正态分布讲义-2025届高三数学一轮复习

正态分布 1．正态曲线 函数，其中为参数． 表示 ，表示_________． 2．正态分布 随机变量满足，则称随机变量服从正态分布，记为． 3．正态曲线的性质 ⑴曲线位于轴_____，与轴不相交．⑵曲线关于_____对称． ⑶当时达到峰值___________． ⑷单调性 当_________时，单调递增，当_________时，单调递减． ⑸曲线与轴之间的面积为_____． ⑹图象特征：当一定时，曲线的形状由确定， 当越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 当越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 4．三个特殊区间的取值概率： , , ． 注意：通常认为服从正态曲线的随机变量只取之间的值，并称之为原则． 1．设随机变量服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布, 且, 则 （ ） A． B． C． D． 4．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ） A．份 B．份 C．份 D．份 考点一 正态曲线的性质 【例1】已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧】解析式中两个参数的值的确定 （1）决定曲线的对称轴的位置， （2）与曲线的形状和最大值有关. 当越小，曲线越“瘦高”．当越大，曲线越“矮胖”． 【变式】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 考点二 服从正态分布的概率计算 【例2】设，试求： （1）； （2）； （3）． 【方法技巧】关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法 (1)熟记， ， 的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1． ①正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同． ②， ． 【变式】1000名考生的某次成绩近似服从正态分布，则成绩在分以上的考生人数约为 ．（注：，,） 考点三 正态分布的应用 【例3】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量 指标值服从正态分布，其中近似为样本 平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（1）的结果，求． 附：．若～，则，． 【归纳反思】正态分布的实际应用 关键是把正态分布的两个重要参数求出，然后确定三个区间(范围)：， ， 与已知概率值进行联系求解. 1．已知随机变量服从正态分布,若,则（ ） A． B． C． D． 2．设随机变量，且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（） A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 5．设随机变量，且，则______． 6．若随机变量，且，则　 ． 7．在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即． （1）试求考试成绩位于上的概率是多少？ （2）若这次考试共有考生人，试估计考试成绩在间的考生大约有多少人？ 8．广州某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为. （1）求这种灯管的平均使用寿命； （2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正态分布 1．正态曲线 函数，其中为参数． 表示 ，表示_________． 2．正态分布 随机变量满足，则称随机变量服从正态分布，记为． 3．正态曲线的性质 ⑴曲线位于轴_____，与轴不相交．⑵曲线关于_____对称． ⑶当时达到峰值___________． ⑷单调性 当_________时，单调递增，当_________时，单调递减． ⑸曲线与轴之间的面积为_1____． ⑹图象特征：当一定时，曲线的形状由确定， 当越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 当越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 4．三个特殊区间的取值概率： , , ． 注意：通常认为服从正态曲线的随机变量只取之间的值，并称之为原则． 1．设随机变量服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得． 2．已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由变量服从正态分布可知， 为其密度曲线的对称轴， 因此． 3．已知随机变量服从正态分布, 且, 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴． 4．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ） A．份 B．份 C．份 D．份 【答案】B 【解析】， ∴应从120分以上的试卷中抽取． 考点一 正态曲线的性质 【例1】已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【方法技巧】解析式中两个参数的值的确定 （1）决定曲线的对称轴的位置， （2）与曲线的形状和最大值有关. 当越小，曲线越“瘦高”．当越大，曲线越“矮胖”． 【变式】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】由正态分布密度曲线的性质可知， ，的密度曲线分别关于直线、对称， ∴结合图象可得，，∴对任意正数，． 考点二 服从正态分布的概率计算 【例2】设，试求： （1）； 【解析】∵，∴，． （1） ． （2）； 【解析】（2） ． （3）． 【解析】（3） ． 【方法技巧】关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法 (1)熟记， ， 的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1． ①正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同． ②， ． 【变式】1000名考生的某次成绩近似服从正态分布，则成绩在分以上的考生人数约为 ．（注：，,） 【答案】 【解析】∵， ∴． ∴． 考点三 正态分布的应用 【例3】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量 指标值服从正态分布，其中近似为样本 平均数，近似为样本方差． （ⅰ）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（1）的结果，求． 附：．若～，则，． 【解析】（1） 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ， ． （2）（ⅰ）由（1）知～，从而 ． （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间的概率为， 依题意知，∴． 【归纳反思】正态分布的实际应用 关键是把正态分布的两个重要参数求出，然后确定三个区间(范围)：， ， 与已知概率值进行联系求解. 1． 已知随机变量服从正态分布,若,则（ A） A． B． C． D． 2．设随机变量，且，则实数的值为（ A ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ C ） A． B． C． D． 【解析】函数关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（C ）（） A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 【解析】∵， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为． 5．设随机变量，且，则______． 【解析】． 6．若随机变量，且，则　 ． 【解析】∵正态曲线关于对称， ∴． 7．在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即． （1）试求考试成绩位于上的概率是多少？ （2）若这次考试共有考生人，试估计考试成绩在间的考生大约有多少人？ 【解析】（1）∵ ，∴， ∴， ∴， ∴， ∴位于上的概率是． （2）∵， ∴， ∴考生大约有， ∴成绩在间的考生大约有人． 8．广州某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为. （1）求这种灯管的平均使用寿命； （2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率. 【解析】（1）∵， ，， ∴，显然， 由正态分布密度函数的对称性可知，， 即每支这种灯管的平均使用寿命是个月． （2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为， 假设使用个月时该功能室需要更换的 灯管数量为支，则， ∴至少两支灯管需要更换的概率 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$