第三章 圆锥曲线的方程单元检测卷（三）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷（三） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．无数多个 2．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点，则弦长 为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．若直线 的斜率与双曲线 （，）的渐近线的斜率相同，且 不经过中心，则直线 与该双曲线的公共点个数为（　　） A． B． C． D．与 的位置有关 5．抛物线 上横坐标为 的点到焦点 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．若椭圆 （）的离心率 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．点 是双曲线 右支上一点，、 分别为左、右焦点，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．若直线 与椭圆 交于 、 两点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则下列结论正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．当 时，直线与椭圆相离 C．直线与椭圆一定有两个公共点 D．当 时，弦长 10．已知 、 是抛物线 上的两点， 为抛物线的焦点，弦 经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D．若直线 的倾斜角为 ，则 11．设双曲线 的左、右焦点分别为 、，则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的渐近线方程为 B．过焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线同一支于 、 两点，则 C．双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为 D．过焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 两点，则 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．抛物线 ，过焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点，则 ＿＿＿＿＿＿． 14．过双曲线 的右焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 两点，则 ＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 、 两点． 图1 （1）求弦 的长； （2）求 （ 为坐标原点）的面积； （3）求线段 的中点 的坐标及 ． 16．（15 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）求 的周长； （2）求弦 长的最小值与最大值； （3）当 的面积最大时，求直线 的倾斜角． 17．（15 分）已知双曲线 ，直线 ． （1）若 且直线 与双曲线 相切，求实数 的值； （2）若直线 与双曲线 的右支交于两个不同的点，求 、 满足的条件； （3）若直线 与双曲线 的左支交于两个不同的点，求 、 满足的条件． 18．（17 分）已知椭圆 （）经过点 、 两点． 图2 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率； （3）在（2）的条件下，求弦 的长． 19．（17 分）已知椭圆 ， 为坐标原点，过椭圆内一点 的直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）求证：直线 与椭圆 必有两个不同的交点； （2）当直线 的斜率 时，求 的面积 ； （3）求 面积 的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷（三） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A． B． C． D．无数多个 2．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点，则弦长 为（　　） A． B． C． D． 3．椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．若直线 的斜率与双曲线 （，）的渐近线的斜率相同，且 不经过中心，则直线 与该双曲线的公共点个数为（　　） A． B． C． D．与 的位置有关 5．抛物线 上横坐标为 的点到焦点 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．若椭圆 （）的离心率 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．点 是双曲线 右支上一点，、 分别为左、右焦点，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．若直线 与椭圆 交于 、 两点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则下列结论正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．当 时，直线与椭圆相离 C．直线与椭圆一定有两个公共点 D．当 时，弦长 10．已知 、 是抛物线 上的两点， 为抛物线的焦点，弦 经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D．若直线 的倾斜角为 ，则 11．设双曲线 的左、右焦点分别为 、，则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的渐近线方程为 B．过焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线同一支于 、 两点，则 C．双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为 D．过焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 两点，则 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．抛物线 ，过焦点 且斜率为 的直线与抛物线交于 、 两点，则 ＿＿＿＿＿＿． 14．过双曲线 的右焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 两点，则 ＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 、 两点． 图1 （1）求弦 的长； （2）求 （ 为坐标原点）的面积； （3）求线段 的中点 的坐标及 ． 16．（15 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）求 的周长； （2）求弦 长的最小值与最大值； （3）当 的面积最大时，求直线 的倾斜角． 17．（15 分）已知双曲线 ，直线 ． （1）若 且直线 与双曲线 相切，求实数 的值； （2）若直线 与双曲线 的右支交于两个不同的点，求 、 满足的条件； （3）若直线 与双曲线 的左支交于两个不同的点，求 、 满足的条件． 18．（17 分）已知椭圆 （）经过点 、 两点． 图2 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率； （3）在（2）的条件下，求弦 的长． 19．（17 分）已知椭圆 ， 为坐标原点，过椭圆内一点 的直线 与椭圆 交于 、 两点． （1）求证：直线 与椭圆 必有两个不同的交点； （2）当直线 的斜率 时，求 的面积 ； （3）求 面积 的最大值． 参考答案与解析 1．【答案】B　【解析】联立 得 ，即 ，．方程有两个相等实根，故直线与抛物线相切，公共点个数为 ．判断直线与圆锥曲线的公共点个数，一看联立后方程的实根个数． 2．【答案】B　【解析】抛物线 中 ，焦点 ，直线斜率 ，则 （ 为倾斜角）．弦长 ．也可联立 得 ，． 3．【答案】A　【解析】设 、，则 ，，两式相减得 ，两边同除以 ，得 ．由中点坐标 ，，代入得 ，故 ．（该关系即中点弦公式 ） 4．【答案】B　【解析】设 （），代入 得 ，展开后 项系数为 ，方程退化为一次方程，有且仅有一个实根，故直线与双曲线恰好有一个公共点．若 ，则该直线就是渐近线，与双曲线没有公共点，题设已排除． 5．【答案】C　【解析】抛物线 中 ，准线为 ，焦点 ．设该点横坐标为 ，由定义它到焦点的距离等于到准线的距离 ． 6．【答案】B　【解析】由 ，得 ，故 ． 7．【答案】A　【解析】双曲线中 ，点 在右支上，由定义 ，故 ．检验：右支上点到右焦点距离 ， 在其范围内，且 相应范围，成立． 8．【答案】B　【解析】直线 恒过定点 ，而 ，即该定点在椭圆内部，故过椭圆内一点的直线必与椭圆交于两点， 可取任意实数．也可由联立后 恒成立得到． 9．【答案】ABD　【解析】直线 恒过 ，A 正确； 时为 ，代入椭圆方程得 ，直线在椭圆外，与椭圆相离，B 正确；联立得 ，，需 时才有两个公共点，C 错误； 时 ，，D 正确． 10．【答案】ABC　【解析】设 、，直线过焦点 ，设 ，代入 得 ，故 ，，A、B 正确；又 ，所以 ，得 ，当弦垂直于对称轴时取等号，C 正确；倾斜角为 时 ，D 错误． 11．【答案】ABC　【解析】，，渐近线为 ，A 正确；焦点 ，令 ，得 ，，B 正确、D 错误；由定义距离之差的绝对值为 ，C 正确． 12．【答案】　【解析】设弦 的斜率为 ，中点为 ，则 ．由点差法得 ，故 ，直线方程为 ，即 ． 13．【答案】　【解析】抛物线 中 ，焦点 ，直线斜率 ，倾斜角 满足 ，故 ． 14．【答案】　【解析】双曲线中 ，，右焦点为 ，直线 代入得 ，故 （即通径长 ）． 15．（13 分）【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）联立 得 ，整理得 ．设 、，则 ，，故 ．（4 分） （2），由 得 ，故 ．（也可先求原点至直线距离 ，）（4 分） （3），，即 ，．（5 分） 【评分说明】（2）用 时注意绝对值和符号；也可用距离公式避免符号错误；（1）中弦长公式须指明 为直线斜率． 16．（15 分）【答案】（1）；（2）最小值 ，最大值 ；（3） 【解析】（1），， 的周长为 ．（3 分） （2）设直线 的倾斜角为 ，过焦点的弦长公式为 ．由 得 ，当 （弦垂直于长轴）时取最小值 （即通径长 ），当 （弦为长轴）时取最大值 ．（7 分） （3），当点 为短轴端点 时取等号．此时直线 的斜率 ，倾斜角为 ．（5 分） 【评分说明】（2）若不用公式，可设直线方程联立后用弦长公式推出，同样给分；但须验证最值都能取到（ 的存在性）；（3）只答 未说明取等条件扣 1～2 分． 17．（15 分）【答案】（1）；（2），，；（3），， 【解析】（1）将 代入 ，得 ，整理得 ．相切时 ，解得 ，即 ．（5 分） （2）将 代入双曲线方程，整理得 ．设两根为 、，直线与双曲线右支交于两个不同的点，等价于该方程有两个不相等的正根，故需 ， ，． 由 及 知 ，即 （直线的倾斜程度超过渐近线，即 ）；再由 知 ；判别式条件为 ．（6 分） （3）与左支交于两个不同的点，等价于方程有两个不相等的负根，此时仍由 得 ，判别式条件仍为 ，而 要求 ．故条件为 ，，．（4 分） 【评分说明】（2）（3）的核心是把”与某一支交于两点”转化为一元二次方程根的分布（同号、和定号、判别式为正），其中 推出 是关键，它与几何直观（直线倾斜程度超过渐近线才能截同一支于两点）一致；漏掉 （或 ）这个条件只能得一半分数；（2）中 在 时不能省略． 18．（17 分）【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由椭圆经过 、 知 ，，故椭圆 的标准方程为 ．（4 分） （2）设 、，则 ，，相减得 ，两边除以 得 ，即 ，解得 ．（6 分） （3）由（2）得直线 的方程为 ，即 ．代入椭圆方程得 ，整理得 ，解得 ，，对应 、，故 ．（7 分） 【评分说明】（2）用点差法（设而不求）是标准解法，直接设直线方程联立后用韦达定理也可；（3）也可先算 ，再用弦长公式 ． 19．（17 分）【答案】（2）；（3） 【解析】（1）当过点 的直线斜率不存在时，直线为 ，代入椭圆得 ，有两个交点；当斜率存在时，设 ，代入椭圆方程得 ，其判别式 ，方程有两个不等实根，故直线与椭圆必有两个不同的交点．（4 分） （2） 时，设 、，由（1）知 ，，，．原点 到直线 的距离 ，故 ．（6 分） （3）直线斜率存在时，．下证 ：，两边非负，平方得 ，恒成立；等号成立需 ，斜率存在时不可能．当斜率不存在时，直线为 ，此时 ，，．综上， 的最大值为 ．（7 分） 【评分说明】（1）遗漏”斜率不存在”的讨论扣 1～2 分；（3）的常规做法是求 关于 的单调性（ 递增，上确界 ），再单独验证垂直情形取到 ． 学科网（北京）股份有限公司 $