇函数，且在R上是减函数 Ⅱ对点练1-2(25-26高一上河北唐山？期中)下列函数中是奇函数且是增函数的是() A.y= B.y=x3 C.y=xl D.y=x 题型 根据函数的奇偶性求参 I例1若函数fx=ax2+bx+1是-1+a,2a上的偶函数，则a+b的值为 1例2(25-26高一下6浙江杭州令期未)（多选）已知函数fX=Y-ax+1a∈R为奇函数，则 x-a () A.a=0 B.fx≥2 C.fx的图象关于原点对称 D.fx在区间0,1上单调递减 解题贴士 根据奇偶性求参，先确定定义域关于原点对称（列方程求参），再代入「~x=f(x)(偶) 或f(-x)=-f(x)(奇)恒成立，解方程得参数。注意奇函数若定义域含0，则必有f(0)=0(可作为 快速条件)。最终参数需代回验证定义域对称性及等式恒成立，排除增根。若含多个参数，需联立方 程组求解。 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-1(25-26高二下。湖南长沙期中)已知函数fx= X+2x,X≤0：为奇函数，则a+b ax2-bx,x>0. () A.-2 B.0 C.-3 D.-1 ■对点练1-2(25-26高一下。湖南长沙阶段检测)若函数fx=x-1+ax是偶函数，则实数a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 题型 根据奇偶性求函数解析式 1例1(25-26商一下o四川泸州◇期末)已知fx为奇函数，且当x>0时，fx=2-×,则f-1= () 3 A.2 B.-1 C.1 p.2 1例2已知定义域为R的函数fx是偶函数，定义域为R的函数gx是奇函数，且fx+gx=4x+4 4+x2,求 fx和gx的解析式 解题贴士 利用奇偶性求函数解析式，先根据定义域对称性确认奇偶性成立，再利用对称关系将未知区间上的自 变量转化到已知解析式的区间上，代入已知表达式变形。奇函数用f~x)=-fx),偶函数 用f(~x)=fx),最后将自变量换回原变量即可。 I对点练1-1设函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，fx=x2+2x,求fx的解析式 ■对点练1-2(2026？湖南株洲。一模)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，其定义域均为R,且 f(x)+g(x)=x(x+1),则f(1)-g1)=() A.0 B.2 C.-2 D.1 题型 判断抽象函数的奇偶性 ■例1(24-25高一上？广东深圳？期中)已知定义在-∞，0U0,+∞上的函数fx满足 va,b∈o,0u0,+o,f8fa-fb,且当x∈0,1l时，fxz0,则下列说法正确的是 () A.fx是奇函数但不是偶函数 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.fx是偶函数但不是奇函数 C.fx既是奇函数又是偶函数 D.fx既不是奇函数也不是偶函数 ■例2已知函数fx(x∈R,且x≠0)对任意不等于0的实数x1,x2都有fx1x2=fx1+fx2,则f引x 为() A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既为奇函数也为偶函数 解题贴士 判断抽象函数奇偶性，只能依据题目给出的函数方程（如「(x+y)=f(x)+「(y)进行推导。常用策 略是赋值法一一令变量取特殊值（如x=y=0、y=-x)得到f(0、f(-x)与fx)的关系，从而 判断奇偶性。注意需先验证定义域是否关于原点对称（若题目未说明，可先证）。若能得到 f(-x)=f(x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)则为奇函数。若推不出上述关系，则无法判断。 ■对点练1-1(25-26高一上？浙江宁波。期末)已知函数fx的定义域为R,则下列函数一定为奇函数的 是() A.f(x +f(-x) B.f(x)-f-x) C.flx2+f-x2) D.flx2-fl-x2) ■对点练1-2(25-26高二下？全国期末)（多选）已知fxgx为奇函数，fxgx为偶函数，且 fx),g(x均为非零函数，则() f(x A. 一为奇函数 B.fxgx为偶函数 9 C.fx为奇函数 D.gx为偶函数 题型 奇偶性与单调性解不等式 ■例1(25-26高二下？辽宁。期末)已知fx是定义在R上的偶函数，且在0，+∞上单调递增，则不等 式fx>f2的解集为() A.0,2 B.2,+∞ C.-2,2 D.-0,-2U2,+o 【例2(25-26高二下安徽合肥期末)已知函数fx)是定义在R上的偶函数，且在(-0∞，0]上单调递减， 若f(-)=3,则不等式f(x-1)≤3的解集为() A.[-2,0] B.[-1,1] C.[0,2] D.（-0,2] 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 奇偶性负责“化简形式”，单调性负责“脱去符号”。先利用奇偶性将不等式化为f(A)>f(B)的标 准形式（奇函数变号移项，偶函数取绝对值），再根据单调性脱去「：增函数方向不变，减函数方向 反转。注意偶函数需先比较|A|与丨B|(因为f(x)=f|x|)，且括号内表达式必须始终在 定义域内。最后联立定义域约束求交集。 1对点练1-1(25-26高一下？云南丽江期末)设奇函数fx的定义域为R,对任意的x1,x2∈-∞，0且 X1≠x2,都有不等式 f-X,f>0,且f-3=-3,则不等式x-4≤ X1-X2 x-4的解集是() A.1,+0 B.1,4U7,+o C.-00,7 D.-∞，-1U4,7 I对点练12(25-26高一-上。福建泉州9期中)已知函数fx=+也 a 1+x是定义在-1 上的奇函数、 (1)求函数fx的解析式： (2)判断函数fx在定义域上的单调性，并用定义加以证明： (3)解不等式： fx-1+fx2-1>0 题型 ● 奇偶性的应用 ■例1(25-26高一上海南省直辖县级单位阶段检测)若f(x)=3+a心 x2+2 (a为实数且a≠0)在其定义 域上有最大值为M,最小值为N则M+N=() A.4 B.6 C.8 D.10 Ⅱ例2(25-26高-上◇重庆◇期中)设函数fX=2025x-2+ -(x∈【-100,100])的最大值为M, x2+4 最小值为，则M+m= 解题贴士 通过奇偶性来找函数的对称关系，从而得出函数最大值与最小值关于某点对称，可得最大值与最小值 的中点。 1对点练11(25-26商-上0江西抚州0期中)已知函数f(X)=21+×+2。 2+1二的最大值为M,最小值 为m,则M+m= 8/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1对点练12(25-26高一上0河北石家庄6期中)若西数fK=3x.2K+1在区间l-2025,2025止的 x2+1 最小值为常数a,则其最大值为， 题型 奇偶性对函数图像的判断 Ⅱ例1(25-26高一下山东潍坊◇期中)函数y=X:1 的图象大致为() /0 4-x2 ■例2(25-26高一下？湖南益阳期中)函数y= 的图象大致为() B 20 2 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 奇偶性决定图像的对称性（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称），单调性决定图像的升降趋势 (增函数上升，减函数下降)。结合两者可快速画出函数简图：先利用奇偶性将定义域对称到正半轴 再根据单调性确定图像走势，最后利用对称性补全整个图像。若函数在对称区间上单调性相反（如偶 函数在y轴两侧增减相反)，图像呈“V”或“A”形：若单调性相同（奇函数两侧增减相同），图像呈 中心对称的上升或下降趋势。此方法常用于判断图像的大致形状或比较函数值大小。 ■对点练1-1(2025·天津高考真题)已知函数y=fx的图象如下，则fx的解析式可能为() A.f=i西 B.f) |x-1 c.f(x)=x 1-x D.f(x)=x x2-1 ■对点练1-2(25-26高一上·云南楚雄期末)已知函数y=fx的图像如图所示，则fx的解析式可能为 () A.flx)= 5+2x2 101-x0 B.fx=5+2x2 10x-1 cf因n D.fx)= 5x2-1 刷好题 课时巩固精炼 ●基础通关 ↓，（2526药-下6河南◇阶段检测）老面微fx26为奇医数，期0=() 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2026 B.0 C.1 D.2026 2. (2026?辽宁抚顺？模拟预测)已知函数fx=ax2+bx,x∈【-2a+1,1是偶函数， 则f 2 =() A C.2 D.4 3.(25-26高一上辽宁沈阳阶段检测)定义在R上的函数f引x,gx,并且满足[fx]3=gx2引，则 下列一定正确的是（) A.fx是奇函数 B.fx是偶函数 C.gx是奇函数 D.gx是偶函数 4.(25-26高一上？福建泉州。期中)若奇函数fx定义域为-0o,0U(0,+∞，在区间-0o,0上单调递 增且f2=0,则不等式x-1f引x<0的解集为() A.-2,0U1,2 B.-2,0U2,+o C.-o,-2U1,2 D.-00,-2U0,2 5.(2026河北沧州一模)己知定义在-3，]上的偶函数f(x),其部分图象如图所示，则f(x-1)≥0的 解集为() 1 A.[-2,-1小U[1,3] B.【-2,-[0,3] c.（-o,-U1,3] D.[-1,小[2,4] 6.(25-26高二下黑龙江哈尔滨期末)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是() A.y=x B.y=x2 C.y=x2 D.y=x' 7.(25-26高二下·湖南岳阳期末)已知函数y=∫(x)的定义域为R,且对于任意实数x,y,都有 f(+川=f()+f),若函数g()=+4+f x2+16 2在定义域内的最大值为M,最小值为m,则 M+m=() A.2 B.0 C.1 D.4 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-a,x>0 8.(25-26高二下·重庆期末) 已知函数f(x)= () a+b= A.2 B.1 C.0 D.-2 9.(25-26高二下吉林长春期末)已知y=f()是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f()=-x2+4x, 则x<0时，()的解析式为 10.(25-26高二下辽宁大连期末)设f(x)是定义在(-，+∞)上的偶函数，且在[0，+)上单调递减，则 不等式f(x+2)<f()的解集为() A.（-3,-1) B.（-0,-3) C.(-1,+o) D.(-0,-3)U(-1,+o) 素养提升 ↓。(2526高二下浙江宁波期末)已知函数/)=，则(） A.f()>2的解集为x<-1或x> B.f(x)为偶函数 C.-1<f(x)s1 D.x∈R,不等式f(2+9)sf(6x)恒成立 2.(24-25商-上福建厦门期+)已知函数1是定义在[-川上的奇函数。 ()用定义证明f(x)在[-山，上单调递增： (2)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0 3.(25-26高二下河北承德期末)已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，满足f(-1)=-1,当 -3<xs0时，f(x)=x+b x+3 (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)的解析式： 3)若f(3m-2)+f(2m-l)>0,求实数m的取值范围. 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(2526前二下河南商丘期末)已知腰数/()，是定义城为(2,2)的商西数。满足70-手 (1)求实数a,b的值： (2)求关于x的不等式f(2x-)+f()<0的解集。 了、(25,25商=下安微宿州期未)已知西数)-十+“是定义在R上的偶后数，且 f(-1)=0,f(0)=1 ()求函数f(x)的解析式： (2)判断f(x)在（∞，0上的单调性，并证明： 3)若f(3x)≥f(x2+2),求x的取值范围 13/13