8.3列联表与独立性检验教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第8章 8.3　列联表与独立性检验 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　2×2列联表与统计量 （1）教材出处 选择性必修第三册 第八章 8.3.1 分类变量与列联表 正文：分类变量的含义、 列联表的结构，以及正文例1（比较两校学生数学成绩优秀率）；8.3.2 独立性检验 正文给出 统计量与计算公式。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设两个分类变量 的取值均为 ，它们的成对样本数据可整理为 列联表： 合计 合计 教材给出的检验统计量为 这里 。 反映交叉频数是否偏离“独立”时的结构； 同时纳入行合计、列合计与样本容量，使不同样本规模的数据具有可比较的检验标准。 （3）推导证明 若 与 独立，则两个条件下的频率结构相同： 交叉相乘，得 ，即 。因此， 越小，交叉频数越接近“独立”时的结构。 把 分别看成四个单元格的实际频数。若 成立，四个单元格的期望频数为 令 。逐项计算偏差： 由 可得 这就是教材中 统计量的代数形式。 （4）适用条件与易错提醒 · 表中的 必须是同一批成对观测的原始频数。不能把两个变量分别抽样得到的人数拼成一张表。 · 分类变量可以合并。若原数据为“优级品、合格品、不合格品”，研究优级品率时先合并为“优级品”与“非优级品”。 · 行合计与列合计必须由表中四个数重新相加得出。把题中给出的合计直接抄入而忽略分类边界，常导致 、 错位。 · 交换两行或交换两列，可能改变 的符号，但平方后不影响 ；交换过程中不能把类别标签与数据错位。 · 大只说明“独立”这一假设与数据不相容的证据较强，不直接说明两个变量的关联强度。分析实际问题时，还应分别比较 、 时 的频率。 （5）考点定位与命题角度 高频出现在选择题、填空题与解答题的第一问：给出调查数据，要求补全 列联表、识别 、计算 。命题常以“成绩优秀与班级”“检查结果与是否患病”“优级品与车间”等情境为载体。 对应 2025 全国一卷·15、2024 全国甲卷·17、2023 全国甲卷·19。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　确定两个分类变量各自的两个类别，明确行、列标签。 · 第二步　把原始调查数据填入四个交叉格，再计算行合计、列合计和 。 · 第三步　按表中位置代入 公式，先算 ，再乘 并平方，最后除以四个边际合计的乘积。 · 第四步　根据题目要求决定是否继续与临界值比较；若需要解释关联方向，再比较相应条件频率。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 88 名学生。通过测验得到如下数据：甲校 43 名学生中有 10 名数学成绩优秀；乙校 45 名学生中有 7 名数学成绩优秀。将数据整理成 列联表，并通过频率比较两校学生的数学成绩优秀率是否存在差异。 解析 令 表示甲校学生， 表示乙校学生； 表示数学成绩不优秀， 表示数学成绩优秀。 学校 不优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 甲校数学成绩优秀的样本频率为 ，乙校数学成绩优秀的样本频率为 。比较两式： 因为 ，所以 在该组抽样数据中，甲校学生的数学成绩优秀频率高于乙校学生。依据频率稳定于概率的原理，可以从样本频率看出两校优秀率存在差异的迹象；但频率有随机性，还需要用独立性检验作进一步推断。 例题 2（教材原题改编） 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，抽取 880 名学生。甲校 430 名学生中有 100 名数学成绩优秀；乙校 450 名学生中有 70 名数学成绩优秀。将数据整理成 列联表，并计算 。 解析 按“不优秀”与“优秀”两类统计： 学校 不优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 取 、、、，则 。代入公式： 两校样本中的优秀频率仍分别为 与 ，与例题 1 的 、 相同；但样本容量扩大后， 的数值随之增大。这说明 同时吸收“频率差”和“样本规模”的信息。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人，得到如下列联表： 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 1. 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ，求 的估计值； 1. 根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。 变式 1-2（优质模拟改编） 某校从 100 名高二学生中调查是否愿意参加社区志愿服务。统计结果为：男生 50 人中有 30 人愿意，女生 50 人中有 25 人愿意。将数据整理成 列联表，并计算 。 条目二　独立性检验的规则与小概率原理 （1）教材出处 选择性必修第三册 第八章 8.3.2 独立性检验 正文：零假设 的含义、小概率值 、临界值 、基于 的检验规则；正文例2（沿用两校数学成绩数据，）与正文例3（两种疗法效果差异）。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 为两个取值于 的分类变量。独立性检验先提出零假设 若 成立，则两类 条件下 的概率相同。教材给出统计量 对于小概率值 ，临界值 由 确定。常用值如下： 检验规则： · 当 时，推断 不成立，即认为 与 不独立；此推断犯错误的概率不超过 。 · 当 时，没有充分证据推断 不成立，可以认为 与 独立。 （3）推导证明 独立性检验的思想与反证法相近，但不是“推出逻辑矛盾”，而是“在 下推出小概率事件，并据此拒绝 ”。 设总体中 若 成立，即 与 独立，则 。用样本频率估计这两个概率，两个频率的差若较大，说明数据与 不合；若差较小，则不能据此拒绝 。 统计量把交叉频数偏差与边际合计、样本容量统一到一个数值上。给定 ，教材附表中 满足 如果 为真，事件 在一次随机抽样中发生的概率为 。当 很小时，这个事件属于小概率事件。现在样本算出的 不小于 ，意味着在“独立”的假设下出现了一个不太可能出现的观测结果。依据小概率原理，我们有理由认为 与数据不相容，于是推断 不成立。由于“ 为真却因小概率事件发生而拒绝 ”的概率不超过 ，所以该推断犯错误的概率不超过 。 反之，若 ，数据中没有出现与 相矛盾的小概率事件，我们没有充分理由拒绝 。注意，“没有充分理由拒绝”不等于“已经证明 成立”。 （4）适用条件与易错提醒 · 检验标准 应在得出结论前选定。 越小，拒绝 所需证据越强，临界值也越大。 · 不能拿 对应的临界值 去判断 的检验；题目说“小概率值 ”时，应比较 。 · “有 的把握认为有关”与“犯错误的概率不超过 ”是同一类检验规则的表述，不是说两个变量有关联的概率为 。 · 拒绝 只说明两个分类变量存在统计关联，不自动说明因果方向。吸烟与患病、疗法与疗效等情境中，是否由前者引起后者需要更严谨的研究设计。 · 时只能写“没有充分证据推断 不成立”，不能写成“已经证明两个变量无关”。 · 若样本容量较大，很小的频率差也可能使 很大。实际解释时要把统计显著性与频率差大小分开说明。 （5）考点定位与命题角度 选择题常考结论表述，例如“能否认为有关”“犯错误的概率不超过多少”“是否有 的把握”。解答题通常先补全列联表，再计算 ，最后与一个或多个临界值比较。 对应 2024 全国甲卷·17（同时比较 与 ）、2025 全国一卷·15（）、2023 全国甲卷·19（先由数据构造列联表，再作检验）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　提出 ，并用问题情境写出含义，如“两车间优级品率无差异”“检查结果与是否患病无关”。 · 第二步　整理 列联表，算出 。 · 第三步　按题目给定的 查对应 ，只与这一个临界值比较。 · 第四步　写出规范结论：拒绝 时说明犯错误概率不超过 ；未拒绝 时说“没有充分证据”。若题目追问影响规律，再比较条件频率。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 依据小概率值 的独立性检验，分析两校学生数学成绩优秀率是否有差异。已知 列联表为： 学校 不优秀 优秀 合计 甲校 乙校 合计 解析 零假设 ：学校与数学成绩是否优秀相互独立，即两校学生数学成绩优秀率无差异。 由列联表取 、、、，。代入公式： 因为 对应的临界值为 ，且 所以没有充分证据推断 不成立。依据小概率值 的独立性检验，可以认为两校学生的数学成绩优秀率没有明显差异。这个结果与仅比较两个频率得到的表面差异不同：频率差异可能来自样本随机性。 例题 2（教材原题改编） 某医院用甲、乙两种疗法治疗某病。采用有放回简单随机抽样方法检查 136 名患者，得到如下数据：接受甲疗法 67 名，其中未治愈 15 名、治愈 52 名；接受乙疗法 69 名，其中未治愈 6 名、治愈 63 名。依据小概率值 的独立性检验，分析两种疗法疗效是否存在差异。若存在差异，比较两种疗法的治愈频率。 解析 整理列联表： 疗法 未治愈 治愈 合计 甲 乙 合计 零假设 ：疗法与疗效相互独立，即两种疗法效果无差异。 取 、、、，。代入公式： 因为 对应的临界值为 ，且 所以依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为两种疗法疗效存在差异，此推断犯错误的概率不超过 。 再比较治愈频率：甲疗法为 ，乙疗法为 。因 所以 。样本中乙疗法的治愈频率更高。若把检验标准提高到 ，对应临界值为 ，则 ，不能在该标准下得出同样强的结论。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 某工厂进行生产线智能化升级改造。升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下： 车间 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 乙车间 合计 填写如下列联表： 车间 优级品 非优级品 合计 甲车间 乙车间 合计 能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 变式 2-2（优质模拟改编） 某校为了解高三学生是否愿意参加学校组织的暑期社区服务，随机调查了 400 名学生。统计结果为：男生 220 人中 70 人愿意，女生 180 人中 80 人愿意。整理成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断是否愿意参加暑期社区服务与性别是否有关。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：(1) ；(2) 有足够证据认为超声波检查结果与患该疾病有关。 解析：(1) 超声波检查结果不正常的人数为 ，其中患该疾病的人数为 ，所以用样本频率估计概率： 1. 零假设 ：超声波检查结果与是否患该疾病相互独立。 取 、、、，。代入公式： 计算括号内： 因此 因为 对应临界值 ，且 所以依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，此推断犯错误的概率不超过 。 变式 1-2 答案与解析 答案：列联表为 性别 愿意 不愿意 合计 男生 女生 合计 。 解析：男生 50 人中愿意 30 人，所以不愿意人数为 。女生 50 人中愿意 25 人，所以不愿意人数为 。总人数 。 取 、、、，代入公式： 计算： 所以 若题目只要求计算统计量，则到此结束；若再作独立性检验，应把该值与题目给定 对应的临界值比较。 变式 2-1 答案与解析 答案： 列联表为 车间 优级品 非优级品 合计 甲车间 乙车间 合计 。能有 的把握认为两车间优级品率存在差异，但没有 的把握认为存在差异。 解析：把“合格品”和“不合格品”合并为“非优级品”。甲车间非优级品数为 ，乙车间非优级品数为 。 取 、、、，。代入公式： 计算： 因此 与临界值比较： 依据 的独立性检验，推断 不成立，即有 的把握认为两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不超过 。依据 的独立性检验，由于 ，没有充分证据达到 的把握。 从样本看，甲车间优级品频率为 ，乙车间优级品频率为 ，即 与 。乙车间的优级品频率更高。 变式 2-2 答案与解析 答案：列联表为 性别 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 女生 合计 。依据 的独立性检验，可以认为是否愿意参加暑期社区服务与性别有关。 解析：男生愿意参加 人，总人数 人，所以不愿意参加人数为 。女生愿意参加 人，总人数 人，所以不愿意参加人数为 。 零假设 ：是否愿意参加暑期社区服务与性别相互独立。 取 、、、，。代入公式： 计算： 因此 对应临界值 。因为 所以推断 不成立，即认为是否愿意参加暑期社区服务与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 。 若把检验标准提高到 ，对应临界值 ，由于 ，在该标准下证据不够充分。这正体现了 越小，拒绝 所需证据越强。 人教A版·选择性必修第三册　第8章 8.3 列联表与独立性检验　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $