精品解析：重庆市清华中学校2026-2027学年度高二上学期10月检测数学试题

重庆市清华中学校高2028届高二上期10月检测数学试题 命题：　　审题：　　终审： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得倾斜角的正切值即得． 【详解】k=tan120°=. 故选：B． 2. 若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 4. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 6. 如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点，点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】直三棱柱中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，可得， 又因为，故点到平面的距离为. 7. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形PAMB等面积法将求的最小值转化为求的最小值，即：当时，取得最小值；联立与l的方程可求得点P坐标；再由点P，点M求出以PM为直径的圆的方程；两圆方程之差即为（公共弦）AB所在的直线方程. 【详解】的方程为： ① 可化为：，则圆心M（1，1），半径为2. 点M到直线l的距离为 ∴直线l与相离，则如图所示，连接AM，BM. ∴要求的最小值，只需求的最小值. ∴当时，取得最小值，即：取得最小值. ∴ ∴ 即： 联立 解得 ∴ ∵， ∴A，B也在以PM为直径的圆上. 又∵以PM为直径的圆的方程为： （或用圆的标准方程求解为：） 即： ② ∴②-①得： 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量、，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积的运算即可验证A选项；根据四点共面的充要条件即可验证B选项；根据空间向量基本定理即可验证C选项，根据法向量与直线方向向量的夹角与直线方向向量和平面的夹角即可验证D选项. 【详解】因为非零向量、，，则，即，故A正确； 因为，且，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，所以不能构成基底，故C错误； 因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，所以它们所在直线的夹角为，则直线与平面所成的角等于．故D正确. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，可判断选项C. 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确. 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】方程，即 若它表示圆，则，即 故答案为：. 13. 已知点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离求解即可. 【详解】的几何意义是点与原点的距离. 由于点在直线上，因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即，所以的最小值为. 14. 在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出点关于轴和直线的对称点，结合光的反射定律列方程求解即得. 【详解】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，的重心，直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 由光的反射定律知，三点共线，则，即，而， 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知直线与平行，求这两条平行直线之间的距离． 【答案】 (1) ① ；② ；(2) . 【解析】 【分析】（1）①根据直线的两点式方程求解； ②求出的中点坐标及直线的斜率，根据垂直得到所得直线斜率，利用点斜式方程求解； （2）根据两直线平行求出的值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）① 已知 ，，由两点式求直线方程： ， 整理得 ，即为  边所在直线方程； ② 由中点坐标公式得：的中点坐标为， 的斜率 ， 故  垂直平分线的斜率为 ，由点斜式得方程：，整理得 ； （2）因为直线与平行，所以，解得， 所以方程是，两边乘4得，显然不重合， 所以这两条平行直线之间的距离. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）如图所示，连接．     因为、分别是棱、的中点，所以， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得， ． 设平面的法向量为， 则，令，得． 所以平面的法向量为. 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） 直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. （2）， （3）4； 【解析】 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． 【小问3详解】 如图所示： 若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 18. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. 【小问2详解】 圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. 【小问3详解】 因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 19. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． （1）求BM与PC所成角的余弦值； （2）若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； （3）过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取AD中点O，BC中点Z，证明，，由平面平面ABCD，可得平面，从而建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得BM与PC所成角的余弦值． （2）设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，利用，求出的坐标，求出平面PCD的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得与平面PDC所成角正弦值． （3）设，则，求出，由M，N，B，Q共面，可知存在唯一实数对，使得，利用坐标计算，解出即的值． 【小问1详解】 取AD中点O，BC中点Z，连接OP，OZ， 因侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，故直线OP，OA，OZ两两垂直， 故以O为原点，OA，OZ，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，，，， 故， 故BM与PC所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得，即， 故，，， 设平面PCD的法向量为， 则，故可取， 设与平面PDC所成角为，则有， 故与平面PDC所成角正弦值为． 【小问3详解】 设，则，且， 因，则，， 因为M，N，B，Q共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ， 所以， 解得，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市清华中学校高2028届高二上期10月检测数学试题 命题：　　审题：　　终审： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 圆截直线所得弦的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点，点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（       ） A. B. C. D. 8. 已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量、，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 13. 已知点在直线上，则的最小值为_______． 14. 在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知直线与平行，求这两条平行直线之间的距离． 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 18. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 19. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． （1）求BM与PC所成角的余弦值； （2）若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； （3）过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $