练案22 第二章 2.5.1 第2课时直线与圆的方程的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[22]第二章2.52.5.1[第2课时 直线与圆的方程的应用] A组·基础巩固 1.一艘科考船在点0处监测到北偏东30°方向 40海里处有一个小岛A,距离小岛10海里范 围内可能存在暗礁若以点O为原点，正东、正 B 北方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角 A.6 km B.(4√2-1)km 坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为 C.(4√2+1)km D.4 km 5.（多选)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分 布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形 区域内.已知小岛中心位于轮船正西25km 处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行 驶路线可以是 A.南偏西45°方向 B.南偏西30°方向 A.(x+20)2+(y-203)2=100 C.北偏西30°方向 D.北偏西25°方向 B.(x-20)2+(y+203)2=100 6.某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高为4m.现 C.(x+20)2+(y+205)2=10 有一船宽9m,在水面以上部分高3m,通行无 D.(x-20)2+(y-205)2=100 阻.近日水位暴涨了1.5m,为此，必须加重船 2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB=12m,拱高CD 载，降低船身，当船身至少降低 m时， =4m,则拱桥的直径为 船才能安全通过桥洞.（结果精确到0.01m) 7.如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆 弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地 A.15m B.13m 面的支柱，中间的支柱AP,=4米. P P C.9 m D.6.5m 3.某考点配备的信号检测设备的监测范围是半 径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机 (1)建立适当的平面直角坐标系求该圆拱桥 以每分钟50米的速度从设备正东方向50√6 所在曲线的方程； 米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备 (2)求其他支柱的高度（精确到0.01米）. 正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测 的时长为 ( A.1分钟 B分钟 C.2分钟 D.分钟 4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪 储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基 地中心O处向东走1km是储备基地的边界上 的点A,接着向东再走7km到达公路上的点 B;从基地中心O向正北走8km到达公路的 另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点 D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE, 则DE的最短距离为 () 170 B组·综合运用 9.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以 8.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中 火山口中心0(0,0)为圆心，半径为400km的 底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4 圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方 米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建 向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60° 立平面直角坐标系。 方向以每小时40万km的速度做匀速直线 米 运动： (1)运输车将在无人区经历多少小时？ B米 (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按 (1)求该圆弧所在圆的方程； 原来的速度和方向前进，为使该运输车成 (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6 功避开无人区，求至少应离火山口多远出 发才安全 米，车辆行驶时两车的间距要求不小于 0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道 有刷蹭，则该隧道最多可以并排通过多少 辆该种汽车？（将汽车看作长方体） C组·拓展提升 10.如图，正方形ABCD的边长为10米，圆0的 半径为1米，圆心是正方形的中心，点P,Q 分别在线段AD,CB上，若线段PQ与圆O有 公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知 点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动， 同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B 移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q 在点P的盲区中的时长约 秒. 17113.102圆的方程化为标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10,易 知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦AC1=2/0,最短弦 BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F(1,3)为其圆 心.故1EF1=5,所以1BDI=2√10-(5)2=25，则 S8Em=子1AC1.B01=102. 14.【解析】(1)证明：l的方程可化为 (x+y-4)+m(2x+y-7)=0(m∈R), 由2+y70解得=3 lx+y-4=0, 1y=1, 即1恒过定点A(3,1) 因为圆心为C(1,2),IAC1=5<5(半径)， 所以点A在圆C内， 从而直线↓与圆C恒交于两点 (2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC 因为k加=方，所以1的斜率为2 又1过点A(3,1), 所以1的方程为2x-y-5=0. 15.B曲线x=√1-y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表 示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）》 的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y=x+b与曲线x= 个-了（就是x2+y2=1,x≥0）的图象，如图所示.相切时， b=-2,其他位置符合条件时需-1<b≤1.故选B. 16.4±压 由题可得直线1的方程为y=x-1,圆x2+ y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d= 分号则4=√2-（号）=石，设4 √2 B(2),=2P店，(1-x1,-1)=2(3-1,), .x1+2x2=3,y1=-22,设直线1的方程为x=my+1,代人 x2+y2=4,整理得(m2+1)y2+2my-3=0,y1+y2= m2+1:hh=-3 2m m2+1,-为=-2m nm2+7,-2 -】则可解得m=士则日-±否则可得直线的 m2+11 5 斜家为：否 练案[22] 1.D圆心的横坐标为40sin30°=40×7=20，纵坐标 40cos30°=20√3.故选D. 2.B如图，设圆心为0，半径为r,则由勾股 定理得0B2=0D2+BD2,即2=(r-4) +6,解得，=号，所以拱桥的直径为 D 13m. 26 3.C以设备的位置为坐标原点O,其正东方向为x轴正方向， 正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xOy,如图所示， 则A(506,0),B(0,506),可得B:x+y=506,圆0：x2+ y2=10000.记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为0 到4e的距离为00'=-506剩 √2+1 =50万（米），所以MN= 2√m0-00=100(米)，故监测时长为10=2（分钟）.故 50 选C. 北 4.B以0为坐标原点，过OB,OC的直线分别为x轴和y轴，建 立平面直角坐标系（图略），则圆0的方程为x2+y2=1,因为 点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x+y=8.当点D 选在与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）与圆相切所 成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为0+0-81 2 -1=(42-1)(km).故选B. 5.BCD如图，以小岛的中心为原点O,东西 方向为x轴，南北方向为y轴，1km为单 位长度，建立如图所示的平面直角坐标 系，则轮船所在的位置为A(25,0),受暗 礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的 方程为x2+y2=400,设轮船航线所在直 线的方程为y=k(x-25),即x-y-25k =0,由25>20，得k>号或6<-手因为m45°=1< /2+1 专<am60=5,所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30° 方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向.故选BCD. 6.1.22以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角 坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=2, 圆经过点B(10,0),C(0,4),. 100+b2=r2, l(4-6)2=,解得 b=:10.5圆的方程是2+(y+10.5)2=14.5(0≤)≤ r=14.5. 4),令x=4.5,得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身至少 应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),船才能安全通过桥洞. A B 7.【解析】(1)建立如图所示的平面直角坐标系， P2 P A A2 A3 B 设该圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F>0). 8 由于圆心在y轴上，所以D=0, 那么方程即为x2+y2+Ey+F=0. 因为P2,B都在圆上， 所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都是这个圆的方程的解， 于是有方程组 4+4E+F=0, 102+F=0, 解得F=-100,E=21, 所以这个圆的方程是x2+y2+21y-100=0(y≥0). (2)由题知P点的横坐标为x=-5. 所以把点P的横坐标x=-5代入这个圆的方程， 得(-5)2+y2+21y-100=0, 所以y2+21y-75=0, 因为P,的纵坐标y>0,故应取正值， 所以y=二21++4x西=3.1（米）. 2 所以支柱A,P1,AP的高度均约为3.11米 8.【解析】(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y 轴上， 设该圆的半径为r米，则r2=82+(r-4)2,解得r=10, 故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100. (2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， 则（号）'+6+16y10. 解得d=2√42.24. 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4× 0.5=14.5>2/42.24,故该隧道不能并排通过5辆该种 汽车. 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3× 0.5=11.5<2√42.24，隧道能并排通过4辆该种汽车 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 9.【解析】(1)以火山口的位置为坐标原点0，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如 图所示，记运输车从A(600,0)出发，点N处开始进入无人区， 到M处离开无人区， 则圆0方程为x2+y2=4002, 由运输车沿北偏西60°方向运动， 可得直线4B的斜率k=am150°=- 3 则如r:-号60. 即5x+3y-6005=0. 因为0到lB的距离为O0'= 1-600BL=300(km）, /(5)2+32 则MN=2/M0-0'0=2×1007=200√7(km), 所以经历时长为2005=5（时）. 407 26 (2)设运输车至少应离火山口akm出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆0相切， 且直我方程为y=-停(x-0小， 即3x+3y-3a=0, 则0到直线的距离d=-B0=400,解得a=80, √3+9 即运输车至少应离火山口800km出发才安全 10.4以0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(-5,-5+1.5t),Q(5,5-t),则直线PQ的方程为y-5+ 4=10-254(x-5),圆0的方程为2+y2=1,因为直线P0 10 1 4 与圆0有交点，所以 ≤1，化简得子≤ /10-2.5t 10 √1+(1-子)），解得0<1≤4，所以点Q在点P的言区中 的时长约为4秒. 练案[23] 1.C由已知，得C(-2,-4),1=5,C2(-2,-2),2=3,则圆 心距d=1C,C2l=2,所以d=Ir1-2l,所以两圆内切. 2.A圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1,0),圆x2+y2+2x- 4y-4=0的圆心为W(-1,2),两圆的相交弦AB的垂直平分 线即为直线M,其方程-8日即+y-1=0 3.BCD由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为 (-1,2),半径r=2.A项，圆心C(-2,-2),半径1=3. :IC,C1=√7∈(m1-r,1+r),.两圆相交；B项，圆心 C2(2,-2),半径r2=3,:1C2C1=5=r+2,两圆外切，满 足条件；C项，圆心C3(2,2),半径3=5，：1CC1=3=r3-T, 两圆内切；D项，圆心C4(2,-2),半径T4=7,1C4C1=5= T4-r,两圆内切 4.C两圆与两坐标轴都相切，且都过点(4,1)，.两圆的圆 心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心 坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4- b)2+(1-b)2=b2,a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两 个实数根，即a,b为方程x2-10x+17=0的两个实数根， .a+b=10,ab=17..(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4× 17=32,.1C,C21=(a-6)2+(a-b)7=√/32+32=8. 5.C由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公 共点，即两圆相切.因为A(1,0),B(1,6),所以以AB为直径 的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9,圆C:(x-5)2+(y- 6)2=61-m.因为两圆相切，所以1CM1=I3±√61-m1,即 5=13±√6-m1,解得m=57或m=-3.