空间向量的应用之解决线线关系问题 讲义-2024届高三数学一轮复习

空间向量解决线线关系问题 · 空间向量的坐标运算 · 空间向量解决线线问题的理论模型 1. 建系 2. 描点 3. 写向量 4. 向量运算 5. 线线关系转换 空间向量解决线线问题-精编题目分层训练 【模块1】轴上点、中点等特殊点运算 1. 如图，在正方体中，分别是的中点 (1) 求证：D1F⊥DE (2) 求AE与A1F的夹角余弦值 2.如图直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，F为AC中点，E为B1C1中点. (1) 求BF和A1E的夹角余弦值 (2) 求EF与A1C1的夹角余弦值 3.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)求DF与PC的夹角余弦值． 【模块2】非特殊点运算 1. 如图，在正方体中，分别是的中点， G为AC1上的点，且AG:GC1=1:2， (1) 求AE与DG的夹角余弦值 (2) 求CG与D1F的夹角余弦值 2. 如图直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，F为AC中点，E为B1C1中点， G为EF上的点，且满足EF=3FG， (1) 求BC和A1G的夹角余弦值 (2) 求C1G与A1A的夹角余弦值 3.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， PD＝DC，E是AB的中点，F是PB的三等分点． (1)求EF与CD的夹角正弦值； (2)求DF与PA的夹角正弦值． 【模块3】轴上动点-单维坐标变化 1. 如图，在正方体中，分别是的中点 (1) DC连上是否存在一点G，使得D1G⊥AE，若存在，求DG的长度；否则说明理由。 (2) AA1是否存在一点H，使得DH与A1F的夹角为60度。 2. 如图直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，F为AC中点，E为B1C1中点， G为AC上的动点，H为B1C1上的动点. (1) 求BC和B1G的夹角余弦值范围。 (2) 当EF与AH的夹角最大时，B1H与HC1的长度之比是多少。 3.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， PD＝DC=6，E是AB的中点，F是PB的三等分点． (1)求BC上是否存在一点G，使得DG⊥EF； (2)若H为PD上的一点，当BH与CE夹角最大时，三棱锥A-PCH的体积是多少． 【模块4】非轴上动点-多维坐标变化 1. 如图，在正方体中，分别是的中点 (1) AC连上是否存在一点G，使得D1G⊥CE，若存在，求DG的长度；否则说明理由。 (2) A1C是否存在一点H，使得DH与A1F的夹角为60度。 2. 如图直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，F为AC中点，E为B1C1中点， G为AE上的动点，H为EF上的动点. (1) A1G与BF能否垂直，若能，求EG的长度；若不能，说明理由。 (2) 当BE与AH的夹角为60度时，求三棱锥H-A1C1E的体积是多少。 3.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， PD＝DC=4，E是AB的中点，F是PB上的动点． (1)当EF⊥AC时，求三棱锥F-ACE的体积； (2)若H为PA上的一点，当BH与CE夹角为90度时，三棱锥A-BDH的体积是多少． 4.如图，在正方体中，P是AD1的三等分点， (1) 试求：BP与C1D的夹角余弦值 (2) 求证：A1D1上是否存在一点E，使得C1E⊥BP． $$