2.1直线的倾斜角与斜率教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.1　直线的倾斜角与斜率 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　倾斜角与斜率的对应及斜率不存在的处理 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.1.1 倾斜角与斜率 正文：倾斜角的定义与“与 轴平行或重合时规定 ”的说明，斜率 的定义，由“探究”栏目推得的过两点的斜率公式，以及例 1 与课后练习中“求斜率并判断倾斜角”的一组题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 倾斜角：直线 与 轴相交时，以 轴正方向为基准， 的向上方向与 轴正方向所成的角 叫做 的倾斜角； 与 轴平行或重合时规定 。取值范围 。 · 斜率： 时 ； 时斜率不存在。 · 两点斜率公式：过 、 且 的直线斜率为 ；当 （此时 ）时直线垂直于 轴，，公式不适用。 · 方向向量：斜率为 的直线的一个方向向量是 ；已知方向向量 （）时 。 倾斜角与斜率的对应关系： 倾斜角 斜率 随 的变化 —— 单调递增， 不存在 —— 单调递增， 由 增至 图 1　同一坐标系中四条直线的倾斜角与斜率： 为 、、、，其中 的斜率不存在 （3）推导证明 斜率公式（教材方法）。如图 2，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 。当直线 的向上方向满足 时，，在直角三角形 中 当 为钝角时 且 ，交换 、 的位置即化为上式，故公式对一切 成立。 公式的无关性。把 、 对调，分子与分母同时变号，比值不变，故 与两点顺序无关；把坐标系整体平移，两点的横、纵坐标各加同一常数，差 与 不变，故 与原点位置无关。 时斜率不存在。此时直线竖直， 而 ， 无意义，故斜率不存在。 分段单调。正切函数在 与 上分别单调递增，且在两段上取值集合分别为 与 ，故 与 一一对应（），但“ 越大 越大”只能在同一段内说。 图 2　斜率公式的推导：直角三角形 中两直角边恰为横、纵坐标之差 （4）适用条件与易错提醒 · 任意直线都有唯一的倾斜角，但只有 的直线才有斜率， 轴及与 轴平行的直线斜率不存在。 · 由 反求 必须先把范围锁在 ： 的解是 ，不是 。 · “斜率越大，倾斜角越大”不成立： 对应 ， 对应 ， 而 。 · 倾斜角范围跨过 时，斜率范围必须写成两段并集： 且 时 。 · 用两点公式前先比较横坐标， 时不能代入公式，应直接判定 。 · 倾斜角为 的直线有无数条（一切与 轴平行的直线），不要只想到 轴本身。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题的基础题为主：判断“倾斜角与斜率”有关说法的正误、由两点坐标求斜率并确定倾斜角、由倾斜角（斜率）范围求斜率（倾斜角）范围。也常作为解析几何大题与圆锥曲线、导数题的第一问入口。难度基础。对应真题：2023 全国乙卷·理 5/文 7（在圆环内随机取一点 ，求直线 的倾斜角不大于 的概率）。 （6）方法归纳 · 第一步　定范围：把倾斜角锁定在 。 · 第二步　判存在：先看 能否取到 （两点式则先比横坐标），把“斜率不存在”单列一类。 · 第三步　用定义： 或 ，注意正切在两段上分别递增。 · 第四步　回代检验：把求得的 （或 ）代回图形，核对水平、锐角、直角、钝角四种情形与题意一致。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，，，求直线 ，， 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 解析 由 、 知直线 、 的倾斜角为锐角；由 知直线 的倾斜角为钝角。三式横坐标之差均不为 ，斜率都存在。 例题 2（教材原题改编） 已知直线 经过两点 与 。求分别满足下列条件的 的值：(1) 的斜率不存在；(2) 的斜率为 ；(3) 的倾斜角为 。 解析 两点横坐标之差为 ，纵坐标之差为 。 1. 斜率不存在需 ，即 ，此时 、，直线 垂直于 轴，倾斜角为 。 1. 斜率为 需纵坐标之差为 且横坐标之差不为 ： 得 ，此时 ，符合，倾斜角为 。 1. 倾斜角为 即 ：由 得 ，，此时 ，故 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 设 为坐标原点，在区域 内随机取一点 ，求直线 的倾斜角不大于 的概率。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知直线 经过两点 与 ，其中 为实数。(1) 为何值时 的斜率不存在？(2) 若 的倾斜角为锐角，求 的取值范围。 条目二　斜率公式与三点共线、平行与垂直的判定 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 正文的“探究”栏目（由倾斜角与正切推出 与 ）、例 2（判断两直线位置关系）、例 3（判断四边形形状）、例 5（判断三角形形状），以及课后练习中“判断两直线是否平行或垂直”“确定参数的值使两直线平行或垂直”两题。教材在此处指出：两直线斜率相等时可能重合，而“用斜率证明三点共线时常常用到这个结论”。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设两条不重合的直线 、 的倾斜角分别为 、，斜率分别为 、。 · 平行：。当 时，等价于 ；当 时两直线斜率都不存在，仍然平行。 · 垂直：（前提是两斜率都存在）；一条直线斜率为 、另一条斜率不存在时，两直线也垂直，此时 无意义。 · 三点共线：、、 三点共线 过同一点 的两条直线 、 的斜率相等（各连线斜率都存在时），或三条连线的横坐标都相等（同在竖直直线上）。 （3）推导证明 平行。若 ，由同位角相等得 ；反之 时两直线与 轴正方向所成的角相同，故 （不重合时）。当 时， 与 等价，即与 等价；又 上正切取值为单射，所以由 也能反推 。 垂直。不妨设 。两直线相交且 时 ，此时 必为锐角、 为钝角。由诱导公式 ， 即 。反之，若 ，则 ，其中 ，由倾斜角在 内的唯一性得 ，故 。若 ，则 水平，与它垂直的直线竖直、斜率不存在，此时 无意义但两直线仍垂直。 三点共线。 且两直线有公共点 ，由平行的判定知两直线平行或重合；因它们都过 ，故只能重合，即 、、 三点在同一条直线上。 （4）适用条件与易错提醒 · 只能推出“平行或重合”，断言平行必须再排除重合：检验一条直线上的点是否在另一条直线上。 · 使用 前必须确认两斜率都存在；一条水平、一条竖直时两直线垂直，但该式左端无意义。 · 证三点共线前先估测是否有点的横坐标相同：若 ，三点仍在竖直直线上共线，不能因斜率不存在而判为不共线。 · 含参时把 去分母求解，会丢掉分母为 的情形，必须对横坐标相等单独检验。 · 教材中“两条直线 、”默认指不重合的两条直线，重合不属于平行。 （5）考点定位与命题角度 选填基础到中档：给出四点坐标判断两直线位置关系、由平行或垂直关系求参数、用斜率证明三点共线或判断三角形、四边形的形状；在解答题中常作为“把几何条件翻译成斜率关系”的第一步。难度基础。对应真题：2022 新高考Ⅱ卷·3（古建筑“举架”结构，三段桁架的高跨比成等差数列，由屋面所在直线的斜率反求高跨比）。 （6）方法归纳 · 第一步　判存在：分别看各条连线（直线）的横坐标是否相等，把斜率不存在的单独处理。 · 第二步　求斜率：用 求出各直线斜率，含参时写成关于参数的分式。 · 第三步　比关系：相等则平行或重合，乘积为 则垂直，一为 一不存在也垂直。 · 第四步　排重合：把一条直线上的点代入另一条检验，或再算一条连线的斜率，明确结论是“平行”还是“共线”。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，，，，试判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论。 解析 两斜率相等，故 与 平行或重合。直线 的方程为 ，即 ；把 代入右端得 ，即 不在直线 上，两直线不重合。所以 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，， 三点。(1) 判断 的形状；(2) 求 的面积。 解析 1. ，。因为 ，所以 ，；又 ，三点不共线。故 是以 为直角顶点的直角三角形。 1. 先求两条直角边：，。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 如图 3，某古建筑屋面的“举架”结构可抽象为折线 ————：以 为坐标原点、水平方向为 轴，、、、 依次是 、、、 在 轴上的正投影，且 。四段桁架 、、、 所在直线的斜率依次为 、、、，其中 、、 成公差为 的等差数列。若直线 的斜率为 ，求 。 图 3　举架结构中各段桁架的斜率与直线 的斜率（示意图） 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 ，， 三点，其中 为实数。(1) 若三点共线，求 ；(2) 若 是以 为直角顶点的直角三角形，求 。 条目三　斜率的几何意义与分式型最值 （1）教材出处 选择性必修第一册 第二章 2.1.1 斜率的定义 （斜率是直线方向的代数表示）与“直线的斜率与方向向量的关系”的说明；习题 2.1 中“过定点 的直线与连接两点的线段有公共点，求倾斜角与斜率的取值范围”一题。本条把分式 识别为两点连线的斜率，是教材斜率定义与斜率公式的直接几何化。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 · 几何意义：（）表示动点 与定点 连线 的斜率。 · 转化原理：求 的取值范围，等价于求“过定点 的直线与动点 的轨迹有公共点”时该直线斜率的范围；边界位置只可能有两类——直线经过轨迹的端点，或与轨迹相切。 · 线段情形：把 、 的倾斜角标在 上，可取的倾斜角是从 转到 且始终与线段相交的那一段（图 4）。这一段不含 时， 取介于 与 之间的闭区间。 · 这一段含 时， 取两段并集：绝对值小的一段为 ，大的一段为 。 · 圆（弧）情形：直线 与圆 有公共点 圆心到直线的距离不超过半径，即 图 4　过定点 的直线与线段 有公共点的两类情形：(a) 扫描过程不经过竖直位置；(b) 经过竖直位置 （3）推导证明 转化原理。设 为定点， 在曲线 上且 ，记 ，则 在直线 上；反之，若过 且斜率为 的直线与 有横坐标不为 的公共点，则该 可取。所以 的取值集合恰是“过 的直线与 有公共点”时直线斜率的集合，再剔除竖直直线 与 上的点。 与圆有公共点的条件。把直线写成 ，圆心 、半径 ，由点到直线的距离公式 直线与圆有公共点 。两端非负，平方后得关于 的一元二次不等式； 对应切线，即 的边界值。若关于 的二次项系数为 （不等式退化），说明过 还有一条竖直切线 ，该处斜率不存在，须单独说明。 （4）适用条件与易错提醒 · 分式 在 处无意义，但对应的直线可能存在（斜率不存在的竖直直线），两者不能混为一谈。 · 扫描过程跨过竖直位置时， 的范围是两段并集，写成闭区间即错；先定倾斜角、再用正切翻译最稳妥。 · 用 求切线斜率时，若解得关于 的一次方程，说明另一条切线是竖直直线，必须补上“斜率不存在”这一条。 · 相切只给出边界候选，还要检验切点是否落在给定轨迹（半圆、弧、可行域）上，切点不在轨迹上时该边界取不到。 · 端点能否取到取决于轨迹是否含端点：线段含端点取闭区间，动点横坐标范围是开区间时相应边界取不到。 · 不要对 用均值不等式求最值，它是斜率而非“和与积”的结构。 （5）考点定位与命题角度 选填中档、解答题第一问常见：动点在定直线段、圆（弧）、抛物线上，求 型式子的取值范围或最值；线性规划中目标式为分式时也归入此类。命题常设的陷阱是竖直位置与切点是否可取。难度中档。对应真题：2017 浙江卷·21(I)（抛物线 上的动点与定点连线斜率的取值范围）；2015 山东卷·理 9（反射光线与圆相切求斜率）。 （6）方法归纳 · 第一步　认结构：把目标式写成 ，读出定点 与动点的轨迹。 · 第二步　画临界：过 作出全部边界直线——经过轨迹端点的、与轨迹相切的。 · 第三步　算斜率：过端点用两点斜率公式；相切用 解关于 的方程，并单独检验竖直直线 。 · 第四步　定取舍：按倾斜角的连续变化确定取哪一段，检验切点与端点能否取到，写出 的范围（必要时再译成倾斜角范围）。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 经过点 作直线 ，若 与连接 、 两点的线段有公共点，求 的斜率 与倾斜角 的取值范围。 解析 对应倾斜角分别为 与 。线段 上的点横坐标满足 ，全在 轴右侧，故过 且与线段相交的直线转不到竖直位置（图 4(a)）：从 绕 向下旋转，倾斜角由 减小到 ；越过水平位置后从 减小到 。 所以 ，而 的取值范围为 。 例题 2（教材原题改编） 已知两点 、，过点 的直线 与线段 有公共点，求 的斜率 与倾斜角 的取值范围。 解析 ，倾斜角 ；，倾斜角 。 线段 跨过直线 （点 在线段 上），故过 的直线由 转到 的过程要经过竖直位置（图 4(b)），倾斜角可取 内的一切值。 按正切的分段单调性翻译： 时 ； 时斜率不存在，对应直线 ，它与线段确有公共点； 时 。 所以 ，。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 已知点 ，点 是抛物线 上横坐标满足 的动点，求直线 的斜率的取值范围。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知点 在圆 上，求 的取值范围。 图 5　变式 3-2 所用的圆与定点 ：两条切线中一条斜率为 ，另一条是 轴（斜率不存在） 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：区域 是圆环，面积 。直线 的倾斜角只与点 所在射线的方向有关：设 的极角为 ，则倾斜角 （）或 （）。于是 等价于 ，圆心角之和为 。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) 。 解析：(1) 当 时 、，两点横坐标相同而纵坐标不同，直线 垂直于 轴，倾斜角为 ，斜率不存在。 1. 当 时 。倾斜角为锐角 ，即 ，亦即 ，解得 。注意 已被排除， 时 、倾斜角为 ，不是锐角。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：设 。斜率即“升高与水平距离之比”，故 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ，而 的横坐标为 。于是 得 。又 、、 成公差为 的等差数列，，故 ，，。 变式 2-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) 。 解析：三点横坐标 、、 互不相等，三条连线斜率都存在，且 。 1. 三点共线 ，即 ，解得 。 1. 以 为直角顶点 。由 及 得 ，。此时 ，三点不共线，符合题意。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：设 ，。因 ，可约分 由 得 ，故斜率的取值范围为 。两端都取不到： 时 与 重合，直线 不存在； 时 不取到该点。 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析： 是圆上动点 与定点 连线 的斜率 （要求 ）。设直线 ：，即 。圆心 、半径 ，由 得 平方合法，因两端均非负。此处关于 的二次项恰好消去，说明过 的另一条切线是竖直直线 ：它与圆相切于 ，而该点使分式 无意义，故这一位置不给出 值（图 5）。 当 时直线与圆有公共点，且公共点横坐标均不为 （把 代入 得 ，而 不在圆上），所以 的取值范围是 。 人教A版·选择性必修第一册　第2章 2.1 直线的倾斜角与斜率　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $