精品解析：陕西渭南市瑞泉中学2026-2027学年度上学期第二次教学质量检测高三数学试题

瑞泉中学2026-2027学年度上学期第二次教学质量检测 高三数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若正实数a，b满足．则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 8. 已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点且三个零点的和为0 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数是偶函数 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，则的共轭复数____________． 13. 已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围______． 14. 已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求实数的值： （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 16. 已知是奇函数． （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若D为AC边上一点，且满足，，，求BD． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞泉中学2026-2027学年度上学期第二次教学质量检测 高三数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】因为全称命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数的性质求解集合，，再由集合交集的运算即可求解. 【详解】因为集合，所以，所以集合， 因为，所以， 解得，即，所以. 3. 若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图象变化的规律求解即可. 【详解】的图象向右平移个单位得到， 再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到 4. 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性，可得，再由赋值法可得答案. 【详解】因是定义在上的偶函数，则，又满足． 则，令，得. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， ，故有. 6. 已知函数，若正实数a，b满足．则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】因为函数，则，则， 则，所以为奇函数，为减函数，则为增函数， 则函数在上单调递增，由奇函数的性质可得， 所以，因为函数在上单调递增，所以，则，即， 所以 因为，当且仅当时， 即，时，等号成立， 故， 故的最小值是. 7. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 8. 已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，对函数求导并利用导函数符号以及函数奇偶性得出函数的单调性，将不等式变形利用其单调性解不等式即可. 【详解】可知函数为奇函数， 令，则， 当时，，即，也即； 可知函数在时单调递减， 且满足，因此可得为奇函数， 根据奇函数性质可知在上单调递减， 由可得， 即，因此，解得； 因此的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】使用不等式的性质分析选项ACD，通过换元法，判断函数的单调性分析选项D. 【详解】举反例，当，时，，选项A错误； 若，则，充分性成立； 若，则，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，选项B正确； 若，，则，选项C错误； 若，令 ，， 取任意，， 因为，，所以， 则在上是增函数，的最小值为， 则的最小值为，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点且三个零点的和为0 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；计算可判断B；根据函数的单调性结合零点存在定理以及设这3个零点为，利用，求得零点和，判断C；根据导数的几何意义可判断D. 【详解】因为函数，所以， 令， 当或时，，在上都单调递增， 当时，，在上单调递减， 故为函数的极大值点，为函数的极小值点， 即有两个极值点，A正确； 因为， 故点是曲线的对称中心，B正确； 由A可知有两个极值点，且， ， 结合的单调性可知函数在各有一个零点， 即函数有3个零点； 由于，故之间的零点处于内， 不妨设这3个零点为，且， 满足， 即 ， 故，C正确； 不妨设直线是曲线的切线，则满足， 则，即切点坐标为， 而， 说明假设不成立，即直线不是曲线的切线，D错误， 故选：ABC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数为偶函数可得的图象关于直线对称；对于B，验证即可；对于C，由，两边求导，经过变形后得到，于是；对于D，根据已知条件推导得到，求和即得到. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称. A正确 对于B，设，则， 所以函数是偶函数. B正确 对于C， 因为，两边求导可得，即， 令，则，解得. C错误. 对于D，由，两边求导可得， 即，结合，可得， 又因为，令，，解得， 结合，可得， 所以，D正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，则的共轭复数____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则化简复数，再由共轭复数的定义求解. 【详解】因为，所以. 13. 已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的单调性，分别求解，则，以及，则，即可求解的取值. 【详解】时，，此时无零点，则无实数根，，则， 故或， 当时，，此时无零点，则无实数根， 由于，则，故，因此 综上要使在R上没有零点，则或， 故答案为：或 14. 已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式可得，利用导数判断函数在上的单调性，结合函数性质将条件转化为恒成立，即可求解. 【详解】已知，先推导关系式，， 原不等式变形， ， 在上单调递减，由单调性脱去，得， 对任意恒成立，分离参数， 设，求导， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求实数的值： （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由题意，建立方程求解a，然后代入验证即可； （2）根据条件，将问题转化成对任意的恒成立，求解的最小值即可求解. 【小问1详解】 因为，又是的极值点， 所以，即，解得， 当时，， 当时，；当时 所以是函数的极值点，故满足题意. 【小问2详解】 因为在上是增函数， 所以对任意，恒成立，即，， 即对任意的恒成立， 又易知在上是增函数，当时，， 所以要使对任意的恒成立，即. 当时，恒成立，当且仅当时取等号，所以满足题意， 综上，实数的取值范围. 16. 已知是奇函数． （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可得，即可求其定义域； （2）根据对数型复合函数求其单调性在上单调递增，，然后利用单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以恒成立， 所以，即， 所以，即，因为，所以， ，，解得， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 函数， 因在上单调递增，为增函数， 由复合函数定义可得在上单调递增， 因为， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若D为AC边上一点，且满足，，，求BD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）解法一：由平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解； 解法二：由余弦定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 所以，， 在△ABC中，，所以，又因为， 所以． 【小问2详解】 解法一；因为，所以， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以． 解法二；因为△ABC中，，，， 由余弦定理得，， 所以， 因为，所以，， 在△ABD中，， 在△BCD中，， 因为，所以， 所以， 所以， 解得． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为 平面，平面，所以平面. （2）由平面，平面，因此. 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. （3） 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 结合可得各点坐标： ，，，， 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为，，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则  ， 因此二面角的正弦值为 .​​ 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2）当，在内单调递增， 当，在内单调递减，在内单调递增； （3）当时，， 设，则， 设，， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）求出函数的导数，对的取值讨论，进而分析函数单调性； （3）利用导数研究函数单调性与极值，结合极值点取值范围证明即可. 【小问1详解】 由题得当时， ，斜率 又因切点坐标为 所求切线方程为（或） 【小问2详解】 由题可得， 因为，则， 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增； 综上，当，在内单调递增， 当，在内单调递减，在内单调递增； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $