培优专题8带电粒子在交变电磁场中的运动 讲义-2025-2026学年高二下学期物理选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二 第一章 安培力与洛伦兹力 培优专题8 带电粒子在交变电磁场中的运动 学习目标 1. 知道交变电磁场的概念。 2. 能够分析带电粒子在交变电磁场中的运动问题。 3.能分析带电粒子在交变电磁场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。 能力提升1　带电粒子在交变电场中的运动 1.带电粒子在交变电场中三种常见运动 （1）粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律及运动学公式求解）。 （2）粒子做往返运动（一般分段研究）。 （3）粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。 2.两条分析思路 （1）利用力和运动的关系：根据牛顿第二定律及运动学规律分析。 （2）利用能量关系：根据动能定理、功能关系、能量守恒定律等规律分析。 3.解题技巧 （1）按周期性分段研究。 （2）将 【典例剖析】 【典例1】（2025·山东淄博期末）匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（　　） A.带电粒子将始终向同一个方向运动 B.3 s末带电粒子回到原出发点 C.3 s末带电粒子的速度不为零 D.前3 s内，静电力做的总功为零 【典例2】（2025·贵州贵阳一模）如图甲，水平放置长为l的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强度大小为E0，其方向随时间变化的规律如图乙所示，其余区域的电场忽略不计。质量为m、电荷量为q的带电粒子任意时刻沿金属板中心线OO'射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期T相同，不计粒子重力，则（　　） A.金属板间距离的最小值为 B.金属板间距离的最小值为 C.粒子到达竖直挡板时的速率都大于 D.粒子到达竖直挡板时的速率都等于 能力提升2　带电粒子在交变磁场中的运动 1.带电粒子在交变磁场中的运动的常见类型 （1）磁场周期性变化、电场不变。 （2）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 【典例剖析】 【典例1】如图甲所示，在坐标系xOy中，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场、电场强度大小为E；y轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场，磁感应强度大小为B0，以磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，从x轴上的P点无初速度释放一带正电的粒子，粒子（重力不计）的质量为m、电荷量为q，粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等，且粒子第一次在磁场中做圆周运动的轨迹为半圆。求： （1）P点到O点的距离； （2）粒子经一个周期沿y轴发生的位移大小。 【典例2】如图（a）所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图（b）所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向.t＝0时刻，带负电粒子P（重力不计）由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动.v0、E0和t0为已知量，图（b）中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为.求： （1）粒子P的比荷； （2）t＝2t0时刻粒子P的位置； （3）带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L. 课堂巩固训练 1.（2024·广东高考15题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v； （3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 2. 如图甲所示，竖直边界分别为PM和QN的区域宽度为4L，其内部分布着垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场，电场随时间变化的关系如图乙所示，E＞0表示电场方向竖直向上.在t＝0时，一带电荷量为＋q、质量为m的带电微粒从边界P上的A点处水平射入该区域，先沿直线运动到某点，再经历一次完整的半径为L的匀速圆周运动，最后沿直线运动从边界QN上的B点处离开该区域，重力加速度为g.求： （1）图乙中的E0； （2）微粒刚进入磁场时的速度v0的大小及磁场的磁感应强度的大小B； （3）电场变化周期T的范围. 3. 在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示.一个质量为m、所带电荷量为＋q的粒子（不计重力）在t＝0时刻沿Oc边从O点射入磁场中.已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定磁场向外的方向为正方向. （1）求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0. （2）若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值. （3）要使带电粒子正好从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时速度的大小v0. 4. 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求： （1）在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离； （2）荧光屏上有电子打到的区间长度。 5. （2024湖南名校联合体第四次联考） 如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场，在y轴的右侧与平行于y轴的屏之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场I，磁场的磁感应强度大小为B0，在电场中坐标为（L，0.5L）的P点，以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出一质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子刚好从坐标原点O进入磁场并恰好打在屏上的Q点，Q点在x轴上。粒子重力不计。求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）y轴到屏间的距离为多少； （3）若在磁场I中再加一个匀强磁场II，磁场II的方向垂直于坐标平面向里，其大小随时间变化如图乙所示，，若粒子从P点射出后在t=0时刻进入磁场，则粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离为多少。 6．（16分）(2024海南高考模拟6)如图1所示，在平面直角坐标系的第二象限内存在着沿轴正方向的匀强电场，在第一象限，边长为的正方形区域内存在着垂直于平面的匀强磁场，规定磁场垂直平面向里为正方向。将一带负电的粒子从点以一定的初速度射入电场，然后从点以速度沿着轴正方向进入磁场，此时磁场从时刻开始变化，磁感应强度大小按图2所示做周期性变化（未知），粒子恰好在时刻沿轴正向到达图中的点，不计粒子的重力。 （1）求粒子从点射入时的速度； （2）求粒子在磁场中的运动时间； （3）若大小不变，将周期变为，求粒子离开磁场时的纵坐标． 7. （2024福建漳州第二次质检）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向内为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律如图乙，E随时间t的变化规律如图丙。时，一带正电的粒子从坐标原点O以初速度沿y轴负方向开始运动。已知、、，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T； （2）求时，粒子的位置坐标； （3）在内，若粒子的最大速度是，求与的比值。 8. （2024黑龙江重点高中3月质检）如图甲所示，在直角坐标系区域内有沿轴正方向的匀强电场，右侧有个以点(3L，0)为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与轴的交点分别为M、N.现有一质量为 m，带电量为e的电子，从轴上的A点以速度沿轴正方向射入电场，电场强度E =,飞出电场后恰能从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力.求: （1）电子进入圆形区域时的速度方向与轴正方向的夹角; （2）A点坐标; （3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸 面向外为磁场正方向），最后电子从N点处飞出.速度方向与进入磁场时的速度方向相同.求：磁感应强度大小、磁场变化周期T各应满足的关系表达式. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二 第一章 安培力与洛伦兹力 培优专题8 带电粒子在交变电磁场中的运动 学习目标 1. 知道交变电磁场的概念。 2. 能够分析带电粒子在交变电磁场中的运动问题。 3.能分析带电粒子在交变电磁场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。 能力提升1　带电粒子在交变电场中的运动 1.带电粒子在交变电场中三种常见运动 （1）粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律及运动学公式求解）。 （2）粒子做往返运动（一般分段研究）。 （3）粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。 2.两条分析思路 （1）利用力和运动的关系：根据牛顿第二定律及运动学规律分析。 （2）利用能量关系：根据动能定理、功能关系、能量守恒定律等规律分析。 3.解题技巧 （1）按周期性分段研究。 （2）将 【典例剖析】 【典例1】（2025·山东淄博期末）匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（　　） A.带电粒子将始终向同一个方向运动 B.3 s末带电粒子回到原出发点 C.3 s末带电粒子的速度不为零 D.前3 s内，静电力做的总功为零 答案：AD 解析：带电粒子由静止释放后，在0～2 s时间内，由牛顿第二定律可知粒子的加速度大小为a1＝，在2～3 s时间内，粒子的加速度大小为a2＝，可知粒子由静止先以a1加速2 s，再以a2减速1 s，由于a2＝2a1，可知此时粒子速度是零，同理在3～5 s时间内由静止又以a1加速2 s，再以a2减速1 s，此时粒子速度是零，因此粒子在0～6 s时间内，带电粒子将始终向同一个方向运动，其速度—时间图像如图所示，A正确；由带电粒子的速度—时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3 s末带电粒子回不到原出发点，B错误；由带电粒子的速度—时间图像可知，3 s末带电粒子的速度是零，C错误；在前3 s内，由动能定理可知W＝ΔEk＝0，前3 s内，静电力做的总功是零，D正确。 【典例2】（2025·贵州贵阳一模）如图甲，水平放置长为l的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强度大小为E0，其方向随时间变化的规律如图乙所示，其余区域的电场忽略不计。质量为m、电荷量为q的带电粒子任意时刻沿金属板中心线OO'射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期T相同，不计粒子重力，则（　　） A.金属板间距离的最小值为 B.金属板间距离的最小值为 C.粒子到达竖直挡板时的速率都大于 D.粒子到达竖直挡板时的速率都等于 答案：AD 解析：在t＝T（n＝0，1，2，…）时刻进入电场的粒子在电场中的竖直位移最大，粒子在电场中运动的时间为T，则粒子在竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，由对称性可知y＝2×a＝，金属板间距离的最小值d＝2y＝，A正确，B错误；粒子出电场时的水平速度v0＝，粒子在竖直方向运动的v-t图像如图所示，在t＝t0时刻进入电场的粒子，在t＝T＋t0时刻出电场时竖直方向的速度再次减为0，粒子出电场后做匀速直线运动，则粒子到达竖直挡板时的速率等于，C错误，D正确。 能力提升2　带电粒子在交变磁场中的运动 1.带电粒子在交变磁场中的运动的常见类型 （1）磁场周期性变化、电场不变。 （2）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 【典例剖析】 【典例1】如图甲所示，在坐标系xOy中，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场、电场强度大小为E；y轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场，磁感应强度大小为B0，以磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，从x轴上的P点无初速度释放一带正电的粒子，粒子（重力不计）的质量为m、电荷量为q，粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等，且粒子第一次在磁场中做圆周运动的轨迹为半圆。求： （1）P点到O点的距离； （2）粒子经一个周期沿y轴发生的位移大小。 答案：（1）　（2） 解析：（1）设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为t0，则t0＝，Eq＝ma 设O、P间距离为x，则x＝a， 联立解得x＝。 （2） 如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为R1和R2，R1＝，R2＝， 又由动能定理得Eqx＝m， 设粒子经一个周期沿y轴向下移动Δy，则Δy＝2R2－2R1＝。 【典例2】如图（a）所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图（b）所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向.t＝0时刻，带负电粒子P（重力不计）由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动.v0、E0和t0为已知量，图（b）中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为.求： （1）粒子P的比荷； （2）t＝2t0时刻粒子P的位置； （3）带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L. 答案　（1）　（2）（v0t0，0）　（3）v0t0 解析　（1）0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆 周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨迹半径R，即R＝　① 又qv0B0＝m　② 代入＝，解得＝　③ （2）设粒子P在磁场中运动的周期为T，则 T＝　④ 联立①④解得T＝4t0　⑤ 即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0　⑥ y1＝a　⑦ 其中加速度a＝ 由③⑦解得y1＝，因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为（v0t0，0） （3）分析知，粒子P在2t0～3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，水平位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L即O、d间的距离，L＝2R＋2x1　⑧ 解得L＝v0t0. 课堂巩固训练 1.（2024·广东高考15题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v； （3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 答案：（1）正电　　（2）　π　 （3） 解析：（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0，根据T＝ 则粒子所带的电荷量q＝。 （2）若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时，有＝vt0出电场时竖直速度为零，则竖直方向，有y＝2××（0.5t0）2 在磁场中时，由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m 其中的y＝2r＝ 联立解得v＝π，D＝。 （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离D＝3r 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始在金属板左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内金属板间电场力做功，则 W＝mv2＋Eq×＝＋＝。 2. 如图甲所示，竖直边界分别为PM和QN的区域宽度为4L，其内部分布着垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场，电场随时间变化的关系如图乙所示，E＞0表示电场方向竖直向上.在t＝0时，一带电荷量为＋q、质量为m的带电微粒从边界P上的A点处水平射入该区域，先沿直线运动到某点，再经历一次完整的半径为L的匀速圆周运动，最后沿直线运动从边界QN上的B点处离开该区域，重力加速度为g.求： （1）图乙中的E0； （2）微粒刚进入磁场时的速度v0的大小及磁场的磁感应强度的大小B； （3）电场变化周期T的范围. 答案　（1）　（2）　　（3）（1＋π）≤T≤（＋π） 解析　（1）由带电微粒做匀速圆周运动可得qE0＝mg 解得E0＝ （2）由带电微粒做直线运动可知Bqv0＝mg＋qE0 由带电微粒做匀速圆周运动可得Bqv0＝m 由上述两式解得v0＝ B＝ （3）①如图a所示，当O点为AB中点时，所对应的周期为最小周期 设带电微粒从A点处运动至O点处所需要的时间为t1 t1＝＝＝ 设带电微粒做匀速圆周运动的周期为t2 t2＝＝π 则最小周期Tmin＝t1＋t2＝（1＋π）. ②如图b所示，当圆轨迹与右边界QN相切时，所对应的周期为最大周期 设带电微粒从A点处运动至O点处所需要的时间为t'1 t'1＝＝＝ 设微粒做匀速圆周运动的周期为t'2，t'2＝＝π 则最大周期Tmax＝t'1＋t'2＝（＋π） 综上所述，电场变化周期T的范围是 （1＋π）≤T≤（＋π）. 3. 在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示.一个质量为m、所带电荷量为＋q的粒子（不计重力）在t＝0时刻沿Oc边从O点射入磁场中.已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定磁场向外的方向为正方向. （1）求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0. （2）若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值. （3）要使带电粒子正好从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时速度的大小v0. 答案　（1）　（2）　（3）　（n＝2，4，6，…） 解析　（1）由qvB0＝m，T0＝，解得T0＝ （2）如图甲所示为带电粒子不能从Oa边界射出磁场的临界情况，由几何关系可知sinα＝，解得α＝30° 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150°，运动时间为 t＝T0＝ 而t＝，所以磁感应强度的变化周期T的最大值为 （3）如图乙所示为带电粒子正好从b点沿着ab方向射出磁场的一种情况.在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为2β，其中β＝45°，即＝ 所以磁场变化的周期为T＝ 弦OM的长度为s＝（n＝2，4，6，…） 带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R＝＝ 由qv0B0＝m，解得v0＝（n＝2，4，6，…）. 4. 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长L＝10 cm，极板间距d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势差随时间变化的图像如图乙所示。每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板的过程中电压是不变的。求： （1）在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离； （2）荧光屏上有电子打到的区间长度。 答案：（1）13.5 cm　（2）30 cm 解析：（1）设电子经电压U0加速后的速度为v0，根据动能定理得eU0＝m， 设电容器间偏转电场的电场强度为E，则有E＝， 设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y，则沿中心轴线方向有t＝， 垂直中心轴线方向有a＝， 联立解得y＝at2＝＝， 设电子通过偏转电场过程中产生的侧向速度为vy，偏转角为θ， 则电子通过偏转电场时有vy＝at，tan θ＝， 则电子在荧光屏上偏离O点的距离为Y＝y＋Ltan θ＝， 由题图乙知t＝0.06 s时刻，U＝1.8U0， 解得Y＝13.5 cm。 （2） 由题意知电子偏移量y的最大值为，根据y＝可知， 当偏转电压超过2U0时，电子就打不到荧光屏上了，所以代入U＝2U0得Ymax＝， 所以荧光屏上电子能打到的区间长度为2Ymax＝3L＝30 cm。 5. （2024湖南名校联合体第四次联考） 如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场，在y轴的右侧与平行于y轴的屏之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场I，磁场的磁感应强度大小为B0，在电场中坐标为（L，0.5L）的P点，以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出一质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子刚好从坐标原点O进入磁场并恰好打在屏上的Q点，Q点在x轴上。粒子重力不计。求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）y轴到屏间的距离为多少； （3）若在磁场I中再加一个匀强磁场II，磁场II的方向垂直于坐标平面向里，其大小随时间变化如图乙所示，，若粒子从P点射出后在t=0时刻进入磁场，则粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离为多少。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设匀强电场的电场强度大小为E，粒子在电场中做类平抛运动，则 根据牛顿第二定律 解得 （2）由 解得 则粒子进磁场时的速度大小 方向与y轴正向的夹角为，则 故 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律 根据几何关系 解得 （3）粒子在磁场I中做圆周运动的周期 则 在到时间内，合磁场方向垂直于坐标平面向里，磁场的磁感应强度大小为2B0，粒子做圆周运动的半径 粒子做圆周运动周期 则 根据几何关系可知，在时刻，粒子离x轴的距离为 离屏的距离为 从至时间内，粒子沿y轴正向运动的距离 解得 因此粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离 6．（16分）(2024海南高考模拟6)如图1所示，在平面直角坐标系的第二象限内存在着沿轴正方向的匀强电场，在第一象限，边长为的正方形区域内存在着垂直于平面的匀强磁场，规定磁场垂直平面向里为正方向。将一带负电的粒子从点以一定的初速度射入电场，然后从点以速度沿着轴正方向进入磁场，此时磁场从时刻开始变化，磁感应强度大小按图2所示做周期性变化（未知），粒子恰好在时刻沿轴正向到达图中的点，不计粒子的重力。 （1）求粒子从点射入时的速度； （2）求粒子在磁场中的运动时间； （3）若大小不变，将周期变为，求粒子离开磁场时的纵坐标． 思路点拨 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的知识求得粒子从d点射放时的速度； （2）由几何关系求得粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角，进而求得粒子在磁场中的偏转时间； （3）由题意知，求得粒子在时间内的运动轨迹所对应的圆心角及沿轴正向的位移，根据对称性，可知粒子在磁场中运动了3个周期，由几何关系可求得粒子离开磁场时的纵坐标。 【名师解析】（1）将粒子在电场中的运动等效为逆向的类平抛运动，可知粒子沿轴方向做匀速直线运动，有 沿轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，设粒子在点时竖直方向的速度大小为，有 联立可得 则粒子从点射入时的速度大小 设粒子在点时速度方向与水平方向的夹角为，则 即入射方向与轴正方向的夹角为。 （2）粒子恰好在时到达点，则粒子的运动轨迹如图1所示，可知两段圆弧对称，设两段圆弧的圆心连线与轴的夹角为，圆弧的半径为，由几何关系可知 图1 联立解得 由几何关系可知每段圆弧对应的圆心角为。 则粒子在磁场中的运动时间 （3）粒子在磁场中的轨道半径为，由于，则 由第（2）问知，经过，粒子偏转的圆心角为，故经过时间，粒子偏转的圆心角为 粒子在时间内沿轴正向运动的位移 根据对称性可知粒子经过3个周期到达边界，作出粒子的运动轨迹如图2所示，由几何关系可知，粒子离开磁场时的纵坐标为 图2 解得 7. （2024福建漳州第二次质检）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向内为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律如图乙，E随时间t的变化规律如图丙。时，一带正电的粒子从坐标原点O以初速度沿y轴负方向开始运动。已知、、，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T； （2）求时，粒子的位置坐标； （3）在内，若粒子的最大速度是，求与的比值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期 （2）内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有 解得 由（1）问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期 则粒子在内运动了半周期恰好又回到x轴，速度方向沿y轴正方向 即此时粒子位置的坐标为 （3）内粒子的运动轨迹如图所示，在内，粒子受到沿x轴正方向电场力的作用，粒子做类平抛运动，粒子在x方向做匀加速运动 当时，粒子具有最大速度，粒子沿x轴方向的分速度为 沿y轴方向的分速度为 则 解得 ‍ 8. （2024黑龙江重点高中3月质检）如图甲所示，在直角坐标系区域内有沿轴正方向的匀强电场，右侧有个以点(3L，0)为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与轴的交点分别为M、N.现有一质量为 m，带电量为e的电子，从轴上的A点以速度沿轴正方向射入电场，电场强度E =,飞出电场后恰能从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力.求: （1）电子进入圆形区域时的速度方向与轴正方向的夹角; （2）A点坐标; （3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸 面向外为磁场正方向），最后电子从N点处飞出.速度方向与进入磁场时的速度方向相同.求：磁感应强度大小、磁场变化周期T各应满足的关系表达式. 【答案】（1） ；（2）（0，） ；（3） （n=1，2，3…） 【解析】 （1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时： 水平方向： 竖直方向： 速度方向与x轴正方向的夹角： 可以得到： （2）电子在电场中运动，竖直方向位移： 电子匀速运动，则有： 总位移： A点坐标（0，） （3）电子在磁场中最简单的情景如图所示： 在磁场变化的前三分之一个周期内，电子的偏转角为60°，设电子运动的轨道半径为r，运动的T0，粒子在x轴方向上的位移恰好等于r； 在磁场变化后三分之二个周期内，因磁感应强度减半，电子运动周期，故粒子的偏转角度仍为60°，电子运动的轨道半径变为2r，粒子在x轴方向上的位移恰好等于2r，综合上述分析，则电子能到达N点且速度符合要求的空间条件是： 在磁场中，洛伦兹力提供向心力： 解得： （n=1，2，3…） 应满足的时间条件为： 而：， 解得： （n=1，2，3…） 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