8.3 培优课 成对数据统计分析中的综合问题 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

培优课　成对数据统计分析中的综合问题 能力提升 重点解读 1.回归分析以及独立性检验的相关知识（数学抽象）. 2.掌握回归分析与独立性检验、概率统计等交汇问题（数学建模、数据分析）. 一、回归分析与独立性检验交汇 【例1】　环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于（xi，yi）（i＝1，2，3，…，50）的散点图，并用直线x＝1 500与y＝100将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8. （1）完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”是否有关联？ PM2.5 平均浓度 汽车日流量 合计 汽车日流量 x＜1 500 汽车日流量 x≥1 500 PM2.5的平均 浓度y＜100 PM2.5的平均 浓度y≥100 合计 解：（1）2×2列联表如下： PM2.5平均浓度 汽车日流量 合计 汽车日流量x＜1 500 汽车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 零假设为H0：“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”无关， 因为χ2＝≈9.62＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为“PM2.5平均浓度不小于100 μg/m3”与“汽车日流量不小于1 500辆”有关，此结论犯错的概率不大于0.01. （2）经计算得经验回归方程为＝0.12x－73.36，且这50天的汽车日流量x的标准差sx＝252，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.求样本相关系数r（若｜r｜≥0.75，则认为y与x有较强的线性相关性），并判断该经验回归方程是否有价值. 解：（2）因为经验回归方程为＝0.12x－73.36，所以＝＝0.12， 又因为＝252，＝36， 所以r＝＝·＝0.12×＝0.84. 因为｜r｜＝0.84＞0.75，所以y与x有较强的相关性，所以该经验回归方程有价值. 【规律方法】 此类题型只需遵循回归分析的步骤，运用独立性检验的原理，掌握好计算公式、表格的整理与读取即可. 训练1　甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表： 零件尺寸X 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数Y 甲 6 14 17 17 6 乙 m 8 8 8 22 由表中数据得Y关于X的经验回归方程为＝－171.7＋190X（1.01≤X≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.01 cm. （1）求m的值； 解：（1）依题意，得＝1.03，＝， 由＝－171.7＋190X，得＝－171.7＋190×1.03，解得m＝14， 所以m的值为14. （2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断加工零件的质量与甲、乙机床是否有关联？ 解：（2）由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm， 所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为： 机床 机床加工零件质量 合计 合格零件数 不合格零件数 甲 48 12 60 乙 24 36 60 合计 72 48 120 零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙机床无关， 根据以上数据得，χ2＝＝20＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立， 所以可认为加工零件的质量与甲、乙机床有关，此推断犯错的概率不大于0.01. 二、回归分析与概率、统计交汇 【例2】　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用＝＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该经验回归方程；（，用分数表示） 解：（1）因为＝＋，令ti＝，则＝＋t. 因为＝＝500， 所以＝＝＝＝， 所以＝－＝500－×0.37＝， 所以＝＋t， 所以所求经验回归方程为＝＋. （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值. 参考数据（其中ti＝）： tiyi －7 1 750 0.37 0.55 解：（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5， P（X＝3）＝（）3＋（）3＝， P（X＝4）＝（）2××＋（）2××＝， P（X＝5）＝（）2×（）2×＋（）2×（）2×＝. 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 P E（X）＝3×＋4×＋5×＝. 【规律方法】 回归分析与概率、统计交汇问题的解题思路 （1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率、均值、方差等； （2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的； （3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型. 训练2　某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得（xi－）2＝80，（yi－）2＝9 000，（xi－）（yi－）＝800. （1）求样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度； 解：（1）样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数为 r＝＝＝≈0.94. 由于样本相关系数｜r｜∈[0.75，1]，则相关性很强，｜r｜的值越大，相关性越强. 由r＝0.94∈[0.75，1]，故相关性很强. （2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列. 解：（2）由题意得X的可能取值为0，1，2， 20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数， 所以P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 三、独立性检验与概率、统计交汇 【例3】　某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （1）应收集多少位女生的样本数据？ 解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据. （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率； 解：（2）由频率分布直方图得该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75， 所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联？ 解：（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225位学生的每周平均体育运动时间超过4小时，75位学生的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210个是关于男生的，90个是关于女生的，且有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，所以每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表如下： 每周平均体育运动时间 性别 合计 男生 女生 不超过4小时 45 30 75 超过4小时 165 60 225 合计 210 90 300 零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关联. 结合2×2列联表可得χ2＝＝≈4.762＞3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.05. 【规律方法】 独立性检验与概率、统计交汇问题的解题思路 本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验与概率、统计问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解. 训练3　各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2025年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人） 参加“强基培训” 不参加“强基培训” 男生 25 35 女生 5 25 （1）根据表中数据并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？ 解：（1）零假设为H0：参加“强基培训”与性别无关联， 由题意，χ2＝＝5.625＞3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可推断H0不成立，即认为参加“强基培训”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2025年本市考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中参加“强基培训”的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解：（2）由题意知，考生参加“强基培训”的概率p＝＝，不参加“强基培训”的概率为， 结合题意知X的可能取值为0，1，2，3，则X～B（3，）， P（X＝0）＝（）3＝， P（X＝1）＝××（）2＝， P（X＝2）＝×（）2×＝， P（X＝3）＝（）3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 由X～B（3，），得数学期望E（X）＝3×＝1. 1.为了解某地区2025年6～10月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据. 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码x 1 2 3 4 5 销售总额y/ 亿元 4 6 10 15 20 （1）求y关于x的经验回归方程； 解：（1）由题可知＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝×（4＋6＋10＋15＋20）＝11， 所以＝＝＝4.1，＝11－4.1×3＝－1.3， 故所求的经验回归方程为＝4.1x－1.3. （2）该机构随机调查了该地区200位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有60人，女性有90人，购买电动汽车的男性有40人，女性有10人，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为购买电动汽车与性别有关. 附：xiyi＝206，＝55，在利用最小二乘法求得的经验回归方程＝x＋中，＝，＝－. 解：（2）由题可得2×2列联表如下. 性别 购车种类 合计 非电动汽车 电动汽车 男 60 40 100 女 90 10 100 合计 150 50 200 零假设为H0：购买电动汽车与性别无关，根据表中数据，得χ2＝＝＝24＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与性别有关. 2.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号x 1 2 3 4 5 6 7 小明成功次数（y） 16 20 20 25 30 36 a 小红成功次数（z） 16 22 25 26 32 35 35 （1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率； （2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的经验回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值. 参考数据：1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582；12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 解：（1）因为36≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55－36＋1＝20种情况， yi，zi分别表示小明、小红第i天成功次数， 又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，yi＋a≥zi， 即16＋20＋20＋25＋30＋36＋a≥16＋22＋25＋26＋32＋35＋35，得a≥44， 又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有55－44＋1＝12种情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为＝. （2）由题设可知：xiyi＝1×16＋2×20＋3×20＋4×25＋5×30＋6×36＝582， ＝＝， ＝＝， 所以＝＝，＝－＝－×＝11， 所以成功次数y关于序号x的经验回归方程为＝x＋11. 当x＝7时，＝×7＋11＝38， 估计小明第7天成功次数a的值为38. 3.为了调查某地区成年人血液的某项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下数据.根据医学相关知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常. 男性：5　7　9　8　18　19　21　23　27　29　25 32　34　35　37　38　41　42　47　54 女性：13　14　21　25　25　28　31　32　34　35 38　40　43　47　48　49　52　55　56　57 （1）依据样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联； （2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）由题中数据可得2×2列联表为 性别 血液指标 合计 正常 偏高 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计 28 12 40 χ2＝≈1.905＜6.635＝x0.01，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关联. （2）由样本数据可知，男性此项血液指标正常的概率为，女性此项血液指标正常的概率为.抽取的人中此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0，1，2，3，4. P（X＝0）＝（1－）2×（1－）2＝， P（X＝1）＝××（1－）×（1－）2＋（1－）2×××（1－）＝， P（X＝2）＝（）2×（1－）2＋××（1－）×××（1－）＋（1－）2×（）2＝， P（X＝3）＝××（1－）×（）2＋（）2×××（1－）＝， P（X＝4）＝（）2×（）2＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝， 因此此项血液指标为正常的人数X的数学期望为. 4.某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2 000个线上外卖订单，其中好评订单有1 600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联； 更换厨师前后 订单评价 合计 好评 非好评 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为η，求当事件“η＝r”的概率最大时r的值. 解：（1）2×2列联表如下： 更换厨师前后 订单评价 合计 好评 非好评 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1 600 400 2 000 合计 2 200 600 2 800 零假设为H0：该餐馆订单的好评率与更换厨师无关联. 根据列联表中数据，经计算得到χ2＝≈8.485＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有8×＝6个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数ξ的可能值有1，2，3， 则P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 数学期望E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝. （3）依题意，更换厨师后好评率为＝0.8， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则η～B（100，0.8）， 于是P（η＝r）＝0.8r×0.2100－r，r≤100，r∈N， 则＝＝， 由＞1，解得r＜79，而r∈N，则当0≤r≤79时，P（η＝r）单调递增； 由≤1，解得r≥79，则当r≥80时，P（η＝r）单调递减， 所以使事件“η＝r”的概率最大时r的值为80. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $