7.3离散型随机变量的数字特征教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第7章 7.3　离散型随机变量的数字特征 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　离散型随机变量的均值：定义、两点分布与期望的线性性质 （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.3.1 离散型随机变量的均值 正文：均值（数学期望）的定义、例 1（篮球罚球得分的均值）、例 2（掷骰子点数的均值）、“探究”栏目（ 加常数、乘常数后均值怎样变化）；以及课后习题中由分布列求均值、由均值反求分布列参数的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设离散型随机变量 的分布列为 则称 为 的均值或数学期望，数学期望简称期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映取值的平均水平。 · 两点分布：若 服从两点分布（），则 。 · 线性性质：对常数 ，有 ；特别地 ，，常数的期望等于该常数本身。 · 可加性（高考常用推导结论）：同一试验中的两个随机变量 满足 。教材正文只给出 ，可加性由联合取值逐项求和推出；2023 新课标Ⅰ卷·21 以题给信息、2024 新课标Ⅰ卷·14 以官方解答的方式使用了这一结论。 （3）推导证明 两点分布：。 线性性质： 的可能取值为 ，对应概率仍为 ，故 其中用到分布列性质 。 可加性：设试验的每一种结果对应一对取值 ，其概率为 ，则 取 的概率也是 。逐项求和后按行、按列重新分组： 而 ，，故上式等于 。 （4）适用条件与易错提醒 · 期望是一个常数，不是随机变量；它不一定是 的某个取值（骰子点数均值为 ，但任何一次都掷不出 ）。 · 期望是概率意义下的平均，不等于有限次试验的样本平均数；只有试验次数很大时，样本平均数才稳定在期望附近（教材“探究”栏目的随机模拟）。 · 用 时， 要乘到整个 上、 只加一次；写成 或 都是错的。 · 期望的可加性 不要求 独立；而方差的可加性需要独立，两者不能混用。 · 由分布列求期望前必须先验 ；含参数的分布列要用该条件与已知期望联立解参数。 · 把 拆成若干个“是否发生”的 — 变量之和（指示变量法）时，不必先求 的分布列，直接对每个 — 变量求期望再相加即可。 （5）考点定位与命题角度 选填考“由分布列求期望”“由期望反求分布列参数”“— 变量与指示变量求期望”；解答题中期望通常紧跟分布列作为第二问，或与决策结合放在末问。对应 2025 新课标Ⅰ卷·14（指示变量求期望）、2024 新课标Ⅰ卷·14（用期望可加性反推概率）、2025 上海卷·6（直接由分布求期望）、2025 北京卷·18(2)（分布列与期望）、2023 新课标Ⅰ卷·21(3)（题给可加性求 ）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　定取值：弄清 的实际含义，写出全部可能取值（必要时举特例，如“三次取到 时 ”）。 · 第二步　求概率：按古典概型、独立事件或分布列性质逐个求 ，并验 。 · 第三步　算期望：；若 可拆成 — 变量之和，改用 。 · 第四步　用性质：遇到 型或“和”型变量，用 、 化简计算。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 ，求 的均值。 解析 的可能取值为 ，且 。由定义 即点数的均值为 ，它表示大量重复投掷时点数的平均水平。 例题 2（教材原题改编） 一批产品共 件，其中 件次品、 件正品。从中任取 件，记取到的次品件数为 ，求 。 解析 的可能取值为 。由古典概型： 三概率之和为 ，分布列成立。故 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2025 新课标Ⅰ卷·14）有 个相同的球，分别标有数字 ，从中有放回地随机取 次，每次取 个球。记 为这 个球中至少被取出一次的球的个数，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 设随机变量 的分布列为： 取 时对应概率为 ，且 。求 的值与 。 条目二　方差的定义、标准差与 D(X)=E(X²)−[E(X)]² （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差 正文：以“甲、乙两名同学击中目标靶的环数”两个分布列及其概率分布图引入离散程度，给出方差与标准差的定义、简化公式；课后习题中由分布列求方差、比较稳定性的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设离散型随机变量 的分布列同上，记 ，则称 为 的方差，称 为 的标准差。方差与标准差都度量取值与均值的偏离程度：越小越集中，越大越分散。 · 简化公式：，其中 。 · 两点分布：若 服从两点分布（），则 。 · 单位：方差的单位是 单位的平方，标准差与 同单位。 图 1　甲、乙两名同学击中目标靶环数的概率分布：均值同为 8，乙的概率更集中 （3）推导证明 简化公式：把 展开， 两点分布：。 （4）适用条件与易错提醒 · 必须先求 再求 ，顺序不能颠倒；用简化公式时 是“取值平方后再加权”，不是把 平方。 · 恒成立；若算出负值，必是平方或符号出错。 · 方差只刻画偏离均值的平均平方距离，不含方向信息； 相同不代表两个分布相同。 · 比较“谁更稳定”必须建立在均值相同或接近的前提下；均值相差较大时应先比较均值。 · 平移不改变方差：；只有乘常数才按平方放大。 · 分布列中概率为 的取值也要保留在表中，否则 与 都会算错。 （5）考点定位与命题角度 全国卷近年单独考方差的题较少，方差多与期望、决策同题出现；选填常以“给分布列判断期望与方差”“含参数分布列求方差”“两点分布求方差”设问。对应 2025 上海卷·6（由分布求期望，方差是常见扩展设问）、2024 北京卷·18（赔付的期望与波动）、2025 北京卷·18(2)（分布列与数字特征）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　写分布列：定取值、求概率、验 。 · 第二步　求均值：。 · 第三步　求方差：；取值平方好算时改用 。 · 第四步　看标准差与结论： 回到原单位，结合均值解释集中或分散。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 的分布列分别为 求 ，并评价两名同学的射击水平。 解析 两人均值相同，均为 环；，说明乙的成绩更集中于 环附近，发挥更稳定。但甲击中 环的概率 大于乙的 ，若赛制要求高分制胜，甲更有爆发力。 例题 2（教材原题改编） 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 ，求 的方差与标准差。 解析 由条目一例题 1，。又 故 标准差 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2025 上海卷·6）已知随机变量 的分布为： 取 时对应概率为 。原题只要求期望；本题要求：求 、 与标准差 。 变式 2-2（优质模拟改编） 设随机变量 的分布列为： 取 时对应概率为 （，）。求 的最大值。 条目三　线性变换 Y=aX+b 下的期望与方差 （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.3.1 正文“探究”栏目（ 加一个常数或乘一个常数后均值怎样变化）与均值运算性质；7.3.2 正文方差性质 ；以及正文中“利润与投入资金成正比”一类把实际量写成 的例题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 为随机变量， 为常数，则 也是随机变量，且 · ；特别地 （ 为常数）。 · ；特别地 。 · 。 （3）推导证明 期望部分见条目一（3）。方差部分： 的取值为 ，其均值为 ，故 开方即得 。 （4）适用条件与易错提醒 · 中 完全消失、 必须平方；漏掉平方写成 ，或把 带进去写成 ，是两类高频错误。 · ：系数为负时标准差仍为正数。 · 单位换算要整体按线性变换处理：把“元”换成“万元”相当于乘 ，此时期望乘 、方差乘 、标准差乘 ；只换算期望是错的。 · “收益 本金 利润率”是 型（）；“毛利润 保费 赔付”是 型， 时方差不变。 · 由 反求参数时，要同时检验 与 的隐含范围，舍去不合题意的根。 （5）考点定位与命题角度 选填高频：给分布列问 、、 等；解答题中以“收益与投入成正比”“保费与赔付”等实际背景出现，作为分布列之后的计算步骤。对应 2024 北京卷·18（保费与赔付的线性组合）、2024 新课标Ⅱ卷·18（成绩 每次 分 命中次数，属 型）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　识别结构：把所求变量写成 ，明确 的实际含义。 · 第二步　先算基础量：求出 、（必要时 ）。 · 第三步　代性质：，，。 · 第四步　回代检验：检查单位、数量级与实际意义（利润非负、方差非负）是否合理。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 ，记 。求 与 。 解析 由条目一例题 1 与条目二例题 2，，。由线性性质： 验证： 取 ，概率均为 ，直接计算 与性质结果一致。 例题 2（教材原题改编） 某投资项目 的利润率 的分布列为 若投入 万元，所获利润为 （万元）；若投入 万元，所获利润为 （万元）。分别求 的期望、方差与标准差。 解析 先求 的数字特征： 由线性性质： 投入资金翻倍，期望翻倍、方差变为原来的 倍、标准差翻倍，与性质完全吻合。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2024 北京卷·18）某保险公司一份保单的保费为 万元。设该保单在一个保险期内的赔付额为 （万元），其分布列为 记这份保单的毛利润为 （万元）。求 、；并求该公司售出 份这样的保单时总毛利润的数学期望。 变式 3-2（优质模拟改编） 设随机变量 的分布列为： 取 时对应概率为 ，记 。求 、 与 ，并说明 中“”为何不出现。 条目四　用期望与方差作比较与决策 （1）教材出处 选择性必修第三册 第七章 7.3.2 正文“利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤”，以及投资股票、投资项目利润率等比较类例题与习题；7.3.1 均值在决策中的应用。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 教材给出的决策步骤： · 先比较均值：均值反映取值的平均水平，决策中先看谁的平均水平高。 · 均值相等或接近时比较方差：方差反映稳定与波动、集中与离散的程度，方差小者发挥相对稳定。 · 结合目标下结论：求稳选方差小者；追求高收益（或高分上限）且愿意承担波动时，选均值大、方差大者。 补充（高考常用推导结论）：比较量必须与决策目标匹配。目标是“平均收益最大”时比期望；目标是“成绩达到某一值的概率最大”时比概率（2024 新课标Ⅱ卷·18(2)(i) 即比较得 分的概率）；目标是“波动最小”时比方差。三者不可混用。 （3）推导证明 以教材环数例说明：当 时，。由 的定义， 是“偏离量的平方”的平均， 更大说明 的取值偏离 环的平均平方距离更大，即甲的成绩更分散；从概率分布图（图 1）看， 的概率更集中于 环附近。故在均值相同的前提下，方差的大小直接刻画了稳定程度，可以作为决策依据。 （4）适用条件与易错提醒 · 只比期望不比方差，或只比方差不比期望，都会得出片面结论。 · 方差大不等于水平差：赛制要求“必须打出高分”时，分布更分散者反而有更高的上限概率（环数例中甲取 环的概率 大于乙的 ）。 · 决策目标决定比较量：求“成绩不低于某值”或“恰好满分”的概率最大时，应比较概率而不是期望。 · 期望相同、方差不同的两个方案，结论依赖风险偏好，答案应写成“求稳选……，追求收益选……”，不能只给一个。 · 用样本频率估计概率后再算期望、方差时，结论只对大量重复情形可靠，单次结果仍可能明显偏离。 （5）考点定位与命题角度 解答题末问高频：“比较两种方案（或两种安排）并说明理由”。设问形式包括比较期望、比较方差、比较关键概率三类。对应 2024 新课标Ⅱ卷·18(2)（两种安排下成绩为 分的概率最大、期望最大）、2024 北京卷·18（不同条件下毛利润期望的比较）、2025 北京卷·18(2)（分布列与期望）、2023 新课标Ⅰ卷·21(3)（期望的求和）。难度中档。 （6）方法归纳 · 第一步　定目标：明确决策要最大化（或最小化）什么——平均收益、达标概率还是波动。 · 第二步　建模型：写出各方案随机变量的分布列（必要时先求关键概率）。 · 第三步　算特征：分别求期望与方差，目标涉及概率时再算对应概率。 · 第四步　下结论：按“均值→方差→目标偏好”的顺序比较，并写明取舍理由。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 投资 两种股票，每股收益的分布列分别为 收益 （元） 收益 （元） 1. 投资哪种股票的期望收益大？(2) 投资哪种股票的风险较高？ 解析 1. ，。由 ，投资股票 的期望收益大。 1. ，；，。由 ，股票 的收益波动更大，风险较高。 例题 2（教材原题改编） 两个投资项目的利润率分别为随机变量 ，分布列为 在 两个项目上各投资 万元， 分别表示投资项目 所获得的利润（万元）。求 的期望与方差，并对投资者提出建议。 解析 取 ，概率为 ； 取 ，概率为 。 且 ：项目 平均利润高但波动大，项目 平均利润低但更稳。建议：追求稳定收益的投资者选项目 ；看重利润且愿意承担波动的投资者选项目 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅱ卷·18）某投篮比赛分为两个阶段：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 次，若 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 分；若至少投中一次，则进入第二阶段，由该队另一名队员投篮 次，每次投中得 分，未投中得 分，该队比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队由甲、乙两名队员组成，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立。 1. 分别求“甲参加第一阶段比赛”与“乙参加第一阶段比赛”两种安排下，该队比赛成绩的数学期望； 1. 若教练更看重成绩的稳定性（方差更小），应如何取舍？请计算两种安排下成绩的方差并说明。 变式 4-2（优质模拟改编） 某家庭有 万元闲置资金，现有三种一年期理财方案：方案一，投资 项目，一年后获利 万元的概率为 ，亏损 万元的概率为 ；方案二，投资 项目，一年后获利 万元的概率为 ，获利 万元的概率为 ，亏损 万元的概率为 ；方案三，存入银行，一年后收益固定为 万元。记三种方案一年后的收益分别为 （万元），应如何选择？ 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析： 的可能取值为 。三次取球共有 种等可能结果。 · ：三次取到同一个球，共 种，； · ：三次取到三个不同的球，共 种，； · ：其余 种，。 故 。 另法（指示变量）：对每个球，三次都未取到它的概率为 ，故它至少被取出一次的概率为 。把 写成 个 — 变量之和，由期望可加性 ，两法一致。 变式 1-2 答案与解析 答案：，，。 解析：由分布列性质 ，得 。由 ： 即 。两式相减得 ，代回得 （均满足 ）。故 。 变式 2-1 答案与解析 答案：，，。 解析：（与原题答案一致）。 标准差 。 变式 2-2 答案与解析 答案： 的最大值为 （此时 ）。 解析：（用 ）。由定义 由基本不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号。故 的最大值为 。 变式 3-1 答案与解析 答案： 万元，， 份保单总毛利润的期望为 万元。 解析：； 由 （即 ）： 设第 份保单的毛利润为 （），总毛利润为 ，由期望可加性，其期望为 （万元）。 变式 3-2 答案与解析 答案：，，。 解析：； 由 ：，，。 “”不出现的原因： 的分布是 的分布整体右移 个单位，各取值与均值的偏离量 与 完全相同，故方差不变；只有乘常数才会改变偏离量的大小。 变式 4-1 答案与解析 答案：(1) 甲参加第一阶段时 分，乙参加第一阶段时 分；(2) 按期望应让甲参加第一阶段，按稳定性应让乙参加第一阶段（方差分别为 与 ）。 解析：记比赛成绩为 ， 的可能取值为 。 安排一：甲参加第一阶段（命中率 ），乙参加第二阶段（命中率 ）。 进入第二阶段的概率为 。第二阶段命中次数服从三次独立重复试验，命中 次的概率为 。故 四概率之和为 。于是 安排二：乙参加第一阶段（命中率 ），甲参加第二阶段（命中率 ）。 进入第二阶段的概率为 ；第二阶段命中 次的概率为 。故 于是 结论：按期望比较，，应让水平较弱的甲参加第一阶段（与原题结论一致）；按方差比较，，乙参加第一阶段成绩更稳定。决策目标不同，取舍不同。 变式 4-2 答案与解析 答案：三种方案期望分别为 万元，方差分别为 ；能承受大波动选方案一，期望相同下求稳选方案二，完全不能承受亏损选方案三。 解析： 方案一与方案二期望相同（均为 万元）且都高于方案三；方案二的方差 远小于方案一的 ，说明方案二的收益更集中在 万元附近。故：愿意承担大波动、看重 万元收益上限的家庭选方案一；期望相同而追求稳定的家庭选方案二；完全不能承受亏损的家庭选方案三，但需接受平均收益最低（ 万元）。 人教A版·选择性必修第三册　第7章 7.3 离散型随机变量的数字特征　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $