8.1成对数据的统计相关性教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第8章 8.1　成对数据的统计相关性 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　相关关系与函数关系：先画散点图，再谈量化 （1）教材出处 选择性必修第三册 第八章 8.1.1 变量的相关关系 正文：相关关系的概念、散点图、正相关与负相关、线性相关与非线性相关；8.1.1 例 1（部分地区鸟的种类数与该地区海拔高度）；8.1.2 开头关于“ 的大小与数据的度量单位有关，不宜直接用它度量相关程度”的“思考”。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 函数关系：若变量 是变量 的函数，则由 的值可以唯一确定 的值，这是一种确定性关系。 · 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系，它是一种非确定性关系。 · 散点图：把成对样本数据 用直角坐标系中的点表示出来，这些点组成的统计图叫做散点图。散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法。 · 正相关与负相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；呈现减少的趋势，称这两个变量负相关。 · 线性相关与非线性相关：两个变量呈现正相关或负相关，且散点落在一条直线附近，称线性相关；具有相关性但不是线性相关，称非线性相关（曲线相关）。 图 1　四类典型散点图：(1) 正相关且线性；(2) 负相关且线性；(3) 不相关；(4) 非线性相关 （3）推导证明 其一，为什么必须引入“相关关系”。设 取定某个值 ，若 的所有可能取值构成含两个以上元素的集合，则由 不能唯一确定 ， 与 就不是函数关系；但把大量成对数据放在一起时， 的取值随 增大而呈现整体趋势，这正是“有关系但不确定”，只能用统计对象（散点图、后面的样本相关系数）刻画，不能用解析式刻画。 其二，为什么散点图之后还要量化，以及为什么不能直接用 度量相关程度。 · 符号有含义：以 为新原点平移数据，则第 I、III 象限内的点满足 ，第 II、IV 象限内的点满足 。正相关时多数点落在第 I、III 象限，故 ；负相关时 。 · 大小无意义：若只把 的度量单位换成原来的 （数据变为 ，），而 的单位不变，则 一变， 就按比例改变，两组成对数据无法比较。要消去单位与量级，必须把 除以两个方向上的“尺度” 与 ，这正是条目二样本相关系数的由来。 （4）适用条件与易错提醒 · 相关关系不是函数关系：不能用一个变量的值唯一确定另一个变量的值。“身高越高，体重就越重”是把相关关系误当成函数关系，正确的表述是“身高增加时体重呈增加的趋势”。 · 相关关系不等于因果关系。两变量相关，可能由第三个变量同时影响它们造成。 · 判断正、负相关看整体趋势，个别点的偏离不改变结论；散点图只作定性判断。 · 两组数据都呈上升趋势时，散点图难以比较谁的相关程度更强（图 1 中 (1) 与图 5 中 (b) 都是正相关），必须量化为样本相关系数。 · 整体趋势与局部趋势可以不一致：8.1.1 例 1 中鸟的种类数与海拔高度整体正相关（按表中数据算得样本相关系数约为 ），但分别在海拔 m 以上的 4 组与以下 7 组内部计算，得到的都是绝对值不大的负值，即“局部正相关不明显”。 · “不相关”与“有相关关系但不是线性相关”是两回事，前者散点杂乱无章，后者散点落在某条曲线附近（图 1 中 (3) 与 (4)）。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题为主，考“区分函数关系与相关关系”“由散点图判断正负相关、线性与非线性”；解答题中常作第 (1) 问，即画散点图并说明能否用线性模型刻画。难度基础。对应 2023 上海·14（由 50 名学生身高与体重的散点图判断正相关）、2024 上海·13（由相关系数为正判断变化趋势）、2022 全国乙卷·理 19 第 (1) 问（由成对样本数据估计两个平均值）。 （6）方法归纳 · 第一步　定类型：判断能否由一个变量唯一确定另一个变量，能则是函数关系，否则在“相关关系”与“没有关系”之间作判断。 · 第二步　建系描点：取自变量为 轴、因变量为 轴，按数据适当选取单位长度，把每对数据描成一个点。 · 第三步　看走向：点带从左下角到右上角为正相关，从左上角到右下角为负相关，杂乱无章为不相关。 · 第四步　看形状：点带近似呈一条直线，判为线性相关；近似呈曲线，判为非线性相关，此时不得用线性模型刻画。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据。鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？ 地区 A B C D E F G H I J K 海拔高度/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549 鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 解析 以海拔高度为 轴、鸟的种类数为 轴描点，得到图 2 所示散点图。 图 2　例 1 所用的鸟的种类数与海拔高度的散点图 从整体上看，散点从左下角到右上角分布，海拔高的地区鸟的种类数普遍较多：海拔 m 以上的 4 组数据中鸟的种类数为 29，30，36，37，海拔 m 以下的 7 组数据中鸟的种类数为 4，11，11，13，13，15，17，两组几乎没有重叠。所以鸟的种类数与海拔高度具有相关关系，且是正相关。 但从局部看，无论在哪一组内部，散点都没有明显的上升趋势（按表中数据分别计算，两组的样本相关系数都是绝对值不大的负数），即正相关只在整体上成立，在局部范围内不明显。这说明用散点图判断相关关系要着眼于全部数据的整体趋势，且相关关系允许个别点明显偏离。 例题 2（教材原题改编） 判断下列各题中两个变量之间的关系是函数关系、相关关系，还是没有关系，并说明理由。 1. 圆的面积 与半径 ； 1. 汽车匀速行驶时的路程 与行驶时间 ； 1. 一个人的体重与他的视力； 1. 同一品种水稻的亩产量与施肥量； 1. 高一年级学生的数学成绩与物理成绩。 解析 1. 函数关系，，半径确定则面积唯一确定。 1. 函数关系，（ 为常数），时间确定则路程唯一确定。 1. 没有关系，体重变化不影响视力，散点杂乱无章。 1. 相关关系。施肥量一定时，亩产量还受土壤、光照、水分等影响，不能由施肥量唯一确定，但整体上施肥多的地块产量呈增加趋势。 1. 相关关系。数学成绩好不能唯一确定物理成绩，但两者呈同向变化的趋势。 区分要点：函数关系是“确定”的，能用解析式表达；相关关系是“不确定但有趋势”的，只能用成对样本数据与统计方法刻画。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 已知气候温度和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，则下列描述正确的是（　　） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 变式 1-2（优质模拟改编） 某小卖部记录了 6 天卖出热茶的杯数与当天气温，数据如下。 天数 1 2 3 4 5 6 气温/°C 25 18 12 10 4 0 杯数/杯 18 30 37 35 50 54 1. 画出散点图； 1. 判断气温与热茶杯数之间是否具有相关关系，若是，指出是正相关还是负相关，是否近似线性相关； 1. 能否由当天的气温唯一确定当天热茶的杯数？为什么？ 条目二　样本相关系数 的定义、等价计算式与取值范围 （1）教材出处 选择性必修第三册 第八章 8.1.2 样本相关系数 正文：以均值为中心平移数据、标准化处理、样本相关系数的定义、 的取值范围与几何意义（ 与标准化数据数组夹角的关系）；8.1.2 例 1（年龄与人体脂肪含量）、例 2（某城市居民年收入与 A 商品销售额）；课后习题 8.1 中由三对观测数据求 的一题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 对于变量 与变量 的成对样本数据 ，记均值分别为 、，则变量 与 的样本相关系数为 命题与计算中常用它的等价形式 主要性质： · ； 时称成对样本数据正相关， 时称负相关。 · 越接近 1，成对样本数据的线性相关程度越强； 越接近 0，线性相关程度越弱。 · 当且仅当全部样本点落在同一条直线上，斜率为正时 ，斜率为负时 。 · 只表示这组成对样本数据没有线性相关关系，不排除它们之间存在非线性相关关系。 · 是一个无量纲的数，与 、 数据所用的度量单位无关。 （3）推导证明 ① 等价计算式。 由 展开得 对 同理，代入 的定义即得等价形式。 ② 取值范围。 记 ，。若 ，则 无变化， 无意义；下设 。对任意实数 ， 这是关于 的二次式且开口向上、恒非负，故其判别式不大于 0： 即 ，两边开方再除以 ，得 。 ③ 等号条件。 上式取等号当且仅当二次式有唯一零点 ，即 对一切 成立，亦即 ，这说明全部样本点落在一条直线上；此时 故 （直线斜率为正）时 ， 时 。 ④ 标准化与“夹角”的解释。 令 则 ，且 。于是 两式非负即得 。 越接近 1，标准化后的数据越靠近直线 ； 越接近 ，越靠近 ； 时两个平方和都等于 2，标准化数据既不靠近 也不靠近 。 的形式与“两组数据夹角的余弦”完全一致，这就是教材所说“样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系”。 图 3　变式 2-2 所用的成对样本数据：以 为原点平移后，点主要落在第 I、III 象限 （4）适用条件与易错提醒 · 使用前提是 不全相等且 不全相等，否则 或 ， 无意义。 · 分子是“对应项乘积之和”，不是“和的乘积”： 与 完全不同，后者恒等于 0。 · 用等价计算式时，先算 、 与 、、 三个和式，最后一次性开方，中途不四舍五入；题目所给参考数据（如 ）要用来化简分母。 · 把 、 的数据错位重排会改变 ，成对样本数据必须一一对应。 · 与单位无关：把 换成 （）， 与 同乘 ， 不变；但 本身会变，不能直接用 比较两组数据。 · 只说明“这组成对样本数据的点共线”，不能据此断言两个变量之间存在函数关系。 · 样本容量很小时 偏大可能纯属巧合，教材用只有 3 对观测数据的例子说明这一点（见条目三例 1）。 （5）考点定位与命题角度 解答题第 (2) 问高频考点：给原始数据，或给出 、、 等统计量，要求计算 （精确到 0.01）并判断线性相关的方向与强弱，常与“能否用经验回归方程（或正比关系）估计总量”衔接。选择题中考 的取值范围与符号意义。难度基础到中档，但运算量大，是“会做但算错”的重灾区。对应 2022 全国乙卷·理 19 第 (2) 问（10 组数据，）、2023 天津·7、2024 上海·13、2025 天津·5。 （6）方法归纳 · 第一步　求均值：，。 · 第二步　算和式：求 、、（或直接使用题给的 、、）。 · 第三步　代公式：分子为 ，分母为两个括号之积再开方，按题目要求保留小数。 · 第四步　下结论：由 的符号说方向，由 与 1 接近的程度说强弱，必要时再回答“能否用线性模型刻画”。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 根据下表中的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 编号 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 解析 以年龄为 轴、脂肪含量为 轴描点（图 4），样本点集中在一条直线附近，故可推断年龄与脂肪含量线性相关。 图 4　例 1 所用的年龄与脂肪含量的散点图 按公式计算。，，，，，，于是 由 且 很接近 1，可以推断脂肪含量与年龄正线性相关，相关程度很强，两者的变化趋势相同。教材用统计软件（如 Excel 的 CORREL 函数）计算，结果相同。 例题 2（教材原题改编） 有人收集了某城市居民年收入（该城市所有居民在一年内收入的总和）与 A 商品销售额的 10 年数据如下。画出散点图，并用样本相关系数推断 A 商品销售额与居民年收入的相关程度和变化趋势的异同（本题把教材中“用统计软件计算”改为用等价计算式手工完成）。 第 年 居民年收入 /亿元 A 商品销售额 /万元 1 32.2 25.0 2 31.1 30.0 3 32.9 34.0 4 35.8 37.0 5 37.1 39.0 6 38.0 41.0 7 39.0 42.0 8 43.0 44.0 9 44.6 48.0 10 46.0 51.0 参考数据：，，，，，。 解析 画出散点图（图略），样本点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，呈现线性相关。 故 A 商品销售额与居民年收入正线性相关，相关程度很强，两者的变化趋势相同：居民年收入增加时，A 商品销售额也呈增加趋势。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据。 样本号 根部横截面积 /m² 材积量 /m³ 1 0.04 0.25 2 0.06 0.40 3 0.04 0.22 4 0.08 0.54 5 0.08 0.51 6 0.05 0.34 7 0.05 0.36 8 0.07 0.46 9 0.07 0.42 10 0.06 0.40 总和 0.6 3.9 并计算得 ，，。 1. 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 1. 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01），并判断线性相关的强弱； 1. 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，其总和为 186 m²。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木总材积量的估计值。 参考数据：。 变式 2-2（优质模拟改编） 某公司统计了 5 个月的广告支出 （单位：万元）与同期销售额 （单位：万元），数据如下。 月份 广告支出 /万元 销售额 /万元 1 1 10 2 2 14 3 3 15 4 4 18 5 5 21 1. 画出散点图并判断 与 是否线性相关； 1. 求 与 的样本相关系数（精确到 0.01）。 参考数据：，，，。 条目三　用样本相关系数判断线性相关的方向与强弱 （1）教材出处 选择性必修第三册 第八章 8.1.2 样本相关系数 正文关于 的取值范围、 与线性相关强弱的说明及“了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系”的学习要求；8.1.2 例 3（某校高一年级 25 名男生身高、体重、臂展）；课后习题 8.1 中由三对随机观测数据求 并判断能否推断线性相关的一题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 定方向： 成对样本数据正相关； 成对样本数据负相关。 · 定强弱： 越接近 1，线性相关程度越强； 越接近 0，线性相关程度越弱。比较两组成对数据的线性相关程度，比较的是 而不是 。 · 两个极端： 全部样本点共线； 只表示没有线性相关关系，不排除曲线相关。 · 经验界限（约定，不是定理）：通常当 时认为两个变量有很强的线性相关性； 很小时认为线性相关很弱。命题中若另给判断标准，一律以题目所给标准为准。 · 由正文公式直接推出的常用结论： 与经验回归直线 的斜率 同号（推导见（3））。 图 5　四组成对样本数据：(a) 正相关且较集中；(b) 正相关但很分散；(c) 负相关且较分散；(d) 负相关且几乎共线 （3）推导证明 ① 与回归直线斜率同号。 由 8.2 节最小二乘公式 与 相除得 其中 、 为两组数据的样本标准差，。故 与 同号：正相关时回归直线上升，负相关时下降。 ② 用 度量强弱的道理。 由条目二（3）④，标准化后有 且 时 ，全部标准化点靠近直线 ，即原数据的散点靠近一条斜率为正的直线； 时 ，点靠近 ； 时两个平方和都趋于 2，点既不靠近 也不靠近 ，线性趋势消失。可见 度量的是“标准化散点到一条直线的整体距离”，取绝对值是因为直线可以上升也可以下降，这正是比较强弱时看 的原因。 ③ 教材例 3 的验证。 对教材给出的 25 名男生数据，分别用 的定义式计算：体重与身高的样本相关系数约为 ，臂展与身高的样本相关系数约为 ，两者都为正，但 的绝对值明显更大，所以臂展与身高的线性相关程度更高，体重与身高的线性相关程度较弱。这说明“两个变量都相关”并不等于“相关程度相同”。 （4）适用条件与易错提醒 · 比较强弱只看绝对值： 的线性相关程度比 的更强，“ 越大相关性越强”是错的。 · 只刻画线性相关。 不能下“两变量无关”的结论，可能是曲线相关（图 1 中 (4)）。 · 样本容量小不可靠：只有 3 对观测数据时，即使算得 ，也只能说明这 3 个点共线，不足以推断两个变量线性相关。 · 增加或剔除个别样本点会明显改变 ；从原样本中抽出一部分重新计算，其 不一定等于原样本的 ，可能更强也可能更弱。 · 相关关系不是因果关系， 很大也不能说“一个变量决定另一个变量”。 · 整体与局部可能相反：先分组再算 ，各组的 与全部数据的 符号可以不同（见条目一例 1）。 · 与度量单位无关，但要求数据是成对对应的样本；把两组数据分别排序后再配对，会人为地把 放大。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题高频：给四幅散点图比较 的大小或判断最大、最小；给 的数值判断相关方向与强弱；判断“相关系数越大相关性越强”“ 表示两变量无关”等说法的正误；解答题中作为“是否可用线性回归模型拟合”的依据，与 8.2 节经验回归方程连考。难度基础到中档。对应 2023 天津·7（ 与经验回归方程结合）、2024 天津·3（四幅散点图中线性相关系数最大者）、2025 天津·5（ 与相关强弱的说法判断）、2024 上海·13。 （6）方法归纳 · 第一步　定方向：看 的符号（或散点图的升降趋势），正号正相关、负号负相关。 · 第二步　定强弱：比较 与 1 接近的程度，按题目所给界限（常用 ）下“很强、一般、很弱”的结论。 · 第三步　查前提：核对样本容量是否过小、是否有明显偏离的样本点、两组数据是否成对对应。 · 第四步　说限制：结论中交代“仅说明线性相关”，需要建立模型时再用 与 同号检验回归直线方向是否合理。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知变量 与变量 的 3 对随机观测数据为 ，，。计算这组成对样本数据的样本相关系数，并判断能否据此推断变量 与 线性相关。 解析 ，。 与三点共线相符：、、 都在直线 上。但这只有 3 对观测数据， 只说明这 3 个点完全落在一条直线上，样本容量太小，据此推断变量 与 线性相关并不可靠。 例题 2（教材原题改编） 从某校高一年级随机抽取 25 名男生，测得他们的身高、体重、臂展，用统计软件算得体重与身高的样本相关系数约为 ，臂展与身高的样本相关系数约为 。 1. 判断两组变量各自的相关方向与相关程度，指出哪一组的线性相关更强； 1. 若把体重的度量单位由 kg 改为 g，体重与身高的样本相关系数是否改变？说明理由； 1. 能否由 得出“身高决定了臂展”？ 解析 1. 两个 都是正数，故体重与身高、臂展与身高都是正线性相关，变化趋势相同；，所以臂展与身高的线性相关程度更强，体重与身高的线性相关程度较弱（ 属于弱到一般之间）。 1. 不变。体重数据变为 时， 变为 ， 变为 ，两者约去， 不变。样本相关系数与度量单位无关。 1. 不能。 只反映线性相关的方向与强弱，不反映因果关系；臂展与身高还同时受年龄、遗传、营养等因素影响。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制的散点图中样本点集中在一条直线附近且从左下向右上分布，计算得样本相关系数 ，用最小二乘法求得花瓣长度 关于花萼长度 的经验回归方程为 。 1. 判断花萼长度与花瓣长度的相关方向，并说明线性相关程度的强弱； 1. 估计花萼长度为 7 cm 时该品种鸢尾花花瓣长度的平均值； 1. 若从这组样本中随机抽取一部分重新计算，这部分的样本相关系数是否一定仍为 ？说明理由。 变式 3-2（优质模拟改编） 对四组成对样本数据进行统计，得到图 5 中的 (a)、(b)、(c)、(d) 四幅散点图（图形见图 5），设它们的样本相关系数分别为 、、、。 1. 将这四个样本相关系数按从小到大的顺序排列； 1. 指出哪一组数据的线性相关程度最强，并说明理由。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：C。 解析：样本相关系数为正，说明两变量正相关，即随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势，C 正确，D 错误。相关关系是非确定性关系，“气候温度高，海水表层温度就高”是用函数关系的语言作确定性判断，A、B 都不正确。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) 散点图略（6 个点从左上角到右下角分布）；(2) 具有相关关系，负相关，且近似线性相关；(3) 不能唯一确定。 解析：以气温为 轴、杯数为 轴描点，6 个点整体从左上角到右下角分布，且大致落在一条直线附近，故气温与热茶杯数具有相关关系，是负相关、近似线性相关。气温升高时热茶销量减少，符合实际背景。 进一步量化：，，，，， 故负线性相关程度很强。但 再接近 也只说明趋势强，第 (3) 问的答案仍是“不能”：气温为 的那天卖出 35 杯，气温为 的那天卖出 37 杯，杯数还受其他因素影响，两变量是相关关系而不是函数关系。 变式 2-1 答案与解析 答案：(1) 平均一棵的根部横截面积约为 0.06 m²，平均一棵的材积量约为 0.39 m³；(2) ，正线性相关且相关程度很强；(3) 总材积量的估计值为 1209 m³。 解析：(1) ，，用样本均值估计总体均值即可。 1. 由（2）中等价计算式， 很接近 1 且 ，故根部横截面积与材积量正线性相关，相关程度很强，用线性模型刻画是合理的。 1. 设总材积量为 m³。材积量与根部横截面积近似成正比，故比值可用样本均值之比估计， 变式 2-2 答案与解析 答案：(1) 散点集中在一条直线附近，线性相关；(2) 。 解析：(1) 5 个点 、、、、 从左下角到右上角分布且大致在一条直线附近，故 与 线性相关。 1. ，， 广告支出与销售额正线性相关，相关程度很强。 变式 3-1 答案与解析 答案：(1) 正线性相关，且 ，线性相关程度很强；(2) 约为 5.8612 cm；(3) 不一定。 解析：(1) ，两变量正相关； 接近 1，线性相关程度很强。这也与散点图“点集中在一条直线附近”一致，同时 ，与 相符。 1. 把 代入经验回归方程： 即花萼长度为 7 cm 时，该品种鸢尾花花瓣长度的平均值约为 5.8612 cm。注意这是平均值的估计，不是某一朵花的确定值。 1. 不一定。样本相关系数依赖所取的样本，从原样本中抽出一部分，其 可能更大也可能更小，甚至可能变号；只有对全部样本计算才得到 。 变式 3-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) (d) 组线性相关程度最强。 解析：(1) (a)、(b) 两组散点从左下角到右上角分布，、，且 (a) 比 (b) 更集中，故 （按图中数据分别计算约为 与 ）。(c)、(d) 两组散点从左上角到右下角分布，、，(d) 几乎共线而 (c) 较分散，故 （分别约为 与 ）。合并得 1. 线性相关程度看 ：(d) 组样本点几乎落在一条直线上， 最接近 1，故 (d) 组的线性相关程度最强。注意“最强”不等于“ 最大”， 恰恰是四个数中最小的。 人教A版·选择性必修第三册　第8章 8.1 成对数据的统计相关性　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $