7.4二项分布与超几何分布教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第7章 7.4　二项分布与超几何分布 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　二项分布与超几何分布的区别与联系 （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.4.1 二项分布 正文的 重伯努利试验与二项分布列；7.4.2 超几何分布 正文以”100 件产品中有 8 件次品，分别按有放回与不放回方式抽取 4 件”为原型的对照探究与例题，以及正文给出的超几何分布列与均值结论；课后习题中”任取 件”与”有放回地抽取 次”两类设问。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 重伯努利试验：只包含两个可能结果（发生与不发生）的试验独立地重复做 次。特征是同一个伯努利试验重复 次，且各次试验的结果相互独立。 · 二项分布：在 重伯努利试验中，每次试验事件 发生的概率为 （），用 表示 发生的次数，则 称 服从参数 的二项分布，记作 。分布列第二行恰是二项展开式 （）的各项，故概率和为 。 · 超几何分布：一批产品共 件，其中有 件属于某类（如次品），从 件中不放回地随机抽取 件，用 表示抽到的该类件数，则 其中 ，。称 服从参数 的超几何分布。 · 两类分布的均值：二项分布 （见条目二）；超几何分布 ，即把 看作总体中该类个体所占比例 后仍是 。 · 联系：当 很大而 相对很小时，每抽出一件，总体中该类个体所占比例改变甚微，不放回可近似看作有放回，超几何分布近似于二项分布 。 · 区别：见下表。 对比维度 二项分布 超几何分布 抽样方式 有放回，或各次互不影响的独立重复 不放回，一次任取 件 每次概率 恒为 随已抽出的结果改变，第 2 次起是条件概率 分布列 参数 与 、、，总体比例为 取值范围 到 的全部整数 从 到 均值 ，与 相同 方差 教材未给公式，需按方差的定义逐值计算 本质 独立重复试验下”成功次数”的分布 古典概型（组合计数）下”某类个体数”的分布 （3）推导证明 二项分布列：事件 表示” 次试验中 恰好发生 次”。第一步选定哪 次发生，有 种选法；第二步对某一种选定的位置，前 次都发生、其余 次都不发生，由各次相互独立与乘法公式，概率为 ；第三步不同位置对应的事件两两互斥，由加法原理把 个相同概率相加，得 归一性由二项式定理直接得到：。 超几何分布列：从 件中任取 件共有 种取法，且每种取法等可能（不考虑抽取顺序时，每一组 件产品被取到的可能性相同）。事件 要求从 件该类中取 件、从其余 件中取 件，由分步乘法计数原理有 种，由古典概型公式即得 。 要同时满足三个条件：、、。前两个给出 的上限，第三个连同 给出 的下限： 归一性即”按取出 件中该类件数 分类”： 超几何分布的均值：按定义 由阶乘展开可验证 。代入并把 提到求和号外，令 ，则 从 到 ，且 右式由” 件取 件按所含 类件数分类”得到。于是 再由阶乘公式化简比值： 故 。 不放回近似为有放回：把组合数用阶乘展开并整理，可得恒等变形 分子是 个递减因子的乘积，分母也是 个递减因子的乘积。当 与 都远大于 时，每个因子都与它所在串的首项相差很小，于是分子接近 ，分母接近 ，因此 即近似服从 。 （4）适用条件与易错提醒 · 判断模型只看抽样方式：题中出现”有放回”“各次互不影响”“重复检验同一条件”归二项分布；出现”任取 件”“一次抽取”“不放回逐个抽取”归超几何分布。 · 不放回抽样时各次结果不独立，不能把每次概率直接相乘；第 2 次抽到该类产品的概率依赖于第 1 次的结果，须用条件概率处理。 · 虽然各次不独立，但由对称性每一次抽到该类产品的概率都等于 ，这正是超几何分布与二项分布均值相同的原因；均值相同不代表分布列相同。 · 超几何分布中 的最小值不一定是 ：当 时 至少为 。例如 、、 时 的最小取值是 。 · “任取 件”要理解为”不放回地连续取 件”，与”逐次有放回取 次”是两类不同的试验。 · 考察对象不必是”次品与正品”，男生与女生、A 类与 B 类、答对与答对不上的题，只要分成两类且已知两类个数，不放回抽取就是超几何模型。 · “直到第一次成功为止的抽取次数”不是二项分布中” 次里成功 次”，末次结果被题目限定，不能套 。 · 用频率估计概率后从”大量产品”中任取 件，总体中该类个数未知而概率已知，此时是二项分布，不是超几何分布；同一题常在两种模型间切换，须逐问判断。 · 求超几何分布的方差没有现成公式：先写出分布列，再按方差的定义逐值计算，不要照抄 。 （5）考点定位与命题角度 以解答题的第一问和选择题、填空题为主，难度基础到中档。常见设问： · 判断随机变量服从哪一种分布，并用组合数式写出分布列； · 求”至少取到 1 件”“恰有 2 人”这类概率，多用对立事件简化； · 由分布列求均值（二项用 、超几何用 ），或按定义求方差； · 同一情境下设两问，一问不放回、一问”把频率当概率后重复抽取”，考查建模选择。 对应 2023 全国甲卷·理 19(1)（40 只小白鼠随机均分两组，“指定的两只中分配到对照组的只数”实为超几何分布）与 2025 全国二卷·19（每个球胜负相互独立，比分差问题实为独立重复试验）。 （6）方法归纳 · 第一步　定分类：明确总体由哪两类组成，各自的个数 与 ，或明确一次试验的两个结果及其概率 。 · 第二步　定方式：判断是有放回（独立重复）还是不放回，前者用二项分布，后者用超几何分布；若总体数量未知而概率已知，一律按二项分布处理。 · 第三步　定参数：二项写出 与 ；超几何写出 、、，并算出 的取值范围 到 。 · 第四步　套公式并检验：逐个求 ，检查概率和为 ；求均值时二项用 、超几何用 ，需要方差时按定义计算。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 100 件产品中有 8 件次品，采用不放回的方式随机抽取 4 件，设抽取的 4 件产品中次品数为 ，求 的分布列与均值。 解析 的可能取值为 。由超几何分布，、、， 其中 ，逐类计算： 五个概率之和恰为 ，分布列正确。均值可直接用公式： 按定义核对，分子为 而 ，与公式结果一致。 例题 2（教材原题改编） 同上这批产品（100 件中有 8 件次品），改为有放回地抽取 4 次，每次抽 1 件，记抽到次品的次数为 。求 、 与 ，并与例题 1 的不放回情形比较。 解析 每次抽到次品的概率恒为 ，且各次结果相互独立，故 。 与例题 1 比较：两种取法的均值都是 ，分布列却不同。不放回时 ，小于有放回的 ；把例题 1 的分布列按方差的定义逐值计算，不放回的方差约为 ，也小于有放回的 。这说明不放回抽样的波动更小，而均值只与总体比例有关。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 一项试验为研究某种营养添加剂的效果，选 50 只小白鼠，随机地将其中 25 只分配到试验组，另外 25 只分配到对照组。设 表示指定的三只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列与数学期望。 变式 1-2（优质模拟改编） 某工厂为检验产品质量，从一批产品中随机抽取 20 件，检测出 2 件次品。 （1）从这 20 件产品中随机抽取 3 件，记次品数为 ，求 的分布列与均值； （2）用频率估计概率，从该厂生产的同类产品中任取 3 件，记次品数为 ，求 的分布列、均值与方差。 条目二　二项分布的期望与方差 （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.4.1 二项分布 正文的”探究”栏目：由抛掷质地均匀硬币 100 次猜想 ，再考察 （两点分布）与 的情形，最后给出一般结论并证明均值与方差公式；7.3 节离散型随机变量的均值与方差 的定义及性质（均值随一次变换线性变化、方差只受系数平方影响）；课后习题中已知均值与方差反求 、 的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 若 ，则 · 时二项分布就是两点分布，此时 ，。 · 与 7.3 节性质配合使用：，。 · 若每次试验”成功”记 分、“失败”记 分，则总得分可写成 ，从而 · 固定时， 在 处取得最大值 ； 越接近 或 ，取值越集中。 · 补充结论（高考常用推导结论，教材未列）：记 ，则当 时 于是 在 时随 增大而增大。若 不是整数，则 取 的整数部分时 唯一最大；若 是整数，则 与 两项概率相等且同为最大。 （3）推导证明 记 ，则 ，。 均值：先用组合数性质 （把阶乘展开即可验证）。按定义 提出一个 并令 ： 方差：先用 与 ，得 再把方差按定义展开（）： 代入 ： 概率最大项：由通项作比 该比值大于 等价于 ，化简得 。故概率先增后减，转折点由 是否为整数决定：不是整数时最大项为 （取整数部分）；是整数时 与 的比值恰为 ，两项并列最大。 （4）适用条件与易错提醒 · 只有当 本身表示” 次独立重复试验中成功的次数”时，才能直接用 与 ；得分、罚款、利润等要先写成 再用性质，不能把得分值当成成功次数。 · 求方差漏乘 是最典型的错误： 只在两点分布里勉强接近，一般情形必须再乘 。 · 加常数不改变方差、乘系数时方差要乘系数的平方，即 ；均值则既要乘 又要加 ，两式不要混用。 · 由均值与方差反求参数：把两式相除先定出 ，再回代定 ；最后检验 且 为正整数，否则题设数据不合二项分布。 · 各次概率不相等就不是二项分布：不放回抽样、条件随前次结果改变、若干台机器参数不同等，都要回到分布列按定义求 与 。 · 超几何分布的均值也写成 ，但那里的 是总体比例 ，其方差不是 ，不能把二项分布的方差公式套用过去。 · “至少发生 1 次”用 ；“恰好发生 次”与”第 次才首次发生”是两个不同事件，后者末次结果被限定，不能套二项分布的通项。 · 概率最大项结论中， 为整数时漏写并列的第二个大项会失分；比较方案时均值相同还要看方差，方差小的更稳定。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题直接考查公式与反求参数，解答题把均值、方差放在分布列之后或与决策比较结合。常见设问： · 已知 与 、 中的某一个（或两个）求参数，再求某个具体概率； · 由”次数”过渡到”得分”，求 与 ； · 求 最大时 的值，或判断”击中次数为几”最可能； · 比较两种方案：均值高者优先，均值相近时方差小者优先。 对应 2025 全国二卷·19（每球独立、以独立重复模型求比分差的概率）与 2023 全国甲卷·理 19(1)（同一情境下另一类模型的均值）。难度基础到中档，与数列、不等式结合的概率递推为中档到较难。 （6）方法归纳 · 第一步　定型定参：先确认是 重伯努利试验，写出试验次数 与单次概率 ； 未知时先用古典概型或样本频率求出。 · 第二步　套公式：、；需要”恰好 次”“至少 次”的概率时仍回到 的通项。 · 第三步　转化变量：得分、费用等记为 ，用 、，避免对 重复列分布列。 · 第四步　反解检验：由 、 联立解 与 ，检验 、；涉及最大概率项时比较相邻两项之比与 的大小。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，记正面朝上的次数为 。（1）指出 服从什么分布，求 与 ；（2）求 的标准差，并说明”“的含义。 解析 每次抛掷只有”正面朝上”与”反面朝上”两个结果，正面朝上的概率都是 ，且各次结果相互独立，故这是 100 重伯努利试验， （1）由二项分布的均值与方差公式 （2）标准差 。 表示重复做”抛 100 次硬币”这一试验时，正面朝上次数的平均水平是 50 次，并不是说某一次投 100 次一定恰好出现 50 次正面；标准差 刻画了实际次数围绕 波动的典型幅度。 例题 2（教材原题改编） 袋中装有 2 个红球、3 个黄球，除颜色外完全相同。有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个球，抽到黄球得 2 分，抽到红球得 0 分，记总得分为 。求 的分布列、均值与方差。 解析 每次抽到黄球的概率都是 ，且各次抽取互不影响，设 3 次中抽到黄球的次数为 ，则 可取 ，对应得分 可取 ： 检验：。由 及均值、方差的性质 按定义核对：，与性质法一致。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分。设每个球甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，且各球的胜负相互独立。打完 4 个球，记甲的得分为 。 （1）求 的分布列、均值与方差； （2）求打完 4 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知随机变量 服从二项分布 ，且 ，。 （1）求 与 ； （2）当 为何值时 最大？ （3）求 。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：，，。 解析：把 50 只小白鼠看成”对照组 25 只、试验组 25 只”的两类个体，指定的 3 只小白鼠等可能地落入 50 个位置，其中 25 个属于对照组，故 服从参数 、、 的超几何分布， 可取 。由 、、，得 检验：。均值 与公式 一致。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) ，，，；(2) ，，，，，。 解析： (1) 抽出的 20 件是确定的个体，其中 2 件次品、18 件正品，从 20 件中任取 3 件是不放回抽样，故 服从参数 、、 的超几何分布。因 ， 只能取 。由 、、， 检验：。均值 也可由 得到。 (2) “用频率估计概率”意味着从大量产品中任取一件是次品的概率为 ，总体数量未知而概率已知，任取 3 件相互不影响，故 。 检验：。均值与方差 两问均值相同，但 (1) 是超几何分布、(2) 是二项分布，分布列不同。 变式 2-1 答案与解析 答案：分布列见解析，，，所求概率为 。 解析： (1) 各球胜负相互独立，甲每球胜的概率为 ，故 ， 可取 。 检验：。于是 (2) 打完 4 个球时甲得 分、乙得 分，甲比乙至少多得 2 分即 ，解得 。因 与 互斥， 变式 2-2 答案与解析 答案：，； 时 最大；。 解析： (1) 由 ，，两式相除得 故 ，，符合 且 为正整数。 (2) 记 。当 时 该比值大于 等价于 ，即 ，也就是 。故 ；而 时比值 ，其后各项递减。所以 时 取得最大值。 (3) 由方差的性质 人教A版·选择性必修第三册　第7章 7.4 二项分布与超几何分布　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $