1.3空间向量及其运算的坐标表示教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　空间直角坐标系的建立与点的坐标 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.3.1 空间直角坐标系 正文（空间直角坐标系的定义、右手坐标系约定、空间点与有序三元组的一一对应、特殊位置点的坐标特征），1.3.1 例 1（长方体 中写出指定顶点与向量的坐标），以及 1.3.2 正文中的空间两点距离公式与课后习题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（其中的中点坐标公式、对称点坐标公式由“一一对应”与平面几何中位线直接推出，是教材例题与课后习题中直接使用的推论）。 · 三条有公共原点 、两两互相垂直且单位长度相同的数轴 轴、 轴、 轴组成空间直角坐标系 。教材只讨论右手直角坐标系：右手拇指指向 轴正方向，其余四指由 轴正方向转向 轴正方向。 · 过空间一点 分别向三个坐标平面作垂线，三条垂线足在相应坐标轴上的坐标依次记为 ，则 与有序三元组 一一对应；三个坐标平面把空间分成八个部分。 · 特殊位置的点： 轴上 ， 轴上 ， 轴上 ；坐标平面 上 ，坐标平面 上 ，坐标平面 上 ；坐标原点 。 · 空间两点距离公式：、，则 · 中点坐标公式： 为 的中点，则 。 · 对称点坐标（记 ）： 对称中心（轴、面） 对称点坐标 坐标原点 坐标平面 坐标平面 坐标平面 轴 轴 轴 图 1　空间直角坐标系 与点 的坐标： 是过 所作三条坐标平面垂线的垂足在坐标轴上的位置， 是 在坐标平面 内的射影 （3）推导证明 距离公式：设 、。取 、，则 平行于 轴、 平行于 轴、 平行于 轴，三条线段两两垂直，且 ，，。因为 、 都在平面 内且互相垂直，由勾股定理 ；又 垂直于该平面，故 ，再用一次勾股定理得 中点公式：过 向坐标平面 作垂线，垂足依次记为 。三条垂线互相平行，故 是直角梯形， 是 的中点。由平面几何中位线， 的横、纵坐标分别是 与 的平均值，且 是梯形的中位线，故 的竖坐标为 。三个方向同理，即得中点坐标公式。 对称点：以关于坐标平面 对称为例。点 到该平面的垂线平行于 轴，垂足为 ，对称点在垂线上且到垂足的距离相等、方向相反，故为 。关于 轴对称时，垂足为该点在过 轴且垂直于 轴的平面内的射影，只有 两个坐标同时变号，得 ；关于原点对称即三次“反向”，三个坐标全变号。 （4）适用条件与易错提醒 · 建系三条件缺一不可：三轴两两垂直、公共原点、同一单位长度。若几何体中只有两条棱垂直，就把第三条不垂直的棱硬当坐标轴，则写出的“坐标”不再满足一一对应的作图规则，距离公式、后面的夹角公式全部失效。 · 轴的顺序决定坐标的顺序：以 为原点、 的方向依次为 轴正方向时，若 、，则 ；把 轴与 轴对调后所有点的横、纵坐标同时互换。这是本节最高频的失分点。 · 点的坐标与向量的坐标不能混用：只有起点在原点的向量，其坐标才等于终点坐标；一般地，向量的坐标等于终点坐标减起点坐标。 · 没有三条两两垂直的棱时（正三棱柱、正四面体、底面为菱形的四棱柱），改取“底面一边所在直线＋底面内与它垂直的直线（或对角线）＋侧棱”为轴，此时会出现 一类分数坐标，属正常结果，不必回避。 · 距离公式与中点公式只对同一坐标系内的两点使用；换坐标系后各点坐标全部改变，但算出的长度、中点位置不变，可用来检验建系是否写错。 · 对称记法“关于谁，谁不变”：关于坐标平面对称，该平面内的两个坐标不变；关于坐标轴对称，该轴坐标不变；关于原点对称三个坐标全变号。常见错法是把“关于 轴对称”写成 。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，常见设问：给出几何体与建系方式，写出某个顶点、中点或分点的坐标；求某点关于坐标平面、坐标轴、原点的对称点；在坐标轴（或坐标平面）上设点，用距离公式列方程。解答题中它是向量法的第一步，建系与写坐标的正确性直接决定后续所有计算。难度基础。已核实真题：2023 全国甲卷·理 15（正方体中以 为直径的球与棱的公共点，实质是比较球心到各棱的距离与半径）、2022 新高考Ⅰ卷·9 与 2025 全国一卷·9（正方体、正三棱柱中判断垂直与求夹角，均须先建系写坐标）。 （6）方法归纳 · 第一步　选原点：优先取“从同一顶点出发的三条两两垂直的棱”的公共端点，或几何体的对称中心、底面中心、面的垂足。 · 第二步　定轴与单位长度：把三条互相垂直的直线依次指定为 轴、 轴、 轴，并在答题中写明“以……为坐标原点，以……所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系”。 · 第三步　写坐标：先写落在坐标轴上的点，再按“横、纵、竖坐标分别是点到 、、 平面的有向距离”补齐其余点；中点、等分点用中点公式或向量相等。 · 第四步　回代检验：用距离公式验算一条已知棱长（例如检验 是否等于题给数据），一条不符即说明轴序或符号写错，须回头改而不是继续算。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 如图，在长方体 中，，，，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 。（1）写出 四点的坐标；（2）写出向量 、、 的坐标。 图 2　例题 1 所用的长方体 ，三条棱 分别在三个坐标轴上 解析 （1）点 在 轴上且 ，故 ；点 在 轴上且 ，故 。点 在坐标平面 内，它在 轴、 轴上的射影分别为 与 ，故 。点 在 的正上方且 ，故 。 （2）由向量的坐标等于终点坐标减起点坐标： 例题 2（教材原题改编） 在长方体 中，，，， 为棱 的中点。以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系。（1）写出八个顶点与点 的坐标；（2）求 的长。 解析 （1）在长方体中 ，，。于是 ，，，； 在坐标平面 内且横、纵坐标依次为 ，故 ；上底面各点与下底面对应点只有竖坐标相差 ，故 ，，。由中点坐标公式 。 （2）由空间两点距离公式 检验：，与题给数据一致，说明轴序未写反。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 在棱长为 的正方体 中，、 分别为棱 、 的中点。以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系。（1）写出 、 的坐标及线段 中点的坐标；（2）用坐标法判断：以 为直径的球的球面与该正方体的棱共有多少个公共点？ 变式 1-2（优质模拟改编） 已知点 。（1）分别求点 关于坐标平面 、关于 轴、关于坐标原点的对称点 、、 的坐标；（2）求 的长，并指出线段 的中点所在的坐标平面。 条目二　坐标法下的平行、垂直、模与夹角公式 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 正文（以单位正交基底推出的线性运算、数量积、模、夹角、平行、垂直的坐标对照表）、例题与课后习题 A 组（已知两点坐标求向量坐标与夹角、由平行或垂直关系求参数）。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。设 ，，，。 · 线性运算：和（差）向量的坐标等于对应坐标相加（减），即 ，数乘向量的坐标为 ，与平面向量的坐标运算完全同法。 · 向量的坐标：。 · 数量积：。 · 模与距离：；两点间的距离就是 的模，展开后与条目一的距离公式一致。 · 夹角（，）：。 · 平行： 存在实数 使 （），即 ，，。 · 垂直：。 · 单位向量：与 同向的单位向量为 。 图 3　用坐标法判断正方体中的垂直关系： 与 的数量积为 ，虚线 是与 平行的辅助线（与变式 2-1 同一图形） （3）推导证明 设 分别是 轴、 轴、 轴正方向的单位向量，则 ，，且 数量积：由数量积对加法的分配律展开， 其中 的项都含有因子 而全部消失，只剩下 的三项，故数量积的坐标式为 。 模：在上面的结果中取 ，得 ，开方即得模公式。 夹角：由数量积的定义 ，当 非零时两边同除 ，再把数量积与模的坐标式代入即得夹角公式。 平行：（）时由共线向量定理存在唯一实数 使 ；代入 并与 比较，由单位正交基底下坐标的唯一性得 ，，。反之，这三式成立时 ，故 。 垂直： 就是夹角为 ，也即 ；由上面的夹角公式，这等价于 ，写成坐标即 。 （4）适用条件与易错提醒 · 把平行写成“对应坐标成比例” 的前提是 ；只要有一个分量为 就必须回到 。例如 与 满足 而平行，比值式却因分母为 无法书写。 · 推不出夹角为锐角（同向共线时夹角为 ）， 也推不出夹角为钝角（反向共线时夹角为 ）。写“夹角为钝角”必须列两个条件： 且 与 不反向共线，最后把使二者共线的参数值剔除——这是本节最常被漏掉的一步。 · 向量夹角的范围是 ，两条直线（含异面直线）所成角的范围是 ，所以求直线夹角要取绝对值：。方向向量取反向会改变 的符号，但不改变直线所成的角。 · 坐标随坐标系改变：同一向量在不同坐标系下坐标不同。解题时必须先声明建系方式（原点、三轴方向、单位长度），否则后面所有坐标与结论都失去依据。 · 使用 判平行时要求 ；使用夹角公式时要求两向量都非零。零向量与任意向量共线，但不参与夹角。 · 求 不能写成 ：应先算出和向量的坐标再开方，或先把平方展开为 再代坐标。 （5）考点定位与命题角度 选填高频考点：由 或 求参数；判断两个空间向量的位置关系；求模、求夹角余弦；已知三点坐标求向量坐标与角。解答题中它承担“把几何条件翻译成代数等式”的入口——证明两条线垂直即验证方向向量数量积为 ，求异面直线所成角即代入夹角公式并取绝对值。难度基础到中档。已核实真题：2022 新高考Ⅰ卷·9（正方体中判断直线所成角，答案 ABD）、2025 全国一卷·9（正三棱柱中判断 等，可全部用坐标验证）。 （6）方法归纳 · 第一步　建系写点：按条目一的四步建立坐标系，写出题目涉及的各点坐标。 · 第二步　翻译成向量：把要研究的线段写成 终点坐标减起点坐标；只关心方向时可约去公因数，取最简方向向量。 · 第三步　选公式：平行用 ，垂直用 ，长度用 ，角用 （直线夹角再加绝对值）。 · 第四步　检验：分母是否为 、锐角或钝角情形是否要剔除共线值、符号与绝对值是否合理、结果是否落在对应角的取值范围内。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，。求 、、 以及与 同向的单位向量，并判断 与 是否垂直。 解析 因为 ，所以 与 不垂直。又 而 ，对应坐标不成比例，二者也不共线。 例题 2（教材原题改编） 已知空间三点 ，，，设 ，。（1）求 ，并求直线 与直线 所成角的余弦值；（2）若 与 互相垂直，求实数 的值。 解析 （1）由向量坐标等于终点坐标减起点坐标，得 ，。于是数量积为 ，而模为 ，，代入夹角公式即得 直线 与 所成角取绝对值，余弦值为 。 （2），。由垂直的坐标条件 即 ，分解得 ，故 或 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知棱长为 的正方体 。以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系。（1）写出 、、、 四点的坐标，并求 、、 的坐标；（2）用坐标法求直线 与直线 所成角、直线 与直线 所成角的大小；（3）求直线 与平面 所成角的余弦值。 图 4　变式 2-1 第（3）问所用图形： 垂直底面，故 在平面 内的射影为 ，所成的角是 变式 2-2（优质模拟改编） 已知向量 ，。（1）若 ，求实数 的值；（2）若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：（1），，线段 的中点为 ；（2）共有 个公共点。 解析：由 得 ，，，，，，，。 （1） 为 的中点，由中点坐标公式得 ； 为 的中点，同理得 ；再取 的中点得 ，恰为正方体的中心。 （2）球的半径为 ，球心为 。正方体的每条棱都是“两个坐标各取 或 、第三个坐标在 内变化”的线段，故中心 到每条棱所在直线的距离都等于 ，且垂足恰为该棱的中点（中点坐标在 内）。以棱 为例： 上的点形如 ， 到它的距离平方为 ，当且仅当 时取最小值 ，即距离 ，垂足 正是 。所以球面与 条棱都相切于棱的中点，公共点共 个。 变式 1-2 答案与解析 答案：（1），，；（2），中点 在坐标平面 内。 解析：（1）关于坐标平面 对称时竖坐标变号，得 ；关于 轴对称时保留纵坐标、横坐标与竖坐标变号，得 ；关于原点对称时三个坐标全变号，得 。 （2）由距离公式得 。线段 的中点为 ，其横坐标为 ，故该点落在坐标平面 内。 变式 2-1 答案与解析 答案：（1），，，；，，；（2）两角均为 ；（3）。 解析：（1）因 ，故 ，，，，，，，。向量坐标等于终点坐标减起点坐标： （2），故 ，所成角为 ；，故 ，所成角也是 。 （3）因为 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，所求角即 。由 ， 故直线 与平面 所成角的余弦值为 （即 ）。 变式 2-2 答案与解析 答案：（1）；（2） 且 。 解析：（1）。由 得 ，即 。 （2）夹角为钝角需 ，即 ，得 。再排除反向共线：设 ，则由第二、三个分量得 与 ，二者相容且 ；代入第一个分量 ，得 。此时 ，夹角为 ，不是钝角，须舍去。故 的取值范围为 且 。 人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $