专题10.7二项分布、超几何分布与正态分布基础复习讲义-2027届高三数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解 次独立重复试验的模型，掌握二项分布及其概率公式； 2．会求二项分布的均值与方差，能用它们解决简单的实际问题； 3．理解超几何分布及其概率计算，会用超几何分布的均值公式； 4．了解正态分布密度曲线的特点，理解 原则，会用对称性求区间概率。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 二项分布的概率计算 选择题、解答题 第6题／第18~19题 基础 辨清独立重复试验，套 二项分布的均值与方差 选择题、填空题 第6题／第13题 基础 记牢 ， 超几何分布 选择题、填空题 第6题／第12题 基础 无放回抽取，用组合数比求概率， 正态曲线的对称性 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 利用 转化 正态分布的区间概率 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 用 原则与对称性拆分区间概率 命题规律分析 二项分布、超几何分布与正态分布是概率统计的三大"常客"。新高考中本专题常在选择题第6题、多选题第10题、填空题第13题以及解答题第18～19题出现：二项分布的概率与均值方差属基础档；超几何分布与正态分布的区间概率常压在第6题、第10题、第13题这档"垫脚题"上；分布的实际应用与综合计算则是解答题的常客。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"辨模型—套公式—代数据"的套路也能拿下。拿分要点：先分清是"有放回的独立重复"（二项分布）还是"无放回地抽取"（超几何分布）；二项分布记牢 、、；正态分布抓住"曲线关于 对称"与 原则，用对称性把要求的区间概率拆成已知概率的组合。 考点1 二项分布 知识点1 独立重复试验与二项分布 在相同条件下重复进行的 次试验称为 次独立重复试验，其特点是：每次试验只有两个可能结果（成功或失败）；每次试验中成功的概率相同，都等于 ；各次试验相互独立。 在 次独立重复试验中，用 表示成功的次数，则 的所有可能取值为 ，且 （），称 服从二项分布，记作 。 公式中的 表示 次试验中任选 次成功的方法数， 表示这 次成功、 次失败的概率。 【方法技巧】 1．判断是否服从二项分布"三看"：看是否只有两个结果、看成功概率是否每次相同、看各次试验是否相互独立； 2．"恰好 次成功"直接用二项分布公式，"至少""至多"类问题可用对立事件转化； 3．有放回抽取、独立重复测量通常用二项分布模型。 【易错清单】 1．把无放回抽取当作独立重复试验，错误地套用二项分布公式； 2．漏乘组合数 ，只算了某一种顺序的概率； 3．把 写成 ，或把 与 的位置弄反。 知识点2 二项分布的均值与方差 若 ，则 ，。 均值的意义： 次试验中平均成功的次数等于试验次数乘成功概率；方差反映成功次数的波动程度，当 时方差最大。 这两个公式可以直接使用，比先写出分布列再计算快得多，是二项分布的"标配"结论。 【方法技巧】 1．已知 ， 求均值方差，直接代入公式； 2．已知 与 反求 ，，列方程组 ， 求解； 3．与线性变换结合时，先用二项分布公式求 、，再用性质求 、。 【易错清单】 1．把 错记成 ，漏掉因子 ； 2．由 与 反求时，先由两式相除得 再求 ，可避免代入出错； 3．二项分布的均值 可以是小数，不要求是整数。 考点2 超几何分布 知识点3 超几何分布 一般地，设有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （），称 服从超几何分布。 超几何分布刻画的是"不放回"的抽样问题，与"放回"的二项分布相区别；其随机变量取值的最大可能值为 与 中较小的一个。 超几何分布的均值为 ，其中 是总体中次品的比例， 是抽取的件数。 【方法技巧】 1．判断超几何分布"两看"：看是否是不放回抽取、看是否分为"两类"对象并统计其中一类； 2．求概率"定 、、、"四步走，再代入组合数公式； 3．求均值可直接用 ，不必先写分布列。 【易错清单】 1．把不放回抽样的题目用二项分布公式计算，导致概率错误； 2．组合数的上下标写反，例如把 写成 ； 3．求 的取值范围时忘记上限 ，多写了取不到的值。 考点3 正态分布 知识点4 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度函数为 （），则称 服从正态分布，记作 ，其中 ，（）分别是均值和标准差。 正态曲线关于直线 对称，曲线在 处达到最高点；曲线与 轴之间的总面积为 。 决定曲线的"胖瘦"： 越大，曲线越"矮胖"，数据越分散； 越小，曲线越"高瘦"，数据越集中。 【方法技巧】 1．利用对称性解题：，； 2．正态曲线下的面积就是概率，总面积为 ，这是所有区间计算的基础； 3．已知某区间概率求相关区间概率时，先找对称轴 ，再把区间"折"到已知的一侧。 【易错清单】 1．把 与 混用， 的第二个参数是方差 ； 2．忘记正态曲线左右对称，盲目用面积相加； 3．混淆"关于 对称"与"关于 轴对称"，这里对称轴是直线 ，只有当 时才是 轴。 知识点5 原则与区间概率 对于 ，有 ，，，称为 原则。 由对称性可得单侧概率，如 ，。 在 原则下，随机变量的取值几乎全部落在区间 内，落在该区间之外的概率约为 。 【方法技巧】 1．记忆三个百分比：、、，并会由对称性求半区间的概率； 2．求区间概率时先判断区间端点是否为 （），再套用相应数值； 3．"超过某个值"的概率通常用 减去对称区间概率后再除以 。 【易错清单】 1．把单侧概率 与区间概率 混用； 2．求对称区间外的概率时忘记"两侧各一半"，把剩余概率全给了一侧； 3． 原则中的 是标准差，题目给出的是方差 时要先开方。 【题型1 二项分布的概率】 【例1】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。求该射手射击 次恰好命中 次的概率。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】某批产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数，则 ____________。 【变式1-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，则至少有 次成功的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 二项分布的均值与方差】 【例2】已知随机变量 ，求 与 。 【变式2-1】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知随机变量 ，且 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式2-3】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数，则 ____________，____________。 【题型3 超几何分布】 【例3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。求恰好取到 个红球的概率。 【变式3-1】有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】盒中装有 个正品和 个次品，从中任取 个，用 表示取到的次品数，则 ____________。 【题型4 正态分布曲线的对称性】 【例4】设随机变量 ，若 ，求 。 【变式4-1】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【题型5 正态分布的区间概率（3σ）】 【例5】已知随机变量 ，且 ，则 约为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知随机变量 ，且 ，则 ____________。 【变式5-2】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】某地区男生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 分布综合】 【例6】某产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数。 (1) 求恰好抽到 件不合格品的概率； (2) 求 与 。 【变式6-1】袋中装有 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。求 与 。 【变式6-3】从 名男生和 名女生中任选 人参加活动，用 表示选出的女生人数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，恰好出现 次正面的概率是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，则恰好取到 件次品的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知随机变量 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于二项分布的说法中，正确的是（　　） A． 次独立重复试验中，每次试验成功的概率都相同　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 10．（★）设随机变量 ，则下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于直线 对称　B．　C． 越大，正态曲线越"矮胖"　D． 与 的取值无关 11．（★★）已知随机变量 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 12．（★）已知随机变量 ，则 ____________。 13．（★★）设随机变量 ，若 ，则 ____________。 14．（★★）已知随机变量 ，且 ，，则 ____________，____________。 四、解答题 15．（★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求恰好命中 次的概率； (2) 求 与 。 16．（★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 17．（★）设某地区成年男子的体重 （单位：kg）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。（已知 ，） 18．（★★）已知随机变量 。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 19．（★★）盒中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 ； (2) 求 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题10.7 二项分布、超几何分布与正态分布　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解 次独立重复试验的模型，掌握二项分布及其概率公式； 2．会求二项分布的均值与方差，能用它们解决简单的实际问题； 3．理解超几何分布及其概率计算，会用超几何分布的均值公式； 4．了解正态分布密度曲线的特点，理解 原则，会用对称性求区间概率。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 二项分布的概率计算 选择题、解答题 第6题／第18~19题 基础 辨清独立重复试验，套 二项分布的均值与方差 选择题、填空题 第6题／第13题 基础 记牢 ， 超几何分布 选择题、填空题 第6题／第12题 基础 无放回抽取，用组合数比求概率， 正态曲线的对称性 选择题、多选题 第6题／第10题 中档 利用 转化 正态分布的区间概率 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 用 原则与对称性拆分区间概率 命题规律分析 二项分布、超几何分布与正态分布是概率统计的三大"常客"。新高考中本专题常在选择题第6题、多选题第10题、填空题第13题以及解答题第18～19题出现：二项分布的概率与均值方差属基础档；超几何分布与正态分布的区间概率常压在第6题、第10题、第13题这档"垫脚题"上；分布的实际应用与综合计算则是解答题的常客。本讲难度定位为：基础题必须全对，第6题、第10题、第13题这档题通过"辨模型—套公式—代数据"的套路也能拿下。拿分要点：先分清是"有放回的独立重复"（二项分布）还是"无放回地抽取"（超几何分布）；二项分布记牢 、、；正态分布抓住"曲线关于 对称"与 原则，用对称性把要求的区间概率拆成已知概率的组合。 考点1 二项分布 知识点1 独立重复试验与二项分布 在相同条件下重复进行的 次试验称为 次独立重复试验，其特点是：每次试验只有两个可能结果（成功或失败）；每次试验中成功的概率相同，都等于 ；各次试验相互独立。 在 次独立重复试验中，用 表示成功的次数，则 的所有可能取值为 ，且 （），称 服从二项分布，记作 。 公式中的 表示 次试验中任选 次成功的方法数， 表示这 次成功、 次失败的概率。 【方法技巧】 1．判断是否服从二项分布"三看"：看是否只有两个结果、看成功概率是否每次相同、看各次试验是否相互独立； 2．"恰好 次成功"直接用二项分布公式，"至少""至多"类问题可用对立事件转化； 3．有放回抽取、独立重复测量通常用二项分布模型。 【易错清单】 1．把无放回抽取当作独立重复试验，错误地套用二项分布公式； 2．漏乘组合数 ，只算了某一种顺序的概率； 3．把 写成 ，或把 与 的位置弄反。 知识点2 二项分布的均值与方差 若 ，则 ，。 均值的意义： 次试验中平均成功的次数等于试验次数乘成功概率；方差反映成功次数的波动程度，当 时方差最大。 这两个公式可以直接使用，比先写出分布列再计算快得多，是二项分布的"标配"结论。 【方法技巧】 1．已知 ， 求均值方差，直接代入公式； 2．已知 与 反求 ，，列方程组 ， 求解； 3．与线性变换结合时，先用二项分布公式求 、，再用性质求 、。 【易错清单】 1．把 错记成 ，漏掉因子 ； 2．由 与 反求时，先由两式相除得 再求 ，可避免代入出错； 3．二项分布的均值 可以是小数，不要求是整数。 考点2 超几何分布 知识点3 超几何分布 一般地，设有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （），称 服从超几何分布。 超几何分布刻画的是"不放回"的抽样问题，与"放回"的二项分布相区别；其随机变量取值的最大可能值为 与 中较小的一个。 超几何分布的均值为 ，其中 是总体中次品的比例， 是抽取的件数。 【方法技巧】 1．判断超几何分布"两看"：看是否是不放回抽取、看是否分为"两类"对象并统计其中一类； 2．求概率"定 、、、"四步走，再代入组合数公式； 3．求均值可直接用 ，不必先写分布列。 【易错清单】 1．把不放回抽样的题目用二项分布公式计算，导致概率错误； 2．组合数的上下标写反，例如把 写成 ； 3．求 的取值范围时忘记上限 ，多写了取不到的值。 考点3 正态分布 知识点4 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度函数为 （），则称 服从正态分布，记作 ，其中 ，（）分别是均值和标准差。 正态曲线关于直线 对称，曲线在 处达到最高点；曲线与 轴之间的总面积为 。 决定曲线的"胖瘦"： 越大，曲线越"矮胖"，数据越分散； 越小，曲线越"高瘦"，数据越集中。 【方法技巧】 1．利用对称性解题：，； 2．正态曲线下的面积就是概率，总面积为 ，这是所有区间计算的基础； 3．已知某区间概率求相关区间概率时，先找对称轴 ，再把区间"折"到已知的一侧。 【易错清单】 1．把 与 混用， 的第二个参数是方差 ； 2．忘记正态曲线左右对称，盲目用面积相加； 3．混淆"关于 对称"与"关于 轴对称"，这里对称轴是直线 ，只有当 时才是 轴。 知识点5 原则与区间概率 对于 ，有 ，，，称为 原则。 由对称性可得单侧概率，如 ，。 在 原则下，随机变量的取值几乎全部落在区间 内，落在该区间之外的概率约为 。 【方法技巧】 1．记忆三个百分比：、、，并会由对称性求半区间的概率； 2．求区间概率时先判断区间端点是否为 （），再套用相应数值； 3．"超过某个值"的概率通常用 减去对称区间概率后再除以 。 【易错清单】 1．把单侧概率 与区间概率 混用； 2．求对称区间外的概率时忘记"两侧各一半"，把剩余概率全给了一侧； 3． 原则中的 是标准差，题目给出的是方差 时要先开方。 【题型1 二项分布的概率】 【例1】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。求该射手射击 次恰好命中 次的概率。 【答案】 【解题思路】命中次数 服从二项分布 ，代入公式 。 【解答过程】设射击 次命中的次数为 ，则 。 恰好命中 次，即 ：。 【方法点睛】看到"每次概率相同、各次相互独立、求恰好几次"，先写出 ，再套二项分布公式；千万别漏乘组合数 。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】抛硬币是典型的二项分布，，。 【解答过程】，。故选A。 【变式1-2】某批产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数，则 ____________。 【答案】 【解题思路】有放回抽取服从二项分布，先确定 ， 再代入。 【解答过程】有放回抽取，各次相互独立，。。 【变式1-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，则至少有 次成功的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"至少"类问题用对立事件"一次都没成功"更快。 【解答过程】设成功的次数为 ，则 。"至少 次成功"的对立事件是" 次都失败"，，所以 。故选B。 【题型2 二项分布的均值与方差】 【例2】已知随机变量 ，求 与 。 【答案】，。 【解题思路】二项分布直接用 ，。 【解答过程】由 ，得 ，。 ；。 【方法点睛】二项分布的均值与方差公式务必背熟：，，注意方差里的 不要漏。 【变式2-1】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入 。 【解答过程】。故选B。 【变式2-2】已知随机变量 ，且 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】用 除以 得 ，是反求 、 的通法。 【解答过程】由 ，，两式相除得 ，所以 ，代入 得 。故选A。 【变式2-3】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数，则 ____________，____________。 【答案】， 【解题思路】独立重复射击服从二项分布，套均值方差公式。 【解答过程】，，。 【题型3 超几何分布】 【例3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。求恰好取到 个红球的概率。 【答案】 【解题思路】无放回抽取用超几何分布公式，分子是"两类各取若干个"的取法之积，分母是全部取法。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。恰好取到 个红球，即从 个红球中取 个、从 个白球中取 个，有 种，所以 。 【方法点睛】超几何分布的概率公式 中，分母是全部取法，分子是两类对象各自取够个数的方法数之积。 【变式3-1】有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布：分子是"次品取 件、正品取 件"的取法之积。 【解答过程】从 件中任取 件共有 种取法。。故选B。 【变式3-2】从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布的均值 ，即抽取个数乘总体中所统计对象的比例。 【解答过程】由超几何分布均值公式 ，其中 ，总体中红球比例 ，所以 。故选B。 【变式3-3】盒中装有 个正品和 个次品，从中任取 个，用 表示取到的次品数，则 ____________。 【答案】 【解题思路】套超几何分布概率公式，注意"正品、次品"分别对应哪一类。 【解答过程】从 个中任取 个共有 种取法。。 【题型4 正态分布曲线的对称性】 【例4】设随机变量 ，若 ，求 。 【答案】 【解题思路】正态曲线关于直线 对称， 与 关于 对称，故两者两侧尾部概率相等。 【解答过程】因为 ，正态曲线关于直线 对称，而 与 关于 对称，所以 。 【方法点睛】对称性的核心：到对称轴 距离相等的两个端点，其对应尾部概率相等，即 。 【变式4-1】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用对称性把负半轴的概率转化为正半轴对应概率。 【解答过程】由对称性 ，所以 。故选C。 【变式4-2】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由对称性求 ，再用总概率 减去两侧。 【解答过程】曲线关于 对称， 与 关于 对称，所以 ，从而 。故选B。 【变式4-3】设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】对称轴两侧等距离的对称区间，概率相等。 【解答过程】曲线关于 对称，区间 与 关于对称轴 对称，所以 。 【题型5 正态分布的区间概率（3σ）】 【例5】已知随机变量 ，且 ，则 约为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 即 ，，，"超过 "的概率等于把 之外的剩余概率对半分。 【解答过程】由 得 ，，则 。由 知曲线在 内的面积为 ，区间外两侧面积和约为 ，由对称性各占一半，所以 。故选A。 【方法点睛】 原则求单侧概率时，先用 减去对称区间概率，再把剩余概率平均分给两侧。 【变式5-1】已知随机变量 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由方差确定 ，再判断区间是否为 。 【解答过程】由 得 ，，则 ，，所以 。 【变式5-2】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接对照 原则的三个数值。 【解答过程】 中 ，，区间 ，由 原则 。故选B。 【变式5-3】某地区男生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由方差 开方得标准差 ，再套 原则。 【解答过程】由 得 ，，则 ，，所以 。故选A。 【题型6 分布综合】 【例6】某产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数。 (1) 求恰好抽到 件不合格品的概率； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】有放回抽取服从二项分布，，再分别用概率公式与均值方差公式。 【解答过程】有放回抽取，各次相互独立，。 (1) 。 (2) ；。 【方法点睛】综合题先判断分布类型：有放回是二项分布，无放回是超几何分布，判断对了公式才能用对。 【变式6-1】袋中装有 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】无放回抽取用超几何分布的均值公式 。 【解答过程】无放回抽取， 服从超几何分布，，总体中红球比例 ，所以 。故选B。 【变式6-2】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。求 与 。 【答案】，。 【解题思路】独立重复射击服从二项分布，分别套概率公式与均值公式。 【解答过程】各次射击相互独立，。；。 【变式6-3】从 名男生和 名女生中任选 人参加活动，用 表示选出的女生人数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布均值公式：抽取人数乘总体中该类对象比例。 【解答过程】无放回抽取， 服从超几何分布，，总体中女生比例 ，所以 。故选B。 一、单选题 1．（★）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，恰好出现 次正面的概率是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】抛硬币服从二项分布 。 【解答过程】设正面次数为 ，则 ，。故选C。 2．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】二项分布 。 【解答过程】。故选B。 3．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】二项分布 。 【解答过程】。故选B。 4．（★）有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，则恰好取到 件次品的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】无放回抽取用超几何分布。 【解答过程】。故选C。 5．（★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正态曲线关于 对称， 两侧各占一半。 【解答过程】 的曲线关于直线 对称，。故选B。 6．（★★）已知随机变量 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用 求 ，再求方差。 【解答过程】由 得 ，。故选A。 7．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】套二项分布概率公式，注意 取 。 【解答过程】。故选B。 8．（★★）从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布 。 【解答过程】由超几何分布均值公式 。故选B。 二、多选题 9．（★）下列关于二项分布的说法中，正确的是（　　） A． 次独立重复试验中，每次试验成功的概率都相同　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照二项分布的模型、概率公式与均值方差公式。 【解答过程】由独立重复试验的定义，每次成功概率相同，A正确；二项分布的概率公式为 ，B正确；二项分布的均值 ，C正确；方差应为 ，D错误。故选ABC。 10．（★）设随机变量 ，则下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于直线 对称　B．　C． 越大，正态曲线越"矮胖"　D． 与 的取值无关 【答案】BCD 【解题思路】牢记正态曲线的对称轴是 ，以及 对曲线形状的影响。 【解答过程】正态曲线关于直线 对称，A错误；由对称性 ，B正确； 越大曲线越"矮胖"，C正确； 只与 有关，与 无关，D正确。故选BCD。 11．（★★）已知随机变量 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】二项分布的均值方差直接套公式，概率要乘组合数。 【解答过程】，A正确；，B正确；，C正确；，D错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）已知随机变量 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接代入 。 【解答过程】。 13．（★★）设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用对称性把 转化为 ，再用总概率 作差。 【解答过程】曲线关于 对称， 与 关于 对称，所以 。。 14．（★★）已知随机变量 ，且 ，，则 ____________，____________。 【答案】， 【解题思路】用 除以 先求 ，再求 。 【解答过程】由 ，，两式相除得 ，所以 ，代入 得 。 四、解答题 15．（★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求恰好命中 次的概率； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】独立重复射击服从二项分布，先写 再套公式。 【解答过程】各次射击相互独立，。 (1) 。 (2) ；。 16．（★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，，； (2) 。 【解题思路】(1) 无放回抽取用超几何分布公式逐项求概率；(2) 用定义求均值，也可用 检验。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) ：；：；：；：。检验：。 (2) 。 17．（★）设某地区成年男子的体重 （单位：kg）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。（已知 ，） 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先由方差开方得标准差，再把区间端点写成 的形式，套用 原则。 【解答过程】由 得 ，。 (1) ，，所以 。 (2) ，，所以 。 18．（★★）已知随机变量 。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】二项分布的概率用公式 ，均值方差直接用公式。 【解答过程】(1) 。 (2) ；。 19．（★★）盒中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 套超几何分布概率公式；(2) 直接用 。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) 表示取到 个红球 个白球，有 种，所以 。 (2) 无放回抽取服从超几何分布，。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题10.7 二项分布、超几何分布与正态分布　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $