带电粒子在电磁场中运动综合 讲义 -2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

带电粒子在电磁场中运动综合 --组合场、叠加场与交变电磁场 人教版物理选修二自制讲义 一、带电粒子在复合场中受力分析的前置条件 在分析带电粒子在复合场（电场、磁场、重力场并存或交替）中的运动时，受力分析的顺序通常依次为：重力、电场力、洛伦兹力、弹力、摩擦力。因此，首要任务是判断是否考虑重力。 1. 一般不考虑重力的情况 适用对象：微观粒子（如电子、质子、离子、α粒子等）。 判断依据：由于微观粒子的重力数量级远小于静电力或洛伦兹力，通常可忽略不计。 2. 必须考虑重力的情况 适用对象：宏观带电体（如带电小球、带电液滴、带电尘埃等）。 判断依据：宏观物体重力不可忽略，一般需要计入。 3. 根据题意与运动状态判断 若题目有明确说明，按要求处理。 若题目未明确说明，需结合运动状态判断。例如，当带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动时，必然存在 ，即必须考虑重力。 二、带电粒子在组合场中的运动 组合场指电场、磁场或重力场分别存在于不同空间区域。处理此类问题的核心技巧是分段法：按场区边界将运动过程切分，每一段单独进行受力分析和轨迹作图。边界处的速度是连接前后两段运动的桥梁。 1. 磁场与磁场的组合 运动性质：粒子在不同磁场区域内均做匀速圆周运动。 解题技巧： 1. 速度不变：洛伦兹力不做功，粒子经过边界时，速度大小保持不变。 2. 找圆心：在交界处，利用两侧轨迹圆的切线（即速度方向），分别作垂线确定各自的圆心。 3. 半径关系：，。结合几何关系寻找两轨迹圆在边界处的联系。 2. 先电场后磁场 电场中的加速：若初速度与电场线共线，使用动能定理 。 电场中的偏转（类平抛）： 1. 沿初速度方向：。 2. 垂直初速度方向：，。 3. 出电场速度：，速度偏转角 。 进入磁场：将出电场时的末速度大小 v和偏转角 θ作为进入磁场的初状态进行圆周运动分析。 3. 先磁场后电场 磁场中的偏转：确定粒子出磁场时的位置及速度方向。 进入电场：根据进入电场时的速度与电场线的夹角，判断粒子是做直线运动、类平抛运动还是一般的匀变速曲线运动，通常首选动能定理求解。 4. 多次进出电磁场（周期性运动） 解题技巧： 1. 精确作图：依据对称性，在草稿纸上完整画出多个周期的轨迹。 2. 寻找临界点：题目中“恰好”、“刚好”等词汇通常对应临界条件，如轨迹与边界相切。 3. 归纳规律：分析一次完整循环或一个周期内的位移、时间及速度变化，利用数学归纳法推导 n 次循环的结果。 三、带电粒子在叠加场中的运动 叠加场指电场、磁场、重力场并存于同一空间区域。解题关键在于明确受力特点与运动形式的对应关系。 运动性质 受力特点 方法与规律 匀速直线运动 粒子所受合力为 0 受力平衡方程（正交分解法） 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，其他力的合力为零（如） 洛伦兹力提供向心力，牛顿第二定律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 1. 叠加场中的匀速直线运动 受力特征：合力为零。 解题技巧：对粒子进行正交分解，列出水平与竖直方向的平衡方程。典型模型为速度选择器（）。 2. 叠加场中的匀速圆周运动 受力特征：重力与电场力平衡（），仅由洛伦兹力提供向心力。 解题技巧： 1. 首先利用平衡条件求出电场强度 E 或相关参数。 2. 利用 求解半径或速度。 3. 叠加场中的复杂曲线运动 受力特征：合力大小和方向不断变化，加速度不恒定。 解题技巧： 1. 因洛伦兹力是变力，运动学公式和牛顿第二定律不再适用。 2. 首选动能定理或能量守恒定律。洛伦兹力始终不做功，只有重力和电场力做功改变粒子的动能。 四、带电粒子在交变电磁场中的运动 交变电磁场通常表现为电场或磁场随时间作周期性变化。 解题技巧： 1. 时间分段：以电场或磁场的变化周期为基准，将运动过程划分为若干时间段。 2. 运动交替：明确粒子在不同时间段内的运动性质（如电场内的匀变速直线运动、磁场内的匀速圆周运动）。 3. 作轨迹图：结合初速度方向和各阶段受力情况，画出连续的运动轨迹。 4. 寻找对称与闭合条件：对于周期性往复运动，常需利用位移关系或速度矢量关系，建立方程求解。 五、核心解题技巧总结 1. 确定轨迹圆心的几何方法 圆心在速度的垂线上。 圆心在弦的中垂线上。 圆心在角平分线上（常用于圆形边界）。 2. 轨迹半径的求解途径 物理途径：。 几何途径：利用勾股定理、三角函数在直角三角形中求解。 3. 运动时间的计算方法 （ 为圆心角，需转化为弧度制）。 4. 边界对称性规律 直线边界：入射角等于出射角，轨迹关于边界对称。 圆形边界：若沿半径方向射入，必沿半径方向射出；若运动时间最长，则弦长对应磁场区域的直径。 六、注意事项 1. 边界处速度的传递：组合场问题中，务必明确上一阶段的末速度即为下一阶段的初速度。 2. 洛伦兹力做功问题：洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功，不改变动能，只改变速度方向。 3. 能量观点的应用：在叠加场的复杂曲线运动中，应优先应用动能定理或能量守恒定律求解。 4. 符号运算的规范性：在处理比荷和半径相关的代数推导时，先进行字母化简，再代入数据。 七、基础填空练习 第1题（受力分析前置条件） 研究电子在磁场中的运动时，一般______（填“考虑”或“不考虑”）重力；研究带电小球在竖直平面内的运动时，一般______（填“考虑”或“不考虑”）重力。 答案：不考虑；考虑 第2题（组合场速度桥梁） 一带电粒子先经电压为 的电场由静止加速，随后垂直进入磁感应强度为 的匀强磁场。粒子进入磁场时的速度大小为______；在磁场中做圆周运动的半径 ______；周期 ______。 答案：；； 第3题（叠加场运动形式） 在方向竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，一个带正电的油滴恰好做匀速圆周运动。这说明油滴所受的重力与______平衡，此时油滴的运动速度大小 ______（用 、 表示）。 答案：电场力； 第4题（叠加场复杂曲线运动） 带电粒子在既有重力场又有磁场的空间中运动，若其轨迹是一条复杂的曲线，在分析其动能变化时，通常使用______定理。因为洛伦兹力______，只有重力做正功，所以粒子的动能______（填“增加”、“减少”或“不变”）。 答案：动能；不做功；增加（假设向下运动） 第5题（临界条件与相切） 带电粒子从直线边界垂直进入匀强磁场，若磁场的宽度为 ，粒子恰好不能穿出磁场。这说明粒子的轨迹与边界______，此时粒子的轨迹半径 ______。 答案：相切； 八、模拟练习题 1．如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从点由静止释放，沿图中轨迹依次经过、两点，且点离虚线最远。已知磁感应强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为，点为零电势点，电子重力不计，则（　　） A．电子在点的速率为 B．点离虚线的距离为 C．电子在点的电势能为 D．、两点的距离为 【答案】C 【详解】方法一：配速法 电子在M点静止释放，可以看作电子分别以速度向左运动，以速度向右运动。 , 则电子的运动可以分解为以向左做匀速直线运动和在竖直面上的速度为的匀速圆周运动。 AB．点离虚线最远,则电子圆周运动速度方向同时水平向左，则电子在点的速率为 点离虚线的距离 故AB错误。 C．粒子从M点到N点，在电场方向上运动了d，则电势能为 故C正确。 D．粒子做圆周运动的周期 粒子从M点到P点，运动了两个圆周，则、两点的距离为 故D错误。 故选C。 方法二： AB．设电子在运动过程中的任意一点Q的速度为v，则该速度可以分解为水平速度vx和竖直速度vy，M点到Q点的竖直距离为d，我们选水平向左为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，对电子从M点到Q点用动能定理有 对电子从M点到Q点水平方向用动量定理有 则当Q点为N点时，有 联立以上数据解得 ， 故AB错误。 C．由以上分析得电子在N点的动能为 设电子在N点的电势能为，从M到N对电子用能量守恒定律得 则得N点电子的电势能为 C正确； D．如下图设P、M中间点为O点，对电子从M点到O点竖直方向用动量定理有 由图得电子的运动具有周期性，也可认为电子的运动为一个竖直平面的匀速圆周运动和一个水平方向的匀速直线运动的合运动。对于匀速圆周运动有 得运动周期为 即电子从M点到O点的运动时间为 所以 由周期性得、两点的距离为 故D错误。 故选C。 2．空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（　　） A．油滴a带负电，所带电量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【答案】ABD 【详解】A．油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有 解得 故A正确； B．根据洛伦兹力提供向心力 得 解得油滴a做圆周运动的速度大小为 故B正确； C．设小油滴Ⅰ的速度大小为，得 解得 周期为 故C错误； D．带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得 解得 由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 故选ABD。 3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）如图所示，在以点为圆心、半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带电粒子沿直径方向从点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹不可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．若粒子从点射入到从点射出圆形区域用时最短，则入射速率为 D．若粒子从点射入到从点射出圆形区域用时最短，则最短时间为 【答案】AD 【详解】A．粒子沿着半径射入磁场，经过磁场会发生偏转，并且再返回圆形区域也会发生偏转，则不会经过O点，故A正确； B．设粒子从任意出射点离开圆形区域，轨迹圆心为，则，，可得 由于入射速度，因此，故，即，又因为是轨迹半径，垂直于出射速度，因此出射速度平行于，即出射速度一定沿圆形区域半径方向，故B错误； C．由圆形磁场的对称性可知，粒子每次经过圆形磁场的两点间的弧长一定相等，若粒子从点射入到从点射出圆形区域用时最短，则轨迹将圆弧平均分成3等份，轨迹如图所示 由几何关系可得轨迹半径 洛伦兹力提供向心力得 解得，故C错误； D．轨迹所对圆心角为 则运动时间,故D正确。 故选AD。 4．如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，第三象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（    ） A． B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为 D．粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】ACD 【详解】A．设从坐标为（x，y）处射入的粒子，在电场中做类平抛运动，则 联立解得 选项A正确； BD．粒子从O点进入磁场时，水平速度 竖直速度 则速度方向与x轴负向夹角为 则当x越大，θ角越大，在磁场中运动的时间越短；当x=0时，θ=0，在磁场中运动的时间最长，最长时间为 当x=1m时，θ=45°，此时在磁场中运动的时间最短，最短时间 选项B错误，D正确； C．粒子进入磁场时的速度 则粒子在磁场中运动的半径为 则粒子从y轴射出时出射点距离O点的距离 即所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为，选项C正确。 故选ACD。 学科网（北京）股份有限公司 $