第三章圆锥曲线单元测试卷（单招拔高）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线单元测试卷（拔高卷） 考试时间：90分钟 满分：150分 注意事项：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分。请将答案写在答题纸相应位置，考试结束后将试卷和答题纸一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆 + = 1 的两个焦点为 F11、F2，点P在椭圆上，若 ∠F1PF2 = 90°，则 △F1PF2 的面积为（ ） A．16 B．32 C．8 D．18 2．椭圆 + = 1（a > b > 0）的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．双曲线 - = 1 的离心率为 ，则它的渐近线方程为（ ） A．y = ±x B．y = ±x C．y = ±x D．y = ±2x 4．双曲线 - = 1 上一点P到左焦点的距离为7，则P到右焦点的距离为（ ） A．1 B．13 C．1或13 D．以上都不对 5．抛物线 y² = 4x 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，若 |AF| = 3，则 |BF| = （ ） A． B．2 C． D．3 6．直线 y = kx + 1 与椭圆 + = 1 总有公共点，则m的取值范围是（ ） A．m ≥ 1 B．m ≥ 1 且 m ≠ 5 C．m > 1 D．m > 1 且 m ≠ 5 7．已知抛物线 y² = 2px（p > 0）上一点 M(1, m) 到其焦点的距离为5，则 p = （ ） A．2 B．4 C．8 D．6 8．已知圆 (x + 2)² + y² = 36 的圆心为M，点N(2, 0)，点P为圆上任意一点，线段PN的垂直平分线交PM于点Q，则点Q的轨迹方程是（ ） A． + = 1 B． + = 1 C． - = 1 D． - = 1 二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分） 9．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率 e = ，且过点(3, 0)，则椭圆的标准方程为________________________________。 10．双曲线 - = 1 的离心率为2，则其渐近线方程为____________________。 11．抛物线 y² = 8x 上一点P到y轴的距离为4，则P到焦点的距离为____________。 12．直线 y = x - 1 被椭圆 + = 1 截得的弦长为____________。 三、解答题（本大题共3小题，每小题18分，共54分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 13．（本小题满分18分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且椭圆过点(, 1)。 （1）求椭圆C的标准方程；（6分） （2）求椭圆C的长轴长、短轴长和焦点坐标；（6分） （3）若椭圆C上一点P到左焦点的距离为 ，求P到右焦点的距离。（6分） 14．（本小题满分18分）已知双曲线的渐近线方程为 y = ±x，且过点(4, 3)。 （1）求双曲线的标准方程；（6分） （2）求双曲线的离心率；（6分） （3）求双曲线的实轴长、虚轴长和焦点坐标。（6分） 15．（本小题满分18分）已知抛物线 y² = 2px（p > 0）的焦点为F，且点M(2, m)在抛物线上。 （1）若 |MF| = 3，求抛物线的标准方程；（6分） （2）设直线l过焦点F，斜率为1，交抛物线于A、B两点，求A、B两点的坐标；（6分） （3）在（2）的条件下，求弦长|AB|。（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线单元测试卷（单招拔高版）参考答案 一、选择题（每小题8分，共64分） 1．A 解析：椭圆中 a=5, b=4, c=3。由椭圆定义 |PF₁|+|PF₂|=2a=10，又 ∠F₁PF₂=90°， 故 |PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=36。两边平方得 (|PF₁|+|PF₂|)²=100=36+2|PF₁|·|PF₂|， 解得 |PF₁|·|PF₂|=32。面积 S=×32=16。 2．A 解析：长轴长是短轴长2倍，即 2a=2×2b，故 a=2b。c==b，离心率 e==。 3．A 解析：离心率 e==，故 c=a，c²=2a²=a²+b²，得 b²=a²，即 b=a。 渐近线方程为 y=±x=±x。 4．B 解析：双曲线 a=3, 2a=6。由定义 ||PF₁|-|PF₂||=6，已知 |PF₁|=7， 则 |PF₂|=13 或 1。又双曲线上点到焦点距离最小值为 c-a=5-3=2， 故 |PF₂|=1 舍去，得 |PF₂|=13。 5．A 解析：抛物线 y²=4x 中 p=2。由焦点弦性质，焦点到两端点距离倒数之和等于 =1。 代入 |AF|=3，解得 |BF|=。 6．B 解析：直线 y=kx+1 恒过定点 (0,1)。直线与椭圆总有公共点， 即 (0,1) 在椭圆内或椭圆上，故 ≤ 1，得 m ≥ 1。又椭圆 m≠5（否则为圆）， 故 m ≥ 1 且 m ≠ 5。 7．C 解析：抛物线准线为 x=-。由抛物线定义，点M到焦点距离等于到准线距离， 即 1+=5，解得 p=8。 8．A 解析：由垂直平分线性质 |QN|=|QP|，故 |QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=6。 又 |MN|=4<6，故Q的轨迹为椭圆，2a=6, 2c=4，得 a=3, c=2, b²=5。 中心在原点，焦点在x轴，方程为 + = 1。 二、填空题（每小题8分，共32分） 9． + = 1 解析：过点(3,0)得 a=3。e==，故 c=，b²=a²-c²=9-5=4。 10．y = ±x 解析：e==2，c=2a，c²=4a²=a²+b²，得 b²=3a²，=，渐近线 y=±x。 11．6 解析：y²=8x 中 p=4，准线 x=-2。P到y轴距离4即 x=4， 由定义到焦点距离=到准线距离=4+2=6。 12． 解析：联立 y=x-1 与椭圆方程，得 3x²-4x-2=0。 x₁+x₂=, x₁x₂=。 由弦长公式 |AB|=·=。 三、解答题（每小题18分，共54分） 13．（本小题满分18分） 解：（1）设椭圆标准方程为 + = 1（a > b > 0）。 ……1分 ∵ e==，∴ =，即 =，得 b²=。 ……2分 又椭圆过点(, 1)，代入得 + = 1，即 + = 1， 解得 a²=4, b²=2。 ……2分 ∴ 椭圆标准方程为 + = 1。 ……（6分） （2）由（1）知 a=2, b=, c==。 ……2分 ∴ 长轴长 2a=4，短轴长 2b=2，焦点坐标为(±, 0)。 ……（6分） （3）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为 2a=4。 ……3分 已知P到左焦点距离为 ， ……1分 ∴ P到右焦点的距离为 4 - 。 ……（6分） 14．（本小题满分18分） 解：（1）∵ 渐近线方程为 y=±x， ……1分 设双曲线方程为 - = λ。 ……2分 代入点(4, 3)，得 - = 1 - 2 = -1 = λ。 ……2分 ∴ 双曲线标准方程为 - = 1（焦点在y轴上）。 ……（6分） （2）由方程知 a=3, b=4，c==5， ……3分 离心率 e==。 ……（6分） （3）实轴长 2a=6，虚轴长 2b=8， ……3分 焦点坐标为(0, ±5)。 ……（6分） 15．（本小题满分18分） 解：（1）抛物线准线为 x=-。 ……1分 由抛物线定义，|MF|=2+=3，解得 p=2。 ……3分 ∴ 抛物线标准方程为 y²=4x。 ……（6分） （2）由（1）知焦点 F(1,0)，直线l方程为 y=x-1。 ……1分 联立方程 y²=4x 与 y=x-1，代入得 (x-1)²=4x， ……2分 整理得 x²-6x+1=0，解得 x=3±2。 ……2分 ∴ A(3+2, 2+2)，B(3-2, 2-2)。 ……（6分） （3）由两点间距离公式： ……2分 |AB|===8。 ……（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $