2.5直线与圆、圆与圆的位置关系教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　直线与圆的位置关系与弦长公式 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系 正文（用公共点个数给相交、相切、相离分类；用方程组解的个数与用圆心到直线的距离 和半径 比较这两种判定方法），2.5.1 例题（一道为判断直线与圆的位置关系并求弦长，一道为过圆外一点求圆的切线方程）与课后习题中已知弦长求参数的题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（其中的切点弦方程、圆上点到直线距离的个数判据属高考常用推导结论，均由下面的判定与垂径定理直接推出）。 设圆 的圆心为 、半径为 ，直线 ，圆心到直线的距离 · 位置关系判定（几何法）： 与 相交 （两个公共点）；相切 （唯一一个公共点）；相离 （无公共点）。 与 有公共点 。 · 位置关系判定（代数法）：把 的方程代入圆的方程，消元得关于 （或 ）的一元二次方程，其判别式为 ，则 、、 依次对应相交、相切、相离。 · 弦长公式（几何法）： 与 相交于 ，则 。 · 弦长公式（代数法）： 的斜率存在且为 ，，则 。 · 切线：点 在圆 上，则过 的切线为 ；点 在圆外，切线有两条，切线长 。 · 切点弦（高考常用推导结论）：过圆 外一点 作两条切线，切点为 ，则直线 的方程为 。 · 圆上点到直线的距离（高考常用推导结论）：记 为圆心到直线 的距离，与 距离为 （）的点组成 两侧的两条平行线，它们到圆心的距离分别为 、（）。圆上到 距离等于 的点的个数等于这两条平行线与圆的公共点总数，故恰有 个点 。 图 1　直线与圆的三种位置关系：把圆心到直线的垂线段长 与半径 比较即可判定 图 2　弦心距 、半径 与半弦长构成直角三角形， 图 3　过圆外一点 的两条切线 、 与切点弦 （虚线 、 为半径，） （3）推导证明 几何法判定：设 是圆心 向 所作垂线的垂足。对 上任意一点 ，由 得 ，即 上离圆心最近的点恰为 ，最近距离为 。于是 时 上每一点都在圆外，无公共点； 时只有 在圆上，恰一个公共点； 时 在圆内而 上的点可以任意远离圆心，由圆的连续性与对称性， 两侧各有一点到 的距离等于 ，即两个公共点。 弦长公式（几何法）：设 为弦 的中点，则 （垂径定理：以 为圆心、 为半径的圆中，，故等腰三角形 底边上的中线即为高），且 。在直角三角形 中由勾股定理 弦长公式（代数法）：把 代入圆的方程得 ，则 、，且 ，故 切线长： 为切点，则 ，在直角三角形 中 。 切点弦：因为 ，所以切点 在以 为直径的圆上，其方程为 ；同理 也在该圆上。把已知圆 与此圆相减，二次项消去，得 。、 两点都满足它，两点确定一条直线，故切点弦 的方程就是 。 圆上点到直线的距离个数：到 距离为 的点的集合是与 平行、位于 两侧的两条直线。以 到 的垂线为数量轴，取 为原点、 的坐标为 ，则两平行线的坐标为 与 ，到圆心 的距离依次是 与 。一条与 平行的直线与圆有 、、 个公共点，分别对应它到圆心的距离小于、等于、大于 。两条线的公共点数之和为 ，只能是“一条相交、一条相离”，即 。 （4）适用条件与易错提醒 · 用 与 比较之前，必须先把圆的一般方程配方成标准方程。 只有在 时才表示圆，圆心 、半径 ；若二次项系数不是 ，要先整体除以该系数，否则圆心与半径全错。 · 距离公式中的直线必须是一般式 ；用 直接代点到直线距离公式是常见错源。 · 求过定点的切线时先判断点的位置：点在圆上只有一条切线，点在圆外才有两条。设点斜式 会漏掉斜率不存在的那条切线，必须补验直线 。例如圆 与点 ，两条切线是 与 ，只设斜率会少一条。 · “有公共点”用 ，“相交（两个公共点）”用 ；含参题里等号能否取到决定区间端点是否闭合。 · 弦长必须满足 ，且 ；解出参数后回代验算 ，否则是增根。 · 过圆内一点的任意直线都与圆相交，不必计算 ；过圆上一点且不与该点半径垂直的直线必与圆相交。 · 圆上到直线距离为 的点恰有 个时，判据是 ；当 时 ，直接写成 会漏解或得负值。 · 过圆内定点 的弦中，直径最长（），与 垂直的弦最短（）；把两者弄反是本考点最高频的错误。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，分值为 5 分，也常作解答题第一问的过渡。常见设问：判断位置关系或直线与圆公共点的个数；求弦长或由弦长反求参数；求切线方程或切线长；圆上点到直线距离的最值与个数。难度基础到中档。已核实真题：2026 全国Ⅰ卷·11（三个单位圆被动直线所截的弦长关系与弦长之和的最值）、2025 全国Ⅰ卷·7（圆上到直线距离为 的点恰有两个，求半径范围）、2025 天津卷·12（直线与坐标轴所截线段和与弦长的倍数关系求半径）、2024 北京卷·3（圆心到直线距离的基础题）、2023 新高考Ⅰ卷·6（过圆外一点两条切线的夹角）、2022 天津卷·12（弦长等于参数本身求参数）、2022 新高考Ⅱ卷·15（对称后的直线与圆有公共点求参数范围）。 （6）方法归纳 · 第一步　化标准方程：配方读出圆心 与半径 ，二次项系数不为 时先化归为 。 · 第二步　算弦心距：把直线写成一般式，用 求圆心到直线的距离。 · 第三步　比大小定关系、用公式出长度：、、 对应相交、相切、相离；需要长度时用 ，需要切线时用 ，只有斜率未知且交点坐标易求时才用代数法。 · 第四步　反解参数并回代：由已知弦长（或公共点个数）列关于参数的方程或不等式，解出后检验 、，并补查斜率不存在的情形。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知直线 和圆心为 的圆 ，判断 与圆 的位置关系；如果相交，求直线被圆 所截得的弦长。 解析 配方得 ，圆心 ，半径 。 几何法：。由 得 ，故 与圆 相交，弦长 代数法：由 得 ，代入圆的方程：，整理得 ，即 ，解得 或 ，对应 或 。两交点为 、，，与几何法一致。 例题 2（教材原题改编） 已知直线 被圆 截得的弦长为 ，求 。 解析 圆心 ，半径 。直线化为一般式 ，则 由弦长公式 得 ，即 ，，，故 。 回代检验：，，确为相交，弦长 符合。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 若直线 （）被圆 截得的弦长等于 ，求 的值。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点。求 的最大值与最小值。 条目二　圆与圆的位置关系、公共弦与公切线 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.5.2 圆与圆的位置关系 正文（按公共点个数把两圆分为相交、相切、相离三类，五小类：外离、外切、相交、内切、内含；用方程组解的个数与用圆心距 同两圆半径的和、差比较两种判定方法），2.5.2 例题（判断 与 的位置关系，并求两圆交点与公共弦所在直线）与课后习题。两圆公切线条数与公切线长未单列在教材正文的结论中，是由位置关系直接推出的高考常用推导结论，本节如实标注。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（公切线条数、公切线长、根轴三项标注为高考常用推导结论）。 设圆 的圆心为 、半径 ，圆 的圆心为 、半径 ，圆心距 。 · 几何法判定：外离 ；外切 ；相交 ；内切 ；内含 （ 时为同心圆，是内含的特例）。 · 代数法判定：联立两圆方程，公共点个数即方程组实数解的组数： 组相交、 组相切（外切或内切）、 组相离（外离或内含）。 · 公共弦所在直线：两圆都化为一般式 （）后两式相减，二次项被消去，得 ；相交时它即公共弦所在直线。 · 公共弦长：，其中 为 到公共弦所在直线的距离。 · 公切线条数（高考常用推导结论）：外离 条、外切 条、相交 条、内切 条、内含 条。 · 公切线长（高考常用推导结论）：两圆外离或外切时，外公切线长 ；两圆外离时，内公切线长 。 · 根轴（高考常用推导结论）：两圆方程相减所得直线恒垂直于连心线；相交时是公共弦所在直线，相切时是过切点的公切线，相离与内含时与两圆都没有公共点；仅当 时它才是连心线的中垂线。 图 4　圆与圆的五种位置关系，按圆心距 与 、 的大小关系区分 图 5　相交两圆的公共弦 垂直于连心线 ，且被连心线平分 （3）推导证明 位置关系的数量判据：设两圆半径为 、，圆心距为 。 · 若 ：对 上任意点 与 上任意点 ，由三角不等式 ，得 ，故两点不可能重合，两圆外离；当 时上述不等式取等号的点恰为连心线段与两圆的交点，该点同时在两圆上且唯一，即外切。 · 若 ：对 上任意点 ，，故 在 内部，两圆内含；当 时，连心线上远离 方向的端点同时在两圆上且唯一，即内切。 · 若 ： 上的点到 的距离最小值为 （或 ，取绝对值 ）、最大值为 ，且 等价于 严格介于这两个极值之间；沿 从距 最近的点移动到最远的点，到 的距离连续变化，在连心线两侧各有一次等于 ，故恰有两个公共点，即相交。 公共弦所在直线：设 是两圆的公共点，则 的坐标同时满足两圆方程，两式相减后仍满足所得方程。两式相减时 、 项系数相同而被消去，剩下的是关于 的一次方程，表示一条直线；两公共点都在这条直线上，两点确定一条直线，故它就是公共弦所在直线。 公共弦长：公共弦所在直线被任一圆截得的弦即公共弦，由条目一的垂径定理，弦长 ，其中 为该圆圆心到此直线的距离。 公切线长：设两圆的一条外公切线切点为 ，则 、 且 同向。在射线 上取点 使 ，则 且 ，又 ，故 。内公切线时 与 反向，取 同理得 。 公切线条数：外离时两圆彼此分离，过两圆之间可作 条内公切线、两侧各 条外公切线，共 条；外切时两圆之间的那条内公切线收缩为过切点的公切线，故 条外公切线加 条，共 条；相交时两圆之间的内公切线不存在，只剩 条外公切线；内切时两条外公切线合并为过切点的一条，共 条；内含时无公切线。 （4）适用条件与易错提醒 · 判定前必须把两圆都化为标准方程，半径取正数；一般方程中二次项系数不为 时（如 ）要先除以 ，否则圆心距与半径不同单位，比较结果全错。 · 相交是双侧不等式 。只验 会把内含误判为相交；含参数时要同时解两个不等式再取交集。 · “两圆相切”包含外切与内切两类： 或 。只写前者是含参题里最常见的漏解。 · 两圆方程相减所得直线不一定是公共弦：只有相交时才是。相切时它是过切点的公切线，相离或内含时它与两圆没有公共点（此时它是根轴，仍垂直于连心线）。说它是“连心线的中垂线”只在 时成立。 · 求公切线方程与求公切线条数是两问：求方程时斜率不存在的切线要单独讨论。如 与 外切，三条公切线为 、、，只设斜率会漏掉 。 · 公共弦长可以用任一圆的半径与圆心距算，两圆结果必须相同，这是检验计算是否出错的好办法。 · 由位置关系反求参数时，半径必须为正，解出参数后回代 与 检验，舍去使圆不存在的值。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，5 分，位置关系判断与公共弦是本章的基础考点，也常与直线、圆锥曲线组合命题。常见设问：判断两圆位置关系或求公共点个数；求公共弦所在直线方程与公共弦长；由公切线条数（或“恰有三条公切线”）反求参数；写出与两定圆都相切的直线方程（开放题）。难度基础到中档。已核实真题：2026 全国Ⅱ卷·9（含参圆 与单位圆的相切、相交与两交点所在直线，多选）、2022 新高考Ⅰ卷·14（写出与两定圆都相切的一条直线，开放填空）、2026 全国Ⅰ卷·11（三个单位圆两两外切，用弦长关系判断直线与圆的位置）。 （6）方法归纳 · 第一步　配方：把两圆都化为标准方程，写出 与 ，并确认半径为正（即 ）。 · 第二步　算圆心距：，与 、 比较（比较时两边平方更稳，避免根式估错大小）。 · 第三步　定关系或列方程：判断位置关系直接下结论；含参题按“外离、外切、相交、内切、内含”或“公切线 条”翻译成 与 的等式或不等式。 · 第四步　求公共弦：两圆一般式相减得公共弦所在直线，再用垂径定理 求弦长；相切时同一步得到的是过切点的公切线方程。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知圆 和圆 ，试判断两圆的位置关系。 解析 几何法：配方得 ，圆心 、；，圆心 、。圆心距 又 ，。比较：（两边同乘 可化为 ，或直接取近似 ），故 ，两圆相交。 代数法：两式相减得 ，即 ，代回 消去 ：，化简得 ，，对应 或 。两圆公共点为 与 ，有两个公共点，故相交，与几何法一致。 例题 2（教材原题改编） 在例题 1 的两圆中，求公共弦所在直线的方程与公共弦长。 解析 两圆方程相减（ 减 ）：，即 ，公共弦所在直线为 用 求弦长：圆心 到该直线的距离 故公共弦长 。 用 复核：，弦长 ，两法一致。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知圆 与圆 （）。 （1）当 为何值时，两圆外切？当 为何值时，两圆内切？ （2）当两圆相交时，求两交点所在直线的方程（用含 的式子表示），并求此时 的取值范围。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知圆 与圆 （）恰有三条公切线，求 的值。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：圆心 ，半径 。圆心到直线 的距离 由弦长公式，弦长 ，令其等于 ： 因 ，。回代检验：，确为相交，且弦长 ，未超过直径，符合。 变式 1-2 答案与解析 答案：最大值为 ，最小值为 。 解析：圆心 ，半径 。，故 在圆内，过 的任意直线都与圆相交，不必讨论 与 。 最长弦为过 的直径，。 最短弦与 垂直（弦心距最大时弦最短，而过 的直线中，弦心距 ，当且仅当 时取等），此时 变式 2-1 答案与解析 答案：（1）外切时 ，内切时 ；（2）两交点所在直线为 ，相交时 。 解析：圆 的圆心 、；圆 配方得 ，圆心 、（ 保证圆存在）。圆心距 。 （1）外切：，即 ，，，。 内切：，即 ，得 或 （舍），故 ，。 （2）相交：，即 。右半边 得 ；左半边 得 ，结合 得 。于是 ，平方得 ，解得 。 两交点所在直线：两圆方程相减，，即 ，亦即 。它恒垂直于连心线 （法向量 与 同向）。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析： 配方得 ，圆心 、； 的圆心 、。圆心距 。 两圆恰有三条公切线 两圆外切 ，即 ，，。 检验： 时 ， 的外切条件成立（），公切线为 条外公切线与 条过切点的公切线，共 条，符合。 人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $