10.5 离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦离散型随机变量及其分布列、数字特征核心考点，以排列组合和概率模型为基础，系统梳理分布列性质、均值方差计算及超几何与二项分布的区分，通过双基自测、核心梳理、题型突破和限时训练四环节，帮助学生构建知识体系并突破应用难点。 讲义突出情境化建模与数据分析，如设计多阶段分步试验问题，引导学生用数学眼光观察生活化情境，通过典例（如选择先答A/B类问题的决策）培养数学思维，落实用数学语言表达随机现象的核心素养，分层练习确保复习效率，为教师把控节奏和提升学生应考能力提供有力支持。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征 【高考考向预测】 离散型随机变量及其分布列以排列组合、各类概率模型为依托，熟练书写分布列并计算均值与方差，区分超几何、二项分布的适用条件，利用数字特征进行实际决策；近三年为高考概率解答题核心考点，小题也时有考查，考频居高不下；预测2027 年命题依托生活化情境，增设多阶段分步试验问题，融合统计表格信息设问，侧重题意建模、分类讨论与数据分析应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 　) (3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　 　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(　 　) 2.(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ>4}表示的随机事件是(　　) A.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 B.第一枚掷出5点，第二枚掷出1点 C.第一枚掷出1点，第二枚掷出6点 D.第一枚掷出6点，第二枚掷出1点 3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)=　　　　；D(2X+7)=　　　　. 4.(苏教版选择性必修第二册P120练习T3改编)从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下表，则甲、乙两人平均成绩较好的是　　　　. X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 【核心梳理●明考点】 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i=1，2，…，n. (2)p1+p2+…+pn=1. 4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b为常数). 1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定. (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小. (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确. 2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (2)D(X)=E(X2)-(E(X))2. (3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【题型突破●明方向】 题型一　分布列的性质 例1　(1)若随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(　　) A.[1，2) B.[1，2] C.(1，2] D.(1，2) (2)(湘教版选择性必修第二册P133例2改编)设随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，其中c为常数，则P=　　　　　　. 跟踪训练1　已知随机变量X的分布列如表所示，则P(|2X-3|<3)等于(　　) X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4 题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征 命题点1　求离散型随机变量的分布列及数字特征 例2　(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表，若P(X≤0)=，则(　　) X -1 0 1 P a b A.a= B.b= C.E(X)=- D.D(X)=- (2)(2025·全国Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　. 命题点2　均值与方差的性质应用 例3　(多选)(2025·南充模拟)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若离散型随机变量Y满足Y=3X-2，则(　　) X 1 2 3 4 P 0.5 m 0.3 0.1 A.E(X)=2 B.E(Y)=4 C.D(X)=0.2 D.D(Y)=10.8 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围. 典例　(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时(　　) X 0 1 2 P A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减 (2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0，a，2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 下列结论正确的是(　　) A.b= B.若商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C.D(X)min= D.当D(X)最小时，E(X)= 跟踪训练2　(多选)(2025·日照模拟)随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是(　　) A.E(X)= B.E(3X+2)=7 C.D(3X+2)=7 D.E(X2)= 题型三　均值与方差中的决策问题 例4　(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 跟踪训练3　(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图. 生产线 等级 合计 一等级 非一等级 A B 合计 (1)根据已知数据，完成2×2列联表并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为是否为一等级产品与生产线有关； (2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，并以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定. 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 2.(北师大版选择性必修第一册P200例6改编)设随机变量X的分布列为P(X=i)=a(i=1，2，3)，则实数a等于(　　) A. B. C.2 D. 3.已知随机变量X的分布列如表，且Y=aX+3. X 1 2 3 P 若E(Y)=-2，则a等于(　　) A.-3 B.-2 C. D.1 4.(2025·乌鲁木齐模拟)已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X)等于(　　) X a a+1 P x A.a2 B. C. D. 5.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中不放回地往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)等于(　　) A. B. C. D. 6.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示. 商品 D E F 猜对的概率 0.8 0.5 0.3 获得的奖金/元 100 200 300 规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大(　　) A.FDE B.FED C.DEF D.EDF 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2026·成都模拟)已知随机变量X的分布列如表， X 1 2 3 4 5 P p1 p2 其中，p1，成等比数列，则下列结论正确的是(　　) A.p1，，p2成等差数列 B.p1= C.P(2<X<5)= D.E(X)= 8.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P p1 p2 p2 下列结论正确的是(　　) A.若p1=2p2，则p1= B.若p1=p2，则P(|X|=1)= C.若E(X)=，则p2= D.-p2(p1p2≠0)的最小值为- 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　　　，E(ξ)=　　　　. 10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(北师大版选择性必修第一册P210习题6-3A组T4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3分) (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3分) (3)设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值.(7分) 12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；(3分) ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分) (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分) [每小题5分，共10分] 13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是(　　) X 1 2 3 4 5 6 P p1 p2 p3 p4 p5 p6 A.P(X≥4)=1-P(X≤3) B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5 C.当pn=(n=1，2，3，4，5)时，p6= D.数列{pn}的通项公式可以为pn=(n=1，2，3，4，5，6) 14.设θ∈，随机变量ξ的分布列如表所示，则E(ξ)(　　) ξ 1 2 3 P sin2θ A.有最大值，最小值 B.有最大值，最小值 C.有最大值，无最小值 D.无最大值，有最小值 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征 【高考考向预测】 离散型随机变量及其分布列以排列组合、各类概率模型为依托，熟练书写分布列并计算均值与方差，区分超几何、二项分布的适用条件，利用数字特征进行实际决策；近三年为高考概率解答题核心考点，小题也时有考查，考频居高不下；预测2027 年命题依托生活化情境，增设多阶段分步试验问题，融合统计表格信息设问，侧重题意建模、分类讨论与数据分析应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 　) (3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　 　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(　 　) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）√ 2.(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ>4}表示的随机事件是(　　) A.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 B.第一枚掷出5点，第二枚掷出1点 C.第一枚掷出1点，第二枚掷出6点 D.第一枚掷出6点，第二枚掷出1点 【答案】D 【解析】∵第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ， 若ξ>4，则ξ=5， 表示的随机事件是第一枚掷出6点，第二枚掷出1点. 3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)=　　　　；D(2X+7)=　　　　. 【答案】0.84　3.36 【解析】E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4. D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84， D(2X+7)=4D(X)=3.36. 4.(苏教版选择性必修第二册P120练习T3改编)从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下表，则甲、乙两人平均成绩较好的是　　　　. X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 【答案】甲 【解析】E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3， E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1. 这就是说甲射击所得环数的均值比乙射击所得环数的均值大，从而说明甲的平均成绩较好. 【核心梳理●明考点】 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i=1，2，…，n. (2)p1+p2+…+pn=1. 4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b为常数). 1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定. (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小. (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确. 2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (2)D(X)=E(X2)-(E(X))2. (3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 【题型突破●明方向】 题型一　分布列的性质 例1　(1)若随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(　　) A.[1，2) B.[1，2] C.(1，2] D.(1，2) 【答案】C 【解析】由随机变量X的分布列知，P(X<1)=0.5，P(X<2)=0.8，故当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. (2)(湘教版选择性必修第二册P133例2改编)设随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，其中c为常数，则P=　　　　　　. 【答案】 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知 +++=1， 所以c=1. 解得c=. 因此P=P(X=1)+P(X=2)=×+×=. 【思维升华】离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确. 跟踪训练1　已知随机变量X的分布列如表所示，则P(|2X-3|<3)等于(　　) X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4 【答案】C 【解析】由题得0.1+m+0.3+0.2=1，则m=0.4， 故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5. 题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征 命题点1　求离散型随机变量的分布列及数字特征 例2　(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表，若P(X≤0)=，则(　　) X -1 0 1 P a b A.a= B.b= C.E(X)=- D.D(X)=- 【答案】ABC 【解析】依题意得⇒a=b=，A，B选项正确； E(X)=(-1)×+0×+1×=-，C选项正确； D(X)=×+×+×=，D选项错误. (2)(2025·全国Ⅰ卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=　　　　. 【答案】 【解析】方法一　依题意，X的可能取值为1，2，3， 总的抽取方法数为53=125， 其中X=1表示3次抽取同一标号的球，选择球的标号有5种方式，故P(X=1)==； X=2表示恰好两种不同标号的球被取出(即一球出现2次，另一球出现1次)， 选择出现2次的球有5种方式，选择出现1次的球有4种方式， 其中出现1次的球第几次被取出有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=2)==； X=3表示三种不同标号的球被取出， 可能情况有5×4×3=60(种)， 故P(X=3)==， 所以E(X)=1×+2×+3×=. 方法二　依题意，假设随机变量Xi， 其中i=1，2，3，4，5， 其中Xi= 则X=Xi， 易知所有E(Xi)相等， 则E(X)=E(Xi)=E(Xi)=5E(Xi)， 由题意可知，i号球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于每次抽取相互独立，则3次均未取出i号球的概率为P(Xi=0)==， 因此i号球至少被取出1次的概率为 P(Xi=1)=1-=， 故E(Xi)=， 所以E(X)=5E(Xi)=5×=. 命题点2　均值与方差的性质应用 例3　(多选)(2025·南充模拟)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若离散型随机变量Y满足Y=3X-2，则(　　) X 1 2 3 4 P 0.5 m 0.3 0.1 A.E(X)=2 B.E(Y)=4 C.D(X)=0.2 D.D(Y)=10.8 【答案】ABD 【解析】依题意，0.5+m+0.3+0.1=1，解得m=0.1， 对于A，E(X)=1×0.5+2×0.1+3×0.3+4×0.1=2，A正确； 对于B，E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=4，B正确； 对于C，D(X)=(1-2)2×0.5+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.3+(4-2)2×0.1=1.2，C错误； 对于D，D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=10.8，D正确. 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围. 典例　(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时(　　) X 0 1 2 P A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减 【答案】D 【解析】由分布列可得E(X) =0×+1×+2×=+p， 则D(X)=++=-p2+p+=-+， 因为0<p<1，所以D(X)先增后减. (2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0，a，2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 下列结论正确的是(　　) A.b= B.若商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为 C.D(X)min= D.当D(X)最小时，E(X)= 【答案】ABC 【解析】由题意+b+=1，∴b=，故选项A正确；商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为××=，故选项B正确；随机变量X的均值E(X)=0×+a×+2×=(a+1)，可知方差D(X)=×+×+×=×(2a2-2a+5)=×，当a=时，D(X)min=，故选项C正确；当D(X)最小时，a=，此时E(X)=×=，故选项D错误. 【思维升华】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 跟踪训练2　(多选)(2025·日照模拟)随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是(　　) A.E(X)= B.E(3X+2)=7 C.D(3X+2)=7 D.E(X2)= 【答案】ABD 【解析】由题意可知+a+=1，解得a=， 可得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 对于选项A，E(X)=1×+2×+3×=，故A正确； 对于选项B，E(3X+2)=3E(X)+2=7，故B正确； 对于选项C，因为D(X)=×+×+×=， 所以D(3X+2)=9D(X)=5，故C错误； 对于选项D，因为D(X)=E(X2)-(E(X))2， 即=E(X2)-，解得E(X2)=，故D正确. 题型三　均值与方差中的决策问题 例4　(2021·新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【解析】(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100， P(X=0)=1-0.8=0.2， P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32， P(X=100)=0.8×0.6=0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y=0)=1-0.6=0.4， P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12， P(Y=100)=0.6×0.8=0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 【思维升华】随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 跟踪训练3　(2026·锦州模拟)某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图. 生产线 等级 合计 一等级 非一等级 A B 合计 (1)根据已知数据，完成2×2列联表并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为是否为一等级产品与生产线有关； (2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，并以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定. 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 【解析】(1)由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品有20件，B生产线生产的100件产品中一等级产品有30件， 所以2×2列联表如下： 生产线 等级 合计 一等级 非一等级 A 20 80 100 B 30 70 100 合计 50 150 200 零假设为H0：是否为一等级产品与生产线无关， 由列联表得χ2==≈2.667<3.841， 所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据可以推断H0不成立， 则可以推断H0成立，即认为是否为一等级产品与生产线无关. (2)设A，B两条生产线单件产品获利分别为X，Y元， 则由频数分布直方图可得X的分布列为 X 20 18 16 P 0.2 0.6 0.2 所以E(X)=20×0.2+18×0.6+16×0.2=18， 所以D(X)=(20-18)2×0.2+(18-18)2×0.6+(16-18)2×0.2=1.6， 由频数分布直方图可得Y的分布列为 Y 20 18 16 P 0.3 0.4 0.3 所以E(Y)=20×0.3+18×0.4+16×0.3=18， 所以D(Y)=(20-18)2×0.3+(18-18)2×0.4+(16-18)2×0.3=2.4， 因为D(X)<D(Y)，所以A生产线的获利更稳定. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 【解析】选手甲在三次中距离投篮中可能都不中得0分，中一次得2分，中两次得4分，中三次得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12. 2.(北师大版选择性必修第一册P200例6改编)设随机变量X的分布列为P(X=i)=a(i=1，2，3)，则实数a等于(　　) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】因为pi=1， 所以a+a+a=1. 解得a=. 故实数a的值为. 3.已知随机变量X的分布列如表，且Y=aX+3. X 1 2 3 P 若E(Y)=-2，则a等于(　　) A.-3 B.-2 C. D.1 【答案】A 【解析】由E(X)=1×+2×+3×=， 因为Y=aX+3，则E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=a+3=-2， 解得a=-3. 4.(2025·乌鲁木齐模拟)已知随机变量X的分布列如表所示，则D(X)等于(　　) X a a+1 P x A.a2 B. C. D. 【答案】C 【解析】因为+x=1，所以x=， 由题意得，E(X)=a+(a+1)=a+， 所以D(X)=+=. 5.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中不放回地往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意知，ξ=k表示前k个球为白球， 第k+1个球恰为红球， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5， 所以P(ξ=0)==， P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， 所以P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2) ==. 6.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示. 商品 D E F 猜对的概率 0.8 0.5 0.3 获得的奖金/元 100 200 300 规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大(　　) A.FDE B.FED C.DEF D.EDF 【答案】C 【解析】按照FDE的顺序获得的奖金的均值为 0×0.7+300×0.3×0.2+400×0.3×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138； 按照FED的顺序获得的奖金的均值为 0×0.7+300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132； 按照DEF的顺序获得的奖金的均值为 0×0.2+100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196； 按照EDF的顺序获得的奖金的均值为 0×0.5+200×0.5×0.2+300×0.5×0.8×0.7+600×0.5×0.8×0.3=176. 综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2026·成都模拟)已知随机变量X的分布列如表， X 1 2 3 4 5 P p1 p2 其中，p1，成等比数列，则下列结论正确的是(　　) A.p1，，p2成等差数列 B.p1= C.P(2<X<5)= D.E(X)= 【答案】ABD 【解析】对于A，由+p1++p2+=1，得p1+p2==2×，则p1，，p2成等差数列，A正确； 对于B，由，p1，成等比数列，得=×，而p1≥0，解得p1=，B正确； 对于C，p2=-=，P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)=+=，C错误； 对于D，E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=，D正确. 8.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P p1 p2 p2 下列结论正确的是(　　) A.若p1=2p2，则p1= B.若p1=p2，则P(|X|=1)= C.若E(X)=，则p2= D.-p2(p1p2≠0)的最小值为- 【答案】BC 【解析】对于A，由题意得p1+2p2=1，若p1=2p2，则p1=，A错误； 对于B，若p1=p2，则p1=p2=，P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=+=，B正确； 对于C，若E(X)=，则-p1+p2=， 又p1+2p2=1，所以p2=，C正确； 对于D，由p1+2p2=1，p1p2≠0，得0<p2<， -p2=(1-2p2)2-p2=4-5p2+1 =4-， 因为0<p2<，所以-p2不存在最小值，D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　　　，E(ξ)=　　　　. 【答案】　 【解析】由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)===， P(ξ=2)==， P(ξ=3)==，P(ξ=4)==， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P E(ξ)=1×+2×+3×+4×=. 10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为　　　　. 【答案】3 【解析】由题意可知P(X<300)=0.3， P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300) =0.7-0.3=0.4， P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700) =0.9-0.7=0.2， P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，所以工期延误天数Y的均值为3. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(北师大版选择性必修第一册P210习题6-3A组T4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3分) (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3分) (3)设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值.(7分) 【解析】设事件A表示“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，事件B表示“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”，事件C1表示“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，事件C2表示“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，依题意，有P(C1)=0.5，P(C2)=0.6. (1)P(A)=P(C1∪C2) =P(C1)P()+P()P(C2) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5， 所以进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率是0.5. (2)P(B)=1-P()=1-P()P()=1-0.5×0.4=0.8， 所以进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率是0.8. (3)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P(ξ=0)=0.2×0.2×0.2=0.008， P(ξ=1)=×0.8×0.2×0.2=0.096， P(ξ=2)=×0.8×0.8×0.2=0.384， P(ξ=3)=×0.8×0.8×0.8=0.512. 综上，可得ξ的分布列如表. ξ 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(ξ)=0×0.008+1×0.096+2×0.384+3×0.512=2.4. 12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；(3分) ②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分) (2)公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分) 【解析】(1)设员工所获得的奖励金额为X， ①P(X=1 000)==， ∴员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为. ②X所有可能的取值为400，1 000， P(X=400)==， ∴X的分布列为 X 400 1 000 P ∴员工所获得的奖励金额的均值为 E(X)=400×+1 000×=700. (2)根据公司预算，每位员工的平均奖励金额为1 000元， ∴先寻找均值为1 000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择(200，200，200，800)的方案， ∵1 000元是面值之和的最大值， ∴均值不可能为1 000元， 如果选择(800，800，800，200)的方案， ∵1 000元是面值之和的最小值， ∴均值不可能为1 000元， 因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1； 同理，对于面值由600元和400元组成的情况， 排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案， ∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2. 对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600， P(X1=400)==，P(X1=1 000)==， P(X1=1 600)==， ∴E(X1)=400×+1 000×+1 600×=1 000， D(X1)=(400-1 000)2×+(1 000-1 000)2×+(1 600-1 000)2×=120 000； 对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1 000，1 200， P(X2=800)==，P(X2=1 000)==， P(X2=1 200)==， ∴E(X2)=800×+1 000×+1 200×=1 000， D(X2)=(800-1 000)2×+(1 000-1 000)2×+(1 200-1 000)2×=， 由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2. [每小题5分，共10分] 13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是(　　) X 1 2 3 4 5 6 P p1 p2 p3 p4 p5 p6 A.P(X≥4)=1-P(X≤3) B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5 C.当pn=(n=1，2，3，4，5)时，p6= D.数列{pn}的通项公式可以为pn=(n=1，2，3，4，5，6) 【答案】D 【解析】A选项，由已知p1+p2+p3+p4+p5+p6=1，则P(X≥4)=p4+p5+p6=1-(p1+p2+p3)=1-P(X≤3)，A选项正确； B选项，当p1=p2=p3=p4=p5=p6=时，期望为E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5，B选项正确； C选项，由pn=(n=1，2，3，4，5)，则p6=1-(p1+p2+…+p5)=1-=1-=，C选项正确； D选项，由pn==-(n=1，2，3，4，5，6)，则其前6项和为1-+-+…+-=≠1，D选项错误. 14.设θ∈，随机变量ξ的分布列如表所示，则E(ξ)(　　) ξ 1 2 3 P sin2θ A.有最大值，最小值 B.有最大值，最小值 C.有最大值，无最小值 D.无最大值，有最小值 【答案】B 【解析】因为P(ξ=3)=1--sin2θ=cos2θ， 所以E(ξ)=sin2θ+2×+cos2θ =+cos2θ， 因为θ∈，所以≤cos θ≤， 从而cos2θ∈. 所以E(ξ)=+cos2θ的取值范围是， 则E(ξ)有最大值，最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $