8.3 培优课 成对数据统计分析中的综合问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

培优课　成对数据统计分析中的综合问题  能力提升

重点解读

1.回归分析以及独立性检验的相关知识（数学抽象）.

2.掌握回归分析与独立性检验、概率统计等交汇问题（数学建模、数据分析）.

一、回归分析与独立性检验交汇

【例1】　环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.

（1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”是否有关联？

解：（1）2×2列联表如下：

零假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”无关，

因为χ2＝≈9.62＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关，此结论犯错的概率不大于0.01.

（2）经计算得经验回归方程为＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经验回归方程是否有价值.

解：（2）因为经验回归方程为＝0.12x－73.36，所以＝＝0.12，

又因为＝252，＝36，

所以r＝＝·＝0.12×＝0.84.

因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的相关性，所以该经验回归方程有价值.

【规律方法】

此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好计算公式、表格的整理与读取即可.

训练1　甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表：

由表中数据得Y关于X的经验回归方程为＝－171.7＋190X（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm.

（1）求m的值；

解：（1）依题意，得＝1.03，＝，

由＝－171.7＋190X，得＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14，

所以m的值为14.

（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断加工零件的质量与甲、乙机床是否有关联？

解：（2）由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm，

所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：

零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关，

根据以上数据得，χ2＝＝20＞6.635＝x0.01，

根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，

所以可认为加工零件的质量与甲、乙机床有关，此推断犯错的概率不大于0.01.

二、回归分析与概率、统计交汇

【例2】　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：

现用＝＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；（，用分数表示）