1.2空间向量基本定理教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.2　空间向量基本定理 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　空间向量基本定理与基底的选取原则 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.2 空间向量基本定理 正文（空间向量基本定理、基底与基向量的概念）与本节例 1（三棱柱中用基底表示 、）；其入口是 1.1 空间向量及其运算中的线性运算与共面向量定理；课后习题 A 组的“判断三个向量能否构成基底”“用基底表示指定向量”。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 。 · 基底与基向量：不共面的三个向量 组成的集合叫做空间的一个基底， 都叫做基向量；此时全体空间向量都能写成 （ 为实数）。 · 共面向量定理（二维情形，1.1）：若 不共线，则向量 与 共面的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；换成基底语言，就是对基底 的分解式中第三个基向量的系数为 。 · 四点共面的系数判据（高考常用推导结论，由定理直接推出，不是教材正文原句）：设 不共面，则对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，且 四点共面的充要条件是 。 · 基底的选取原则：优先取从同一顶点出发的三条棱对应的向量——平行六面体取 ，三棱柱取 ，四面体取 。这样三条基向量的模与两两夹角最容易全部已知。 图 1　平行六面体中以 为端点的三条棱为基底，体对角线对应的向量恰是三个基向量之和 （3）推导证明 存在性：把 平移到公共起点 ，记 ，，，。过 作与 平行的直线，因为 与平面 不平行，该直线与平面 有唯一交点 ，于是 。又 在平面 内， 与 共面，由共面向量定理存在实数 使 ，故 。 唯一性：设有两组分解式 ，相减并用分配律，得 若 ，则可解出 是 的一次组合， 共面，与基底条件矛盾。故 ；同理可得 ，。 系数判据（必要性）：当 四点共面时，存在实数 使 。把两边都换成以 为起点的向量，得 整理得 ，三个系数之和恰为 。 （充分性）反之若 ，以 代回分解式并按基向量归项，得 ，即 ，故 四点共面。 （4）适用条件与易错提醒 · 基向量的要求是“不共面”，两两不共线还不够：平行六面体中 两两不共线，但 ，三者共面，不能作基底。 · 基底有无数组，选定一组后分解式唯一；换一组基底，同一向量的系数全部改变，两组系数之间不能直接令对应相等。 · 零向量、以及能与已有基向量共线的向量，都不能再充当基向量。 · 判定三个向量能否作基底的标准做法：设它们的线性组合为 ，看是否只能全取零系数；若能把其中一个写成另两个的一次组合，则三向量共面，不能作基底。 · 由 得 ，只说明 落在平面 内，与点 是否在该平面内无关；若还要 落在直线 上，需再加 。 · 中点、分点公式最容易写反： 为 的中点时 ； 时 。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，解答题第一问常要求“用给定基底表示某向量”，它是坐标法之外的另一条主线，也是不便于建系的斜几何体的唯一通用工具。命题角度：判断三个向量能否构成基底；在平行六面体、三棱柱、四面体中把一个向量沿棱分解；给出含参线性组合（如 ）判断动点轨迹或四点共面；由分解式的唯一性令对应系数相等求参数。难度基础到中档。已验证真题链接：2025 全国一卷·9（正三棱柱中把各线段译成基底语言）、2021 新高考Ⅰ卷·12（含参线性组合定动点）。 （6）方法归纳 · 第一步　选基底：取从同一顶点出发的三条棱，使三条基向量的模与两两夹角尽量都是已知的。 · 第二步　走折线：把目标向量沿棱、面对角线首尾相接拆成若干段，如 。 · 第三步　化中点：中点用 ，分点用 ，统一化成基向量的线性组合。 · 第四步　定系数：合并成 并回看 的值；需要求参数时，利用同一基底下分解唯一，令对应系数相等列方程。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 如图 2，在三棱柱 中，，，， 是 的中点， 是 的中点。试用基底 表示 与 。 图 2　三棱柱中的中点 、 与所求的两个向量 解析 先求 ：。因 是 的中点， 是 的中点，故 。在三棱柱中 ，，所以 ，其中不含 ，正说明 与 同在上底面内。 例题 2（教材原题改编） 在平行六面体 中，，，，点 满足 。试用几何语言指出点 的位置，并用 表示 。 解析 设底面对角线 与 交于 ，则 是 的中点，。于是 取上底面对角线 与 的交点 ，则 ，故点 在线段 上，且 ，即过底面中心、平行于侧棱的线段上靠近底面的三等分点。 又 ，所以 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 在正三棱柱 中， 为 的中点，设 ，，。 1. 用基底 表示 与 ； 1. 判断直线 与 是否平行，并用空间向量基本定理说明理由。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知 是空间的一个基底。 1. 判断 、、 能否构成空间的另一个基底； 1. 判断 、、 能否构成空间的另一个基底。 条目二　基底法求长度、夹角与投影 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算 正文（空间向量数量积、模与夹角的定义）及本节例题（已知平行六面体从同一顶点出发的三条棱长与两两夹角，求体对角线的长）；1.2 空间向量基本定理 的课后习题把这一方法用于三棱柱、三棱锥；投影数量与投影向量的概念见必修第二册 6.2.4 平面向量的数量积，推广到空间后形式不变。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 为基底，且三个基向量的模与两两夹角已知。先算出六个基本量 ，， 与 ，，，其中 ， 为 与 的夹角。对 ，： · 数量积： 按分配律展开为九项之和，空间向量同样满足交换律与分配律； · 模：； · 夹角：， 为 与 的夹角；两条异面直线所成角的余弦取绝对值； · 垂直：； · 投影： 在 方向上的投影数量为 ，投影向量为 。 最常用的特例是平行六面体的体对角线：若 ，，，则 图 3　 在 方向上的投影向量与 共线，其方向由 的符号决定 （3）推导证明 模的公式：由分配律， 其中交叉项成对出现（ 与 相等），合并后系数为 ；两边开方即得 。 夹角公式：由数量积的定义 直接变形。两向量夹角的范围是 到 ，而异面直线所成角的范围是不含 且不超过直角，方向向量的取法不同可能给出补角，故异面直线所成角的余弦取绝对值。 投影：设 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影数量为 。由 得 ；投影向量是这一数量乘上 方向的单位向量 ，即 。 体对角线：在平行六面体中 ，，故 ，代入模的公式并取 即得上式。 （4）适用条件与易错提醒 · 基底法可行的前提是基底的模与两两夹角全部已知（或能由几何体性质立即得到）；三者缺一，要先补求或换一组基底。 · 求模必须先平方：，不能把 写成 。 · 展开 时交叉项共 个，最容易漏掉 这一项。 · 基向量的夹角必须以同一起点衡量：求 与 的数量积，要先把 平移到以 为起点；把 换成 ，数量积变号。 · 直棱柱、正棱柱的侧棱与底面内任意直线垂直，相应的两个数量积为 ，不要把它当成未知量。 · 投影数量是实数，可正、可负、可为零；投影向量与 共线，方向由 的符号决定，两者不能混写。 · 求异面直线所成角时，若 ，说明取的方向向量给出的是补角，余弦要取相反数。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，解答题第一问也常以“用向量表示并求长度、证明垂直”出现，主战场是没有三条两两垂直的棱、建系不便的斜平行六面体与一般三棱锥。命题角度：由同顶点三条棱长与两两夹角求体对角线或面对角线长；求异面直线所成角的余弦值；用数量积为 证明线线垂直；求一个向量在另一个向量方向上的投影向量。难度基础到中档。已验证真题链接：2023 新高考Ⅱ卷（三棱锥 中用数量积证 ）、2025 全国一卷·9（正三棱柱中用数量积判断垂直关系）。 （6）方法归纳 · 第一步　定基底：选同一顶点的三条棱，把三个模与三个两两数量积先算出来备用。 · 第二步　表向量：把要求的线段写成向量，用条目一的路径法化成基底的线性组合。 · 第三步　算积与模：展开 与 ，此后只剩数字运算，不再涉及图形。 · 第四步　出结论：长度取 ；夹角用 ，异面直线取绝对值；证垂直只需说明 ；投影先算数量，再乘单位方向向量。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知平行六面体 中，，，，，求 的长（精确到 ）。 解析 设 ，，，则 ，，，且 由 ，得 故 。 例题 2（教材原题改编） 在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为 ，且它们彼此的夹角都是 。设 ，，。 1. 求体对角线 的长； 1. 求 在 方向上的投影向量。 解析 ，。 1. ，故 。 1. ，，即 。又 所以投影数量为 ，投影向量为 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 如图 4，在三棱锥 中，，，， 为 的中点。设 ，，。 1. 用向量法证明 ； 1. 求异面直线 与 所成角的余弦值。 图 4　变式 2-1 所用的三棱锥，以 为端点的三条棱为基底 变式 2-2（优质模拟改编） 在平行六面体 中，，。设 ，，（图形见图 1）。 1. 求体对角线 的长； 1. 求异面直线 与 所成角的余弦值。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：(1) ，；(2) 直线 与 不平行。 解析： 为 的中点，故 ，于是 。又 ，所以 。 若 ，则 与 共线，存在实数 使 。在三棱柱中 ，代入得 ，即 。因为 是底面正三角形两边对应的向量，不共线，由平面向量基本定理只能有 ，矛盾。故 与 不平行；它们分处上、下底面且方向不同，是异面直线。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) 能构成空间的一个基底；(2) 不能构成空间的一个基底。 解析：(1) 设 ，按基向量合并得 。因为 是基底，由分解的唯一性只能有 ，，。三式相加得 ，与各式联立解得 。所以三个向量不共面，能构成空间的一个基底。 1. 因为 ，第三个向量可由前两个线性表示，三者共面，不能构成空间的一个基底。 变式 2-1 答案与解析 答案：(1) 见解析；(2) 。 解析：由 ，，，得 1. ，故 ，所以 。 1. ，，于是 又 ，得 ；。所以 与 夹角的余弦为 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，即所成角为 。 变式 2-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) 。 解析：，。 1. ，故 。 1. ，，于是 再求两模：，；，。 所以 。 人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.2 空间向量基本定理　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $