4.3对数运算讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3、对数函数与对数运算 一、对数的定义：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数， 记作：，其中叫对数底数，叫做真数，是对数式 理解：对数式和指数式的关系 指数式和对数式）是同一种数量关系的两种不同表达式 【例1】指对转化（对数式理解不好，至少可以转化为指数式） （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【例2】解方程 （1） ； （2） （3） 多次尝试 二、常用对数和自然对数 常用对数：通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，并把记为 自然对数：通常把以无理数e为底的对数称称为自然对数，并把记为（） 三、对数的运算性质: 1、对数性质：； 2、对数恒等式（废话恒等式） 恒等式的意义：可以把任何数转化为任何数为底的指数 如：， 3、对数运算法则 （1）,(推导：令，； 所以， 如何出现？可以，所以） 推广：（） （2）、，(推导：令，； 所以， 如何出现？可以，所以） （3）、 （推导：） （4）常用公式： ① ② ③（M>0,n、p∈） 注意：①对数运算推导的基本方法：利用对数定义转化为指数问题，再利用幂的运算性质进行转化变形，然后还原为对数问题 ②对应每一条运算性质，只有当式子中的所有式子有意义时才成立 如错误 ③利用对数性质运算性质，可把乘、除、乘方、开方的运算转化成加、减、乘、除的运算，简化计算 ④逆用公式：可以把几个对数的和化成一个对数，有利于简化 【例3】（1）（四川理3） 解： （2）（重庆理13）已知的值 解： （3）（四川文13）计算 解： （4）计算 解： （5） 解： 四、换底公式：（我们之前学的都是同底数运算，那不同 底如何运算呢） （如：） 换底公式的意义：把不同底问题转化成同底问题进行化简和计算,通常化成以10为底的常用对数 几个特殊的换底公式：① ②(重要：真数和低数可同时乘方开方） ③ 【例4】计算 （1） 解： （2） 解：= （3）若，则 解：，； （4）若，则 解： ； （5）已知，且，则 解：令； ，所以，， （6）已知，则=_____ 解：，代入函数里 换底公式变形应用 已知，两个数互为倒数， 如果，则知道； ；又可得 ；又可得 也就是说如果知道一个对数，就可以得到一堆对数的值， 一般的形式：如知道，就可得到的值 【例5】已知，用表示=_______ 解：换底公式 【例6】（1）已知，，用表示 （2）已知，用表示 解：（1）（难点：） （2）（难点：） 【例7】已知，，则 解： 当时，， 当时，， 【例8】已知，且，求的值 解： 当时， 当时， 【例9】已知为正数，，且（1）求的值；（2）求证 解:（1） （2证明：令，所以，， ，证毕 【例10】甲乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得到根；乙写 错常数，得到根，求原方程的根 解：，设， 甲：，， 乙：，， 【例11】方程的解为_______ 解：，所以 解得， 因为 学科网（北京）股份有限公司 $$